【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)60】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識(shí)：
lim（1+1/n）^n=e.
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個(gè)向量的向量積，再作所得向量與第三個(gè)向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個(gè)雙重向量積；
性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；
（axb）xc=（ac）b-（bc）a；
拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；
（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；
（axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）.
矩陣乘法運(yùn)算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。
矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反/斜對(duì)稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析》（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）
《空間解析幾何》（高紅鑄?王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)題解精粹》（錢吉林?編著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)分析（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）》）——
利用lim（1+1/n）^n=e求下列極限：
a.lim（1-1/n）^n
b.lim（1+1/n）^（n+1）
解：
a.
（1-1/n）^n
=[（n-1）/n]^n
={1/[n/（n-1）]}^n
=1/[1+1/（n-1）]^n
={1/[1+1/（n-1）]^（n-1）}{1/[1+1/（n-1）]}；
lim（1-1/n）^n
=lim{1/[1+1/（n-1）]^（n-1）}lim{1/[1+1/（n-1）]}
=（1/e）*1
=1/e
b.
lim（1+1/n）^（n+1）
=lim[（1+1/n）^n]lim（1+1/n）
=e*1
=e
解析幾何——
例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——
兩個(gè)非零向量e1，e2不共線，設(shè)AB=e1+e2，AC=2e1+8e2，AD=3（e1-e2），試證A，B，C，D共面。
證：要證A，B，C，D共面，即證AB，AC，AD共面，即證其混合積為0——
（AB，AC，AD）
=（e1+e2，2e1+8e2，3（e1-e2））
=（（e1+e2）x（2e1+8e2））（3（e1-e2））
=3（2e1xe1+2e2xe1+8e1xe2+8e2xe2）（e1-e2）
=18（e1xe2）（e1-e2）
=18（e1，e2，e1）-18（e1，e2，e2）
=0，證畢.
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)題解精粹（錢吉林?編著）》）——
設(shè)A^2-A-6E=0，證明A+3E是可逆矩陣，并將它的逆矩陣表為A的多項(xiàng)式。
證：
（A+3E）（A-4E）
=A^2-A-12E
=（A^2-A-6E）-6E
=-6E；
（A+3E）[-（A-4E）/6]
=E，則A+3E是可逆矩陣，（A+3E）^（-1）=-（A-4E）/6.
到這里！
