大家好，今天開始給大家寫一個快速入門系列！包括但不限于數(shù)學(xué)、電腦、歷史、編程等知識，面向零基礎(chǔ)，給學(xué)有余力的童鞋拓展思路。別急，我知道很多人看到學(xué)有余力就自動排除自己了，哈哈，不是這樣的，這篇文章真的比較簡單，大部分朋友都可以看懂例題的解答，腦子里過一遍我寫的東西，有思考的行為，就達到我的目標(biāo)啦。我一向是以思路為重，現(xiàn)在您學(xué)習(xí)的不僅是知識，也是解題思路。我希望我有時偏題講的小故事也會讓您感覺到數(shù)學(xué)是快樂的。這個系列，旨在讓您收獲知識的同時，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的快樂，領(lǐng)會“站得高”給您帶來的優(yōu)勢，給您帶來站在巔峰上的自信！

對數(shù)是高中數(shù)學(xué)幾乎最簡單的內(nèi)容，高考很少專門去考這個東西，跟基礎(chǔ)好的朋友我都是一句話搞定的。學(xué)會它，可以解決不少問題，但又沒什么難度，何樂而不為呢？

對數(shù)的定義 如果，那么

其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)。其實不太容易記混！底數(shù)就是底下的那個！如你所見，底數(shù)要寫的小一點，和真數(shù)區(qū)分開。當(dāng)然如果真數(shù)是多項式，要加括號。

現(xiàn)在我們已經(jīng)可以解一些指數(shù)方程了！比如

例1?解方程：

解?

做完這道題，我們反過來思考以下題目：

例2 若，求.

解?由，得.故.

當(dāng)然，由對數(shù)的定義，我們有恒等式.

熟練之后，我們直接代入得

從中總結(jié)規(guī)律，可以得到對數(shù)運算的一條重要性質(zhì)

對數(shù)性質(zhì)1??

這條性質(zhì)的證明極為簡單：

證明?令，則。將方程兩邊同時次方，得.

因此，即.

欲證右半邊成立，先令，則.

仍然將方程兩邊同時次方，得，因此，等量代換得證.

此外，對數(shù)還有兩條基本性質(zhì).甚至是初中卷子新定義題目做過的.

對數(shù)性質(zhì)2? ?

證明?令，則.

將這兩個式子相乘，得到，因此

將兩式相除便可證明減號的形式.

運用這些性質(zhì)，您應(yīng)該很清楚如何化簡一個對數(shù)了吧.

還有最后一點，人們?yōu)榱朔奖?，還將兩個特殊底數(shù)的對數(shù)速記了，它們是：

lg叫做常用對數(shù)，ln叫做自然對數(shù).

這里的e是一個數(shù)學(xué)常數(shù)，而且是無理數(shù)，叫做自然常數(shù)，也叫做歐拉常數(shù)，約等于2.718281828.她和ln函數(shù)將會陪伴您度過整個數(shù)學(xué)生涯.和e是數(shù)學(xué)世界最重要的兩個無理數(shù)，提一嘴，數(shù)學(xué)世界還有幾個重要的數(shù)：0、1，以及虛數(shù)單位，我們會在后面給大家講解的。它們滿足重要的，美麗的，被稱作為上帝公式的歐拉公式，即.

來講故事了奧.歐拉是數(shù)學(xué)史上最重要的人物之一，如果有人逼著我追星，那么他就是我的愛豆了.相傳有一次，俄國葉卡捷琳娜二世厭煩了狄德羅關(guān)于無神論方面的說教，于是安排歐拉去好好懟一下這個老頑固，因為歐拉一生都是一位虔誠的基督徒，篤信上帝.歐拉推開門，直截了當(dāng)?shù)卣f：“因為，所以上帝存在！”狄德羅啞口無言.這也讓歐拉公式擁有了“上帝公式”的美名.歐拉非常具有人格魅力，主打“德馨”，比那個時期各路數(shù)學(xué)家大多要強.據(jù)說當(dāng)時“數(shù)學(xué)王子”高斯收到伽羅瓦的論文，卻沒仔細看就說沒啥用，因為他認為別的數(shù)學(xué)家不可能有這個年紀就比他厲害的了.而別的數(shù)學(xué)家去看，有的看不懂，甚至有一個看了就死了，他三次呈送論文，最終他都沒有受到重視，死后大家才意識到他的研究的重要性.歐拉卻始終很謙虛，曾經(jīng)哥德就將哥德巴赫猜想寫信給歐拉看，據(jù)說歐拉嘗試證明了，但可惜的是他至死沒能證明這個猜想，這個猜想也留到了現(xiàn)在.

（這相當(dāng)于課間十分鐘罷）故事聽完了，接下來我們做幾道簡單的對數(shù)題.

例3 求值：

解?對數(shù)運算中，提取公因數(shù)很有用，因為對數(shù)能把加法化成乘法.運用.

原式=.

例4?解方程：

解 換元法即可，令，則，即

注意若，因此僅有，則.

接下來迎接對數(shù)的終極公式：

對數(shù)換底公式?

首先，它解決的問題是，我們的所有對數(shù)公式都是要同底數(shù)才能使用的，現(xiàn)在有了這個公式，我們便可把不同底數(shù)的對數(shù)換成同一個底數(shù)了.其次，這里的只要是正數(shù)，不等于1即可成立，這意味著，我們可以任意令c為任何數(shù).這樣，我們可以得出這個公式兩個特例：

（1）令，則，由此我們證明了，一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)互換，得到的結(jié)果為原來對數(shù)的倒數(shù).

（2）令，則.這么寫的好處是，寫起來方便，尤其是ln函數(shù)，也容易和別的知識點結(jié)合.因此實際做題時，不需要您費心思把一個的底數(shù)換成另外一個，只需要都換成ln就可以了.

接下來證明這個公式.

證明?令,則.分別記為1、2、3式.

將3式次方，得，與1式比較，得.

再與2式比較，發(fā)現(xiàn),因此，也就是.

運用這個公式，很多題目迎刃而解.

例5?已知都是不為1的正數(shù)，且，求.

解?運用對數(shù)換底公式.，真不錯，ln(c)消掉了..

運用對數(shù)換底公式.原式=

于是就做完了.根據(jù)對數(shù)基本性質(zhì)，結(jié)合上文等式，所求為1.

例6 已知，求.

解?初中遇到比例的連等式，經(jīng)常設(shè)全部等于k吧，這里一樣.

設(shè)

接下來我們便可以用k表示x,y，同時又能表示xy，這樣我們就能建立等量關(guān)系了吧.

因此.

嚴謹點來說，先得證明ln(t)不為0.實際上，題目中的便是這個用處.既然兩數(shù)不為0，我們知道，當(dāng)且僅當(dāng)時，，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時，那么.（補充：嚴謹?shù)恼f只有運用函數(shù)的單調(diào)性才能證明大于，但是我們已經(jīng)可以證明不等于0了，只是這樣子寫更加全面一些）

消去ln(t),得，當(dāng)然可以解出來，但用處不大.作為一個整體回代到x、y關(guān)于k的關(guān)系式中，可得出

大家可以發(fā)現(xiàn)，對數(shù)的題目實在簡單！因此闊愛的出題人朋友們便開始結(jié)合別的知識點考！比如我的均值不等式題：Derivitiva均值不等式+對數(shù)一題.

那么這里有一道低配版的不等式題目，實則已經(jīng)是高考題了，所用知識點為基本不等式.

簡單的說，就是當(dāng)a,b為正數(shù)時，.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取得等號，此時便是取得了最小值.后面會有不等式快速入門.

哦對了這題還有一丁點超綱，不等號兩邊可以同時取ln的，這個也是由函數(shù)單調(diào)性才能知道的.

挑戰(zhàn)題?試比較的大小關(guān)系.（）

解?先無腦對數(shù)換底公式

接下來沒思路很正常，不過告訴您取對數(shù)經(jīng)?？梢员挥脕碜C明關(guān)系大小，主要因為對數(shù)可以把指數(shù)提到前面去這個很好的特性.

題目給出的兩個不等式，我們可以取一下ln試試.

，即.第二個得出.

因此我們已經(jīng)證明了：.

那么第一個數(shù)怎么辦捏？既然前后都是以0.8為分界線，我們可以用作差法比較：

為了看看這個數(shù)是正是負，我們只需要比較兩數(shù)大小.

這里沒必要湊數(shù)了吧，咱直接死算就行了..

我前面說不等號兩邊可以都加上ln，那么由便可得到：.

也就是.

非常的不幸，這兩個都是小于號，意味著我們還必須比一下第一第二個數(shù)的大小.

分母當(dāng)然正的，分子便不好說了.現(xiàn)在就要請出我們的基本不等式君了！

這個便是變形過的基本不等式了.平方一下，不等號換一個方向即可.另外為什么沒有等號了捏？因為，取不到等號.如此，

那么作差的結(jié)果是原式小于0，結(jié)論是.

綜上所述，.

這道題還挺難的是吧，作為一道小題，確實能拖住考生不少時間呢.不過這題還是主要算不等式題吧，對數(shù)只是一個背景罷了.也可以看看我的那題，其中有一個1的妙用，這也是不等式的一個重要技巧，和對數(shù)關(guān)系不大.

另外對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)非常特殊，不過現(xiàn)在不太方便，如果做成視頻我可能會寫這一塊。大家先記住對數(shù)函數(shù)具有單調(diào)性即可，最簡單的運用就是不等號兩邊即可以同時加上一個log啥，也可以去掉一個log啥.自然對數(shù)的性質(zhì)更加特殊，它和e^x這個函數(shù)是反函數(shù)，關(guān)于y=x對稱，很久之后會學(xué)到，它的導(dǎo)函數(shù)為1/x，不定積分為x(ln(x)-1)+C，從0到1的定積分正好為-1，這一切都是極為神奇的，不過學(xué)微積分是很久之后的事情辣，期待一下吧！

都看到這里啦，不考慮點個贊嘛，互關(guān)一下多一個數(shù)學(xué)朋友不好嘛！感謝您的支持，快速入門系列將會繼續(xù)更新，也會考慮制成視頻！再次感謝支持！