【導(dǎo)讀】本文用通俗的語(yǔ)言詳細(xì)解釋出生率、生育率、更替水平、死亡率和預(yù)期壽命等概念及人口預(yù)測(cè)每個(gè)步驟的細(xì)節(jié)?？赐瓯疚模憧梢宰约鹤鋈丝陬A(yù)測(cè)，這本來(lái)就是一個(gè)很直白的事情。文?| 黃文政

本文2023年6月9日發(fā)表

本文共5104字，需用時(shí)10分鐘

【 正 文 】

媒體討論人口問(wèn)題常出現(xiàn)常識(shí)性錯(cuò)誤，如混淆出生率和生育率，或在生育率數(shù)據(jù)后加百分號(hào)。本文用通俗語(yǔ)言解釋這些概念并介紹人口預(yù)測(cè)方法。理解本文的主體只需初中數(shù)學(xué)。讀者也可根據(jù)本文的介紹編寫(xiě)人口預(yù)測(cè)程序。

1）反映生育情況的概念

1.1) 出生率

出生率指當(dāng)年出生人口相對(duì)年中總?cè)丝诘谋嚷剩话銕О俜痔?hào)或千分號(hào)。

例如，中國(guó)2022年出生率是0.677%? = 956/141218，這里年中人口取2021和2022兩年年末總?cè)丝诘钠骄?/p>

使用年中而非年末數(shù)據(jù)是因?yàn)橛脮r(shí)間顆粒的中間值來(lái)近似，比用其邊緣值更能減小顆粒度較粗帶來(lái)的誤差。

長(zhǎng)期來(lái)看，出生率要維持在1/預(yù)期壽命的水平，才能保持總?cè)丝诜€(wěn)定?，F(xiàn)在中國(guó)預(yù)期壽命是78歲，出生率要達(dá)到1/78 = 1.28%，即每年出生14000*1.28% ≈1800萬(wàn)人，才能維持14億總?cè)丝凇?/p>

這個(gè)很好理解。每年出生1800萬(wàn)人都活78歲，總?cè)丝诰褪?8*1800萬(wàn)，即14億。2022年出生的956萬(wàn)只對(duì)應(yīng)于7.5億的總?cè)丝?，但不意味著中?guó)人口能維持7.5億。按目前趨勢(shì)，出生人口會(huì)無(wú)底線地不斷下滑。

每出生100個(gè)女孩對(duì)應(yīng)出生的男孩數(shù)被稱(chēng)為出生性別比，其在自然狀態(tài)是106。中國(guó)出生性別比在1980年代以前介于105-110，但隨計(jì)劃生育嚴(yán)厲化一路上升，至2000年代初一度超過(guò)120，近年隨限制放寬逐步回落到約110。

出生率很直觀，但受人口年齡結(jié)構(gòu)影響。前不久文章根據(jù)深圳出生率在廣東居首就得出深圳人很能生的錯(cuò)誤結(jié)論；深圳相對(duì)更高出生率只是因?yàn)槟贻p人占比更高。

1.2) 生育率

相比出生率，人們更常用生育率來(lái)刻畫(huà)生育情況。任何一個(gè)年齡段的生育率是指，該年齡段女性當(dāng)年活產(chǎn)孩子數(shù)除以該年齡段年中女性數(shù)。如果今年25歲女性有850萬(wàn)，她們年內(nèi)共生育150萬(wàn)小孩，那今年25歲女性的生育率就是150/850 = 0.176。

我們稱(chēng)按女性年齡分列的生育率為生育率表。一般只考慮15-49歲的女性，因?yàn)樵搮^(qū)間以外生育極為罕見(jiàn)。

人口統(tǒng)計(jì)把15-49歲區(qū)間按1歲分成35段，或按5歲等分成7段。我傾向于使用顆粒度更細(xì)的按1歲分段，但這對(duì)分析結(jié)果影響有限。

我們通常會(huì)一兩個(gè)指標(biāo)來(lái)概括由35個(gè)或7個(gè)數(shù)值表達(dá)的生育表。最常用的概括性指標(biāo)是總和生育率和平均生育年齡。

總和生育率是指每個(gè)年齡段的生育率加和值，一般不帶百分號(hào)。如果一個(gè)女性從出生到育齡結(jié)束無(wú)夭折風(fēng)險(xiǎn)，在每個(gè)年齡生育的概率正好是當(dāng)年這個(gè)年齡的生育率，那總和生育率就是該女性終生累計(jì)生育孩子數(shù)，可通俗地理解為女性“平均”生育的孩子數(shù)。

因此，總和生育率是生育率表的一個(gè)具可解釋意義的概括。另一個(gè)概括性指標(biāo)是平均生育年齡，即以分年齡生育率為權(quán)重，各年齡段中間年齡的加權(quán)平均。

總和生育率和平均生育年齡由生育率表決定，與人口的年齡結(jié)構(gòu)關(guān)系。其計(jì)算所需的各年齡段的女性及其生育的孩子數(shù)，一般由抽樣調(diào)查獲得。

基于代表性不好的抽樣框所估算的生育率給數(shù)據(jù)扭曲提供了巨大的空間。從2010到2015年，由每年出生人口推算的總和生育率與抽樣調(diào)查生育率相差10%-40%，嚴(yán)重誤導(dǎo)決策。

容易讓人迷惑的是，總和生育率一般又簡(jiǎn)稱(chēng)為生育率。我們說(shuō)生育率是1.07，指的就是總和生育率。

出生率和生育率聽(tīng)起來(lái)語(yǔ)義接近，但只要記住出生率側(cè)重于多少小孩出生，而生育率側(cè)重于女性的生育力度，就不容易混淆。

1.3）更替水平

人們通常把維持人口數(shù)量代際穩(wěn)定所需的總和生育率稱(chēng)為更替水平?？偤蜕侍幱诟嫠揭馕吨?，當(dāng)下出生的人在數(shù)量上可以替代其父母輩。

要準(zhǔn)確得出更替水平，需針對(duì)具體人口做模擬計(jì)算，但直觀上可由下式估算：

(1+出生性別比/100)/女性從出生到育齡的存活率。

針對(duì)106的出生性別比，不考慮女性夭折，更替水平為(1+106/100)/1 = 2.06，即100個(gè)女性生100*2.06 = 206個(gè)小孩，其中100個(gè)女?huà)搿?06個(gè)男嬰，正好替代父母輩。再除以存活率意在補(bǔ)償女性生育前的夭折。

發(fā)達(dá)國(guó)家更替水平約為2.07。在嚴(yán)厲計(jì)劃生育時(shí)期，中國(guó)出生性別比和女性死亡率都高于發(fā)達(dá)國(guó)家，要更高的更替水平如2.2才能維持人口代際穩(wěn)定?？紤]到二孩政策實(shí)施后，出生性別比逐步回落但依然高于自然水平，我現(xiàn)在用2.1來(lái)作為中國(guó)的更替水平。

聯(lián)合國(guó)統(tǒng)一把2.1設(shè)定為更替水平，會(huì)相對(duì)高估發(fā)展中國(guó)家的人口增長(zhǎng)。我不確定這到底是否有意，但知道聯(lián)合國(guó)是對(duì)中國(guó)人口長(zhǎng)期高估最嚴(yán)重的機(jī)構(gòu)。

2) 反映死亡情況的概念

2.1）死亡率

死亡率指當(dāng)年死亡人數(shù)相對(duì)年中總?cè)丝诘谋嚷?，一般帶百分?hào)或千分號(hào)。

死亡率也受人口年齡結(jié)構(gòu)的影響。例如，中國(guó)人口在每個(gè)年齡的死亡風(fēng)險(xiǎn)都小于巴基斯坦，但總死亡率卻高于后者，就是因?yàn)橹袊?guó)年齡結(jié)構(gòu)更老化。

人口統(tǒng)計(jì)一般把年齡分成0歲、1歲、… 、99歲、100歲和以上共101段。我們稱(chēng)按性別和年齡段分列的死亡率為死亡率表。

2.2) 預(yù)期壽命

預(yù)期壽命用于概括死亡率表，指一個(gè)人如果在不同年齡死亡的概率等于當(dāng)年這個(gè)年齡的死亡率，其在出生時(shí)的預(yù)期存活歲數(shù)。預(yù)期壽命也被通俗地稱(chēng)為平均壽命。

假設(shè)當(dāng)年0歲、1歲、2歲、…的死亡率分別是0.5%、0.0703.%、0.0603%、…。那出生的10000人中，

死于0歲的人數(shù)是：10000*0.5% = 50，

死于1歲的人數(shù)是：9950*0.0703% = 7，

死于2歲的人數(shù)是：9943*0.0603% = 6，

……。

這10000個(gè)人的平均壽命則是：

（0.5 * 50 + 1.5 * 7 + 2.5 * 6 + …)/10000。

在上面，0.5、1.5、2.5分別代表0歲、1歲、2歲去世的人去世時(shí)的平均年齡。把10000換成任何一個(gè)正數(shù)都不影響計(jì)算結(jié)果。

如果出生人口穩(wěn)定，預(yù)期壽命延長(zhǎng)會(huì)成比例增加總?cè)丝?。?949到1980年，中國(guó)預(yù)期壽命從35歲增長(zhǎng)到67歲，由1949年的5.4億（并非很多人誤以為的4億）推算，1980年的總?cè)丝趹?yīng)該有5.4*67/35 ?= 10.3 億，但實(shí)際只是9.9億。

也就是說(shuō)新中國(guó)前30年的人口增長(zhǎng)基本可歸因于預(yù)期壽命延長(zhǎng)。這點(diǎn)也可從出生人口的變化看出。據(jù)2010年人口普查數(shù)據(jù)回測(cè)，中國(guó)在1949年的出生人口是1925萬(wàn)，到1980年則是2030萬(wàn)。不過(guò)，1980年出生人口相對(duì)于1960年代中末期的2500-3000萬(wàn)是低谷。

在人口預(yù)測(cè)中，除了使用男女預(yù)期壽命外，我還會(huì)加上男女?huà)雰核劳雎?，即一?個(gè)指標(biāo)來(lái)概括死亡率表。嬰兒死亡率就是0歲死亡率，其數(shù)值顯著高于其他低齡死亡率。只使用預(yù)期壽命來(lái)概括整個(gè)死亡率表不足以充分反映死亡情況的變化。

3) 人口預(yù)測(cè)

3.1) 人口狀態(tài)表的更新

在任何年份，我們稱(chēng)按性別和年齡段分列的人口數(shù)為人口狀態(tài)表。按1歲分段，當(dāng)年人口狀態(tài)表包含2*101個(gè)數(shù)值。不考慮人口遷徙，人口預(yù)測(cè)主要是根據(jù)每年生育情況和死亡情況，由當(dāng)年的人口狀態(tài)表來(lái)推定下年的人口狀態(tài)表。

我們用出生性別比和分年齡生育率表來(lái)刻畫(huà)生育情況，用男女分年齡死亡率表來(lái)刻畫(huà)死亡情況。根據(jù)這些數(shù)據(jù)，按下式來(lái)更新當(dāng)年的人口狀態(tài)表而得到下年的人口狀態(tài)表：

下年0歲人口? =

? ? ? ? 當(dāng)年15歲女性生育率 * 當(dāng)年15歲女性數(shù)

? ? ?+ 當(dāng)年16歲女性生育率 * 當(dāng)年16歲女性數(shù)

? ? ?…

? ? ?+ 當(dāng)年49歲女性生育率 * 當(dāng)年49歲女性數(shù)。

? ? ?

按男女出生性別比，可把上式得出的下年0歲人口分成男女兩部分。下年1歲男女人口則分別按如下計(jì)算：

下年1歲男性人口 =

?當(dāng)年男性0歲人口 * (1 - 當(dāng)年男性0歲死亡率)，

?下年1歲女性人口 =

?當(dāng)年女性0歲人口 * (1 - 當(dāng)年女性0歲死亡率) ；

下年2歲的男女人口則分別可以按下面公式計(jì)算：

下年2歲男性人口 =

?當(dāng)年男性1歲人口 * (1 - 當(dāng)年男性1歲死亡率)，

?下年2歲女性人口 =

?當(dāng)年女性1歲人口 * (1 - 當(dāng)年女性1歲死亡率)；

……。

以此類(lèi)推，可一直計(jì)算到下年男女100歲和以上的人口，得到下年完整的人口狀態(tài)表。對(duì)未來(lái)每年依次重復(fù)如上算法，就可以推定未來(lái)任何一年的人口狀態(tài)表。

上述過(guò)程只用到加減乘除，一點(diǎn)也不高深。如果假設(shè)生育率表和死亡率表不變，或只考慮總和生育率改變，做人口預(yù)測(cè)只需初中數(shù)學(xué)知識(shí)。

3.2）構(gòu)造生育率表和死亡率表

如果生育情況和死亡情況有變，未來(lái)人口狀態(tài)如何演變？

我們用出生性別比、總和生育率、平均生育年齡、男女?huà)雰核劳雎屎湍信A(yù)期壽命共7個(gè)指標(biāo)來(lái)概括生育情況和死亡情況，現(xiàn)在的任務(wù)是，給定基底年份的生育率表和死亡率表，由未來(lái)任何一年的概括性指標(biāo)的設(shè)定值或預(yù)測(cè)值，來(lái)構(gòu)造該年完整的生育率表和死亡率表，再根據(jù)這些表加上出生性別比，由上年的人口狀態(tài)表來(lái)推定該年的人口狀態(tài)表。

我一般選人口普查年為基底年，因?yàn)檫@些年份的生育率表和死亡率表數(shù)據(jù)的樣本更大，理應(yīng)更可信。

生育率表包括15-49歲的35個(gè)數(shù)值，由總和生育率和平均生育年齡兩個(gè)指標(biāo)概括。如果平均生育年齡不變，總和生育率改變，可直接將每個(gè)年齡的生育率乘一個(gè)系數(shù)使得總和生育率等于設(shè)定的值。

本文以下部分所需知識(shí)超過(guò)初中范圍。

給定總和生育率，從設(shè)定的平均生育年齡來(lái)構(gòu)造生育率表會(huì)比較麻煩。我的做法是把不同年齡的生育率歸一化，再把與此對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)處在0-1之間的應(yīng)變量，通過(guò)一個(gè)正態(tài)分布函數(shù)的逆函數(shù)映射到實(shí)數(shù)軸上做平移，然后把平移后的函數(shù)應(yīng)變量通過(guò)之前的正態(tài)分布函數(shù)反映射到0-1之間。最后對(duì)這個(gè)變換后的概率分布通過(guò)差分計(jì)算出不同年齡的歸一化生育率，使其平均生育年齡等于設(shè)定的值。在這個(gè)變換中使用標(biāo)準(zhǔn)差為4的正態(tài)分布函數(shù)能很好地?cái)M合不同年份的生育率表。

任何性別的死亡率表包括101個(gè)死亡率數(shù)值，可看成由0歲死亡率和預(yù)期壽命兩個(gè)指標(biāo)來(lái)概括。給定0歲死亡率，對(duì)1-100歲的分年齡死亡率乘上一個(gè)系數(shù)，再乘上按年齡固定的放大率，得出縮放后的分年齡死亡率，使相應(yīng)的預(yù)期壽命等于設(shè)定的值。把放大率在1歲時(shí)設(shè)為2，然后線性遞減到10歲時(shí)的1，在10歲后維持在1能很好擬合不同年份的生育率表。

值得一提的是，在構(gòu)造生育率表和死亡率表的過(guò)程中，具體的擬合方法對(duì)最終人口狀態(tài)表的影響微乎其微。

給定上述構(gòu)造方法，只要設(shè)定未來(lái)任何一年的7個(gè)概括性指標(biāo)的數(shù)值，就可推定該年的人口狀態(tài)表。因此，所謂人口預(yù)測(cè)的“預(yù)測(cè)”部分只是對(duì)這7個(gè)指標(biāo)的設(shè)定或預(yù)測(cè)。

現(xiàn)在應(yīng)該容易找到免費(fèi)的人口預(yù)測(cè)程序包，但有基本編程技能的讀者如果有興趣，還是可以自己編寫(xiě)預(yù)測(cè)程序，這樣對(duì)細(xì)節(jié)理解會(huì)更深刻，也不容易在人口趨勢(shì)上被“專(zhuān)家們”誤導(dǎo)。

實(shí)際上，我自己寫(xiě)的人口預(yù)測(cè)的核心程序也只用了四五行R語(yǔ)言代碼，只是由設(shè)定參數(shù)構(gòu)造生育率表和死亡率表麻煩一些，但加上這部分功能的程序也不超過(guò)200行代碼。

總而言之，人口預(yù)測(cè)是很直白的事情。一個(gè)受過(guò)良好理工科訓(xùn)練的人，只要頭腦清醒，注意力集中，熟悉了幾張人口普查表格后，自己就應(yīng)該可以獨(dú)立發(fā)明我這里描述的所謂預(yù)測(cè)方法。

3.3）人口動(dòng)力學(xué)方程及其拓展意義

可以把人口狀態(tài)表的演化寫(xiě)成下面的離散化矩陣形式的動(dòng)力學(xué)方程：

P[t+1]-P[t] = (B[t] - D[t]) * P[t]，

這里P[t]、B[t]和D[t]分別是t年的人口狀態(tài)表、生育率表和死亡率表。

這很像是一維離散化的由物質(zhì)不滅推導(dǎo)出來(lái)的擴(kuò)散方程，只是擴(kuò)散機(jī)制不同。從該角度來(lái)看，人口狀態(tài)表可被視為一維的年齡空間的密度，而生育率表和死亡率表則刻畫(huà)擴(kuò)散機(jī)制。

考慮到人口空間遷徙，上述動(dòng)力學(xué)方程可從一維年齡空間擴(kuò)展到年齡加地理位置的多維空間。這時(shí)反映擴(kuò)散機(jī)制的則是生育率、死亡率和遷徙率。

再進(jìn)一步，如果把擴(kuò)散方程左邊視為復(fù)數(shù)空間上的波動(dòng)函數(shù)，再把擴(kuò)散系數(shù)拓展到虛數(shù)，那么擴(kuò)散方程看起來(lái)就有點(diǎn)像量子力學(xué)里的薛定諤方程。

我提這些只是說(shuō)那些看起來(lái)無(wú)關(guān)的現(xiàn)象底層的邏輯可能是相通的。要更好地理解這個(gè)世界，除了在現(xiàn)有的框架下學(xué)習(xí)知識(shí)外，還需要回到底層邏輯做自己的思考，而不應(yīng)太局限于現(xiàn)有的學(xué)科分類(lèi)體系。不管是對(duì)群體還是個(gè)體，只做好學(xué)生是不夠的。

【 全文完，感謝您的耐心閱讀 】

本號(hào)匯集黃文政文章，闡述人類(lèi)美好生活依賴(lài)于時(shí)空關(guān)聯(lián)的人口規(guī)模。一是由知識(shí)和技能凝結(jié)的縱向人數(shù)；二是由交流和互動(dòng)凝聚的橫向人數(shù)。?該框架源自對(duì)生命群體演化底層邏輯的思考，探究我們是誰(shuí)，應(yīng)在哪，如何協(xié)同，意在解釋為何生存、繁衍、興盛是生命終極意義。

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