方程組的幾何解釋

分離系數(shù)、變量和結果（分別寫作矩陣的形式），就可以將線性方程轉化為：

Ax=b

從而可以得到在平面直角坐標系上滿足方程的直線：

對于第一個線性方程2x-y0=來說，x=0時y=0，且x=1時y=2,此時得到一條直線：

這條直線就是第一個方程2x-y=0的解，這是顯而易見的初中知識，同理，第二條直線也可以在平面直角坐標系中作出：

發(fā)現(xiàn)兩條直線交于（1,2），這個點同時滿足兩個線性方程.

然而，列圖像（column picture）才是重點：

這個方程的目的，是尋找兩個向量正確的linear combination：

linear combination of columns.

這就把線性方程和向量的知識結合起來了.

x,y兩個變量，實際上就是兩個向量的伸長或收縮倍數(shù)！

啊，多么美啊。新世界交響曲！

下面是三元的情況.

現(xiàn)有三個線性方程組：

row picture是一種方法，column picture是另一種更重要的方法.

矩陣形式，使問題簡化.

三個未知數(shù)，能夠?qū)懗鲆粋€3x3矩陣,這就是三個方程的簡化形式. 顯然有列3=列1+列2.

對于剛才的兩個方程組成的二元方程組來說，所有解的圖像構成一個平面；在三元方程組中，任意二元也都有一個解平面.

（上面的黑板）

下面又是column picture的環(huán)節(jié)column picture的環(huán)節(jié)：

（下面的黑板）

每個向量均為三維向量.

這就是大家在高中熟悉的立體建系.

消元法elimination

Can I solve Ax=b for every b?

= Do the linear combinations of the columns fill 3 dimensional space?

這個問題引出了矩陣的秩的本質(zhì)，確定維度.

在Ax=b中，A乘以x，矩陣乘以向量.

在上述例子中，答案是yes.但這有又出了另外一個問題：

When would I not be able to produce some b off here?

Singular case（奇異情況）這種情況下，矩陣不可逆，答案是No.

關于矩陣可逆的說明（彈幕）：

矩陣可逆，即說明該矩陣可以通過一系列基礎變換得到單位矩陣，同時單位矩陣可以通過一系列基礎變換得到任意矩陣.