符合勾股定理的數(shù)稱為勾股數(shù)，勾股數(shù)有很多，如(3,4,5)，(5,12,13)，(333,444,555)，(777,2664,2775)，(29,420,421)，(7821,102828,103125)(35,120,125)，(10,24,26)，(25,60,65)，(30,40,50)，………

勾股定理是復(fù)數(shù)加法運(yùn)算的表現(xiàn)形式，在勾股定理中存在一種線性的關(guān)系，也是由復(fù)數(shù)的運(yùn)算決定的。

任意一個(gè)復(fù)數(shù)，如 3+4i 構(gòu)成它的實(shí)部和虛部的數(shù)滿足勾股定理，3^2+4^2＝5^2，? 那么這個(gè)復(fù)數(shù)的平方，如(4+3i)^2＝7+24i， 構(gòu)成它的實(shí)部和虛部的數(shù)也滿足勾股定理。7^2+24^2＝25^2。

下面這個(gè)復(fù)數(shù)，它的實(shí)部與虛部的平方和不滿足勾股定理

? ? ? ? ?(2+3i)^2＝-5+12i

復(fù)數(shù) 2+3i 不滿足勾股定理，2^2+3^2＝13 不能寫(xiě)成一個(gè)正整數(shù)的平方， 不滿足勾股定理，但是復(fù)數(shù) -5+12i 滿足勾股定理，(-5)^2+12^2＝13^2，并且

(-5+12i)^2＝-119-120i

(-119)^2+(-120)^2＝169^2

(-119-120i)^2＝-239+28560i

(-239)^2+28560^2＝28561^2

(11+12i)^2＝-23+264i

11^2+12^2＝265? 不滿足勾股定理

(-23)^2+264^2＝265^2? 滿足勾股定理

(11+10i)^2＝21+220i

11^2+10^2＝221 不滿足勾股定理

21^2+220^2＝221^2? 滿足勾股定理

任意一個(gè)復(fù)數(shù)，它的實(shí)部與虛部的平方和不一定滿足勾股定理，但是這個(gè)復(fù)數(shù)的平方仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)，并且運(yùn)算結(jié)果構(gòu)成這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的數(shù)一定滿足勾股定理。

a+bi 是任意一個(gè)復(fù)數(shù)，a，b是整數(shù)

(a+bi)^2＝c+di? (c+di 仍然是一個(gè)復(fù)數(shù))

c^2+d^2＝g^2 (c^2+d^2＝g^2 一定滿足勾股定理)。

任意一個(gè)復(fù)數(shù)，如果它的實(shí)部與虛部的平方和滿足勾股定理，則它的N次方仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)，并且這個(gè)運(yùn)算結(jié)果對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平方和仍然滿足勾股定理。如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平方和不滿足勾股定理，則它的偶數(shù)次方這個(gè)運(yùn)算結(jié)果對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平方和仍然滿足勾股定理。

例如復(fù)數(shù) 3+4i

3^2+4^2＝5^2 (勾股定理)

(3+4i)^2＝-7+24i

(-7)^2+24^2＝25^2 (滿足勾股定理)

(3+4i)^3＝-117+44i

(-117)^2+44^2＝125^2(滿足勾股定理)

(3+4i)^4＝-527-336i

(-527)^2+(-336)^2＝625^2 (滿足勾股定理)

(3+4i)^5＝-237-3116i

(-237)^2+(-3116)^2＝3125^2 (滿足勾股定理)

…………

例如復(fù)數(shù) 7+24i

7^2+24^2＝25^2 (勾股定理)

(7+24i)^2＝-527+336i

(-527)^2+336^2＝625^2 (滿足勾股定理)

(7+24i)^3＝-11753-10296i

(-11753)^2+(-10296)^2＝15625^2(滿足勾股定理)

(7+24i)^4＝164833-354144i

164833^2+(-354144)^2＝390625^2 (滿足勾股定理)

…………

例如復(fù)數(shù) 5+12i

5^2+12^2＝13^2 (勾股定理)

(5+12i)^2＝-119+120i

(-119)^2+120^2＝169^2 (滿足勾股定理)

(5+12i)^3＝-2035-828i

(-2035)^2+(-828)^2＝2197^2(滿足勾股定理)

(5+12i)^4＝-239-28560i

(-239)^2+(-28560)^2＝28561^2 (滿足勾股定理)

(5+12i)^5＝341525-145668i

341525^2+145668^2＝371293^2

…………

例如復(fù)數(shù) 1+5i

1^2+5^2＝26 (不滿足勾股定理)

(1+5i)^2＝-24+10i

(-24)^2+10^2＝26^2 (滿足勾股定理)

(1+5i)^3＝-74-110i

(-74)^2+(-110)^2＝17576(不滿足勾股定理)

(1+5i)^4＝476-480i

476^2+(-480)^2＝676^2 (滿足勾股定理)

(1+5i)^5＝2876+1900i

2876^2+1900^2＝11811376(不滿足勾股定理)

…………

k是一個(gè)實(shí)數(shù)，n是整數(shù)，a+bi 是任意一個(gè)復(fù)數(shù)，如果 a+bi 的實(shí)部與虛部的平方和滿足勾股定理，則? (k?(a+bi))^n 的實(shí)部與虛部的平方和滿足勾股定理。舉例如下

取 k＝0.1，n＝2，a+bi＝3+4i，得到

(0.1?(3+4i))^2＝-0.07+0.24i

(-0.07)^2+0.24^2＝0.25^2

取 k＝-0.1，n＝-5，a+bi＝3+4i，得到

((-0.1)?(3+4i))^(-5)＝2.42688-31.90784i

2.42688^2+(-31.90784)^2＝32^2

…………

任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果它們的實(shí)部與虛部的平方和滿足勾股定理，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)之積的實(shí)部與虛部的平方和也滿足勾股定理。例如? 3+4i ，9+12i，

?11+60i，15+20i，21+28i，這些復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平方和皆滿足勾股定理。3^2+4^2＝5^2，9^2+12^2＝15^2，11^2+60^2＝61^2，15^2+20^2＝25^2，21^2+28^2＝35^2

作任意兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘積

(3+4i)?(9+12i)＝-21+72i

(11+60i)?(21+28i)＝-1449+1568i

(9+12i)?(15+20i)＝-105+360i

(3+4i)?(21+28i)＝-49+168i

(9+12i)?(21+28i)＝-147+504i

…………

(-21)^2+72^2＝72^2

(-1449)^2+1568^2＝2135^2

(-105)^2+360^2＝375^2

(-49)^2+168^2＝175^2

(-147)^2+504^2＝525^2

..........

仍然滿足勾股定理。

(3+4i)?(9+12i)?(21+28i)?(15+20i)＝

-55335-35280i

(-55335)^2+(-35280)^2＝65625^2

…………

給定有限個(gè)復(fù)數(shù)，它們的實(shí)部與虛部的平方和皆滿足勾股定理，則這有限個(gè)復(fù)數(shù)的乘積的實(shí)部與虛部的平方和也滿足勾股定理。

(15+14i)^2?(3+4i)^2＝-10283-2244i

(-10283)^2+(-2244)^2＝10525^2

(15+14i)^2?(3+4i)^2?(9+12i)^2＝

1132533-2079756i＝

1132533^2+(-2079756)^2＝2,368,125^2

…………

給定有限個(gè)復(fù)數(shù)，它們的實(shí)部與虛部的平方和皆滿足勾股定理，則這有限個(gè)復(fù)數(shù)的 N 次方(N為正整數(shù))的乘積的實(shí)部與虛部的平方和也滿足勾股定理

。

(8+15i)^3(9+12i)^5＝-93303252+3729642489i

93303252^2+3729642489^2

3730809375^(2)

(3+4i)^2(8+15i)^3(9+12i)^4

-5066159904+3605238153i

5066159904^2+3605238153^2＝6218015625^2

…………

任意給定有限個(gè)復(fù)數(shù)，它們的實(shí)部與虛部的平方和滿足勾股定理，則它們的 p(可以取不同的正整數(shù)值)次方的乘積的實(shí)部與虛部的平方和也滿足勾股定理。即給定有限個(gè)復(fù)數(shù) a+bi，c+di，m+ni……

它們的 (a+bi)^p?(c+di)^r?(m+ni)^s………的實(shí)部與虛部的平方和也滿足勾股定理。

給定任意有理 p 和 q，正整數(shù) r ，s 和復(fù)數(shù)(a+bi)，(c+di)，這些復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平方和滿足勾股定理，則

((p?(a+bi))^r)?((q?(c+di))^s) 的的實(shí)部與虛部的平方和也滿足勾股定理。例如 (0.2?(5+12i)^3)?(0.4?(3+4i))＝-8.9376-33.9968i

(-8.9376)^2+(-33.9968)^2＝33.152^2

任意兩個(gè)滿足勾股定理的復(fù)數(shù)之商是一個(gè)實(shí)數(shù)，即它們是線性關(guān)系。

(9+12i)/(15+20i)=0.6

(9+12i)/(3+4i)＝3

(21+28i)/(15+20i)＝1.4

…………

如果 a+bi 是任意一個(gè)復(fù)數(shù)，a，b是整數(shù)

a^2+b^2＝g^2 (滿足勾股定理)

則? a^2+(b^2)i? 仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)

(a^2)^2+(b^2)^2≠g^2 (不滿足勾股定理，即不存在一個(gè)整數(shù)g使該式成立)

(a^2)^2+((b^2)^2)i? 仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)

((a^2)^2)^2+((b^2)^2)^2≠g^2 (不滿足勾股定理，即不存在一個(gè)整數(shù)g使該式成立)

推出 復(fù)數(shù)a^n+(b^n)i 中，a，b為任意整數(shù)，當(dāng) n 為大于等于 2 的整數(shù)時(shí)，其計(jì)算結(jié)果得到的復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的平方和不滿足勾股定理。

a+bi 是任意一個(gè)復(fù)數(shù)，a，b是整數(shù)，

a^2+(b^2)i 的實(shí)部與虛部的平方和不滿足勾股定理，即不一定存在一個(gè)正整數(shù)c，使得(a^2)^2+(b^2)^2＝c^2 成立。

對(duì)于任意復(fù)數(shù)，即它的實(shí)部與虛部都是整數(shù)的復(fù)數(shù)，勾股定理不成立 ，即

? ? ? ? ? a^2+b^2＝c^2 不成立

(其中，a，b，c 都是實(shí)部與虛部是整數(shù)的復(fù)數(shù)。且a 與 b 之間的夾角必須是 90?)

對(duì)于任意復(fù)數(shù)，如果它的實(shí)部與虛部是可以取任何有理數(shù)或無(wú)理數(shù)，則勾股定理成立。比如

arg((20+30i)^2)-arg((20+4i)^2)

1.570796327? (arg 表示輻角，單位是弧度，轉(zhuǎn)換成角度是90.00000001?)

(20+30i)^2+(20+4i)^2＝-116+1360i

√(-116+1360i)＝24.98937868+27.21156091i (實(shí)部與虛部都是無(wú)理數(shù)，式中是近似值)，即

(20+30i)^2+(20+4i)^2＝

(24.98937868+27.21156091i)^2

任意給定一個(gè)復(fù)數(shù)，它乘以任意一個(gè)實(shí)數(shù)，仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)，而且這些復(fù)數(shù)共線，如果這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平方和滿足勾股定理，則所有公線復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平方和也滿足勾股定理。

任意給定一個(gè)復(fù)數(shù)，它的平方是一個(gè)復(fù)數(shù)，如果這些復(fù)數(shù)共線，則這些復(fù)數(shù)的平方仍然共線。

勾股定理是復(fù)數(shù)加法運(yùn)算的特殊形式。

? ? ? ? ? ?3^2+4^2＝5^2

? ? ? ? ? ?(3^2+4^2i)+(16-16i)＝25

? ? ? ? ? ?(3^2+16i)+(4^2-16i)＝25

任意三個(gè)實(shí)數(shù)，a，b，c，如果滿足勾股定理， a^2+b^2＝c^2。對(duì)于任意實(shí)數(shù)d，也滿足勾股定理?

? ? ? ? ?d^2?a^2+d^2?b^2＝n^2

d^2?a^2 與 d^2?b^2 可以寫(xiě)成一個(gè)實(shí)數(shù)的平方。

任意給定一個(gè)復(fù)數(shù)，它的實(shí)部與虛部的皆為整數(shù)，且實(shí)部與虛部的平方和滿足勾股定理，則將這個(gè)復(fù)數(shù)任意縮放（即線性變換）后它的實(shí)部與虛部的平方和仍然滿足勾股定理。列如，復(fù)數(shù)? 3+4i，縮放 n 倍，n為整數(shù)，仍然滿足勾股定理，當(dāng)n＝-2 時(shí)

? ? ?(-2)?(3+4i)＝-6-8i

? ? ?(-6)^2+(-8)^2＝10^2

當(dāng) n＝0.5 時(shí)，0.5?(3+4i)＝1.5+2i

1.5^2+2^2＝2.5^2

當(dāng) n＝0.11111 時(shí)，0.111?(3+4i)＝0.33333+0.44444i

0.33333^2+0.44444^2＝0.55555^2

當(dāng)n＝11111時(shí)，11111?(3+4i)＝

33333+44444i

33333^2+44444^2＝55555^2

下面的情況與上面的類似，它對(duì)應(yīng)的是復(fù)數(shù) 6+8i

6^2+8^2＝10^2

66^2+88^2＝110^2

666^2+888^2＝1110^2

6666^2+8888^2＝11110^2

對(duì)復(fù)數(shù) 7+24i 來(lái)說(shuō)，對(duì)應(yīng)下面的勾股定理

7^2+24^2＝25^2

77^2+264^2＝275^2

777^2+2664^2＝2775^2

7,777^2+26664^2＝27775^2

7,7777^2+266664^2＝277775^2

……………

無(wú)限循環(huán)小數(shù)也滿足勾股定理

(3/7)^2+(4/7)^2＝(5/7)^2

式中，3/7，4/7，5/7 是無(wú)限循環(huán)小數(shù)

任給兩個(gè)復(fù)數(shù) a+bi，c+di，如果它們的實(shí)部與虛部的平方和滿足勾股定理，即存在整數(shù) g 和 h ，使得

? ? ? ? ?a^2+b^2＝g^2

? ? ? ? ?c^2+d^2＝h^2

成立，則當(dāng) (a+bi)?(c+di)＝(j+ki) 時(shí)

j^2+k^2＝p^2

例如 a+bi＝3+4i? (給 a+bi 賦值)

? ? ? ?3^2+4^2＝5^2(勾股定理)

c+di＝6+8i? (給 c+di 賦值)

? ? ? ?6^2+8^2＝10^2(滿足勾股定理)

(a+bi)?(c+di)＝(3+4i)?(6+8i)＝-14+48i

(-14)^2+48^2＝50^2 (滿足勾股定理)

再舉幾例

3^2+4^2＝5^2? (勾股定理)

11^2+60^2＝61^2? (勾股定理)

(3+4i)?(11+60i)＝-207+224i

(-207)^2+224^2＝305^2(滿足勾股定理)

7^2+24^2＝25^2 (勾股定理)

5^2+12^2＝13^2? (勾股定理)

(7+24i)?(5+12i)＝-253+204i

(-253)^2+204^2＝325^2(滿足勾股定理

8^2+15^2＝17^2 (勾股定理)

14^2+48^2＝50^2 (勾股定理)

(8+15i)?(14+48i)＝-608+594i

(-608)^2+594^2＝850^2(滿足勾股定理

…………

下面從幾何的角度來(lái)看勾股定理與復(fù)數(shù)的關(guān)系，先看下圖

圖中，3+4i? 是一個(gè)復(fù)數(shù)，9+16i 也是一個(gè)復(fù)數(shù)，9+16i ＝3^2+(4^2)i，16-16i 也是一個(gè)復(fù)數(shù)，并作如下運(yùn)算

(9+16i)+(16-16i)＝25，這是一個(gè)復(fù)數(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)運(yùn)算的法則是平行四邊形法則。

由? (9+16i)+(16-16i)＝25，得下式

(3^2+16i)+(4^2-16i)＝25，得

3^2+4^2＝25，得

3^2+4^2＝5^2

由此得出，勾股定理是復(fù)數(shù)運(yùn)算的一種特殊形式。三角形的兩邊之和大于第三邊，任意一個(gè)復(fù)數(shù)，由它的實(shí)部和虛部唯一確定一個(gè)直角三角形，直角三角形滿足勾股定理，但在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)法解釋為什么在直角三角形中，斜邊的平方為什么等于兩個(gè)直角邊的平方和，但是轉(zhuǎn)換到復(fù)空間中，用復(fù)數(shù)運(yùn)算就很好的解釋了直角三角形的勾股定理。

?

在上面的計(jì)算式中 3+4i 的模等于5，實(shí)數(shù) 25 也是一個(gè)復(fù)數(shù)，它的模長(zhǎng)也是25，于是復(fù)數(shù) 25 的模長(zhǎng)是復(fù)數(shù) 3+4i 的模長(zhǎng)的 5 倍，是一個(gè)整數(shù)。而復(fù)數(shù)

9+16i 的模長(zhǎng)是 18.35755975

?norm(9+16i)＝18.35755975

(norm 表示模長(zhǎng))

9+16i 的模長(zhǎng)與 3+4i 的模長(zhǎng)之比不是一個(gè)整數(shù)，因此 9+16i 的實(shí)部與虛部的平方和不滿足勾股定理。

?

得出如下結(jié)論：任意一個(gè)復(fù)數(shù)，如果它的實(shí)部與虛部的平方和滿足勾股定理，且另一個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)與它的模長(zhǎng)之比是一個(gè)整數(shù)，則另一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平方和也滿足勾股定理。

舉例如下：

norm(3+4i)＝5

norm(7+24i)＝25

norm(7+24i)/norm(3+4i)＝5

7^2+24^2＝25^2

norm(12+16i)＝20

norm(12+16i)/norm(3+4i)＝4

12^2+16^2＝20^2

…………

上述結(jié)論反過(guò)來(lái)卻不一定成立，如

norm(11+60i)/norm(3+4i)＝12.2

結(jié)果不是整數(shù)，但是

11^2+60^2＝61^2

仍然滿足勾股定理。

如果一個(gè)復(fù)數(shù)與另一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部都是整數(shù)，且這兩個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)之比是整數(shù)，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)之比是一個(gè)復(fù)數(shù)，且運(yùn)算得到的這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部也是一個(gè)整數(shù)。

如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平方和滿足勾股定理，則這個(gè)復(fù)數(shù)的線性變換得到的復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平方和也滿足勾股定理。

結(jié)論：勾股定理是一種復(fù)數(shù)運(yùn)算。

我想知道任給三個(gè)復(fù)數(shù)，它們的實(shí)部與虛部都是整數(shù)，那么其中任意兩個(gè)復(fù)數(shù)的平方和等于第三個(gè)復(fù)數(shù)的平方，而且作為加數(shù)的這兩個(gè)復(fù)數(shù)之間的輻角之差必須是 90?

即這三個(gè)復(fù)數(shù)要滿足勾股定理。

即任給三個(gè)復(fù)數(shù) a+bi，c+di，j+ki，a，b，c，d，j，k都是整數(shù)，下式成立

(a+bi)^2+(c+di)^2＝(j+ki)^2，并且

arg((a+bi)^2)-arg((b+di)^2)＝π/2。

我作了多次運(yùn)算，始終未果。當(dāng)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的取值不限制在整數(shù)范圍內(nèi)，可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值時(shí)，(a+bi)^2+(c+di)^2＝(j+ki)^2? 是近似成立的。例如

(12+5i)^2+(12-5i)^2＝(√238)^2＝238

arg((12+5i)^2)-arg((12-5i)^2)≈90.4794598≈90?

人們經(jīng)常說(shuō)勾三股四弦五，它是怎么來(lái)的呢？它其實(shí)是通過(guò)復(fù)數(shù)運(yùn)算得出的，(2+i)^2＝3+4i? 3^2+4^2＝5^2，這便是勾股定理的一種常見(jiàn)形式。可見(jiàn)，任意一個(gè)復(fù)數(shù)，它的實(shí)部與虛部的平方和不一定滿足勾股定理，但是當(dāng)把這個(gè)復(fù)數(shù)平方以后，實(shí)部與虛部的平方和則一定滿足勾股定理。任意一個(gè)復(fù)數(shù)，若要使得勾股定理成立，大前題是，在復(fù)數(shù) a+bi 中，a≠b且a≠0，b≠0。若a＝b，或a≠0，b≠0則 (a+bi)^2＝di (a,b,d是實(shí)數(shù))純虛數(shù)或?qū)崝?shù)，在此種條件下勾股定理就失去了意義。因此，勾股定理是復(fù)數(shù)定理的特殊形式。

有一些客觀事實(shí)實(shí)是反直覺(jué)的，比如說(shuō)，人們認(rèn)為整數(shù)都是精確的可以測(cè)量的值，其實(shí)不然，整數(shù)只是無(wú)理數(shù)的近似。即自然界中本就不存在一個(gè)所謂的精確的數(shù)值，一切值都只能是近似值，甚至宇宙也是由無(wú)理數(shù)主導(dǎo)的，無(wú)理數(shù)包含有理數(shù)。比如我們對(duì)復(fù)數(shù) 3+4i 不斷開(kāi)方，結(jié)果是

√(3+4i)＝2+i

√(2+i)＝1.45534669+0.3435607497i

√(1.45534669+0.3435607497i)＝

1.214638932+0.1414250526i

………

這樣一直開(kāi)方下去，結(jié)果不可能是1，因?yàn)槌朔脚c開(kāi)方互為逆運(yùn)算，如果? ? ? 3+4i不斷開(kāi)方的結(jié)果等于1，那么逆運(yùn)算后就無(wú)法得到 3+4i 這個(gè)復(fù)數(shù)了。不斷開(kāi)方的結(jié)果使得復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部都變成了無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)不斷乘方又怎么能變成有理數(shù)呢？因此，要么把有理數(shù)看作無(wú)理數(shù)運(yùn)算結(jié)果的近似，要么把無(wú)理數(shù)看作有理數(shù)運(yùn)算的一種結(jié)果。

有理數(shù)與無(wú)理數(shù)具有相對(duì)性，它們都是運(yùn)算的一種結(jié)果，而宇宙正是處在無(wú)窮盡的運(yùn)算結(jié)構(gòu)之中，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算可以得到全部實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)都是運(yùn)算結(jié)果，而非真實(shí)存在，即不存在一個(gè)與生俱來(lái)的實(shí)數(shù)，更基本的數(shù)是復(fù)數(shù)。數(shù)中最基本的數(shù)是1，0是很晚才出現(xiàn)的，而且單獨(dú)的0并不表示數(shù)，它常用于和非零數(shù)字組合表示數(shù)。1 這個(gè)數(shù)是復(fù)數(shù)運(yùn)算的結(jié)果。

? ? ? ? ((√2/2+(√2/2)i)^4)^2＝1

由此推出

2?((√2/2+(√2/2)i)^4)^2＝2

3?((√2/2+(√2/2)i)^4)^2＝3

4?((√2/2+(√2/2)i)^4)^2＝4

5?((√2/2+(√2/2)i)^4)^2＝5

…………

得到這些正整數(shù)的前題是復(fù)數(shù) a+bi 的實(shí)部和虛部必須是無(wú)理數(shù)。

這些運(yùn)算是復(fù)數(shù)的線性運(yùn)算，因此，正整數(shù)以 1 為單位元是線性空間，是由復(fù)數(shù)的線性運(yùn)算決定的。

所有的實(shí)數(shù)都可以通過(guò)復(fù)數(shù)間的運(yùn)算得到，由此看來(lái)，復(fù)數(shù)單位 i 才是最基本的數(shù)，而非實(shí)數(shù) 1。

通過(guò)上面的分析，復(fù)數(shù) 3+4i 的實(shí)部與虛部的平方和又可以寫(xiě)成

(3?((√2/2+(√2/2)i)^4)^2)^2+

(4?((√2/2+(√2/2)i)^4)^2)^2＝

(5?((√2/2+(√2/2)i)^4)^2)^2

設(shè) n 為正整數(shù)，

(3?((√2/2+(√2/2)i)^4)^2)^n+

(4?((√2/2+(√2/2)i)^4)^2)^n＝

(5?((√2/2+(√2/2)i)^4)^2)^n

僅當(dāng) n＝2時(shí)，上式才成立，否則相加的結(jié)果便是個(gè)無(wú)理數(shù)，不能寫(xiě)成一個(gè)有理數(shù)的平方。

((√8+(√2)i)^4)＝-28+96i

((√18+(√2)i)^4)＝112+384i

((√32+(√2)i)^4)＝644+960i

((√50+(√2)i)^4)＝1904+1920i

…………

上述計(jì)算結(jié)果的實(shí)部與虛部的平方和也滿足勾股定理，如下

(?28)^2+96^2＝100^2

112^2+384^2＝400^2

總結(jié)如下：給定一個(gè)復(fù)數(shù) a＋bi，令a＝√(2?n^2)，b＝√(2?p^2)，n，p，k 都是正整數(shù)，n 和 p 的取值可以是不同的，則(√(2?n^2)+√(2?p^2)i)^(2?k^2) 的實(shí)部與虛部的平方和滿足勾股定理，把上式括號(hào)內(nèi)的復(fù)數(shù)乘以一個(gè)整數(shù)得到的復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平方和也滿足勾股定理。

(√2+√8i)^2?(√18+√8i)^2＝-252-64i

(√2+√8i)^2?(√18+√8i)^6＝150672-90496i

(√2+√8i)^4?(√18+√8i)^6＝

-180064+1748352i

(√2+√8i)^2?(√18+√8i)^4?(√2+√18i)^6＝47308800-26201600i

………

總結(jié)如下：給定幾個(gè)復(fù)數(shù) ，它們的實(shí)部是√(2?n^2)，虛部是√(2?p^2)，n，p，k 都是正整數(shù)，n 和 p 的取值可以是不同的，k的取值必須是偶數(shù)，也可以取不同的偶數(shù)，則

((√(2?n^2)+√(2?p^2)i)^k) ?((√(2?n^2)+√(2?p^2)i)^k)

?((√(2?n^2)+√(2?p^2)i)^k)………

的實(shí)部與虛部的平方和滿足勾股定理，當(dāng)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部取無(wú)理數(shù)時(shí)，得出的規(guī)律與當(dāng)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部取無(wú)理數(shù)時(shí)得出的規(guī)律是完全相同的，不同的是有限制條件，根號(hào)下的數(shù)必須是 2?n^2 ，不滿足這一條件上述結(jié)論不成立。

(√2/√5+(√8/√5)i)^2＝-1.2+1.6i

(√2/√20+(√8/√5)i)^2＝-1.5+0.8i

(√2/√80+(√8/√5)i)^2＝-1.575+0.4i

(√2/√80+(√8/√20)i)^2＝-0.375+0.2i

(√2/√80+(√8/√80)i)^2＝-0.075+0.1i

(√2/√80+(√8/√320)i)^2＝0.05i

…………

上式中，除去最后一個(gè)，計(jì)算結(jié)果的實(shí)部與虛部的平方和都滿足勾股定理，作乘方運(yùn)算的因子的實(shí)部與虛部都是無(wú)理數(shù)，而乘方后的結(jié)果卻都是有理數(shù)。

(11+60i)/(3+4i)＝10.92+5.44i

10.92^2+5.44^2= 12.2^2

(5+12i)/(3+4i)＝2.52+0.64i

2.52^2+0.64^2＝2.6^2

(15+20i)/(14+48i)＝0.468-0.176i

0.468^2+0.176^2＝0.5^2

…………

上述算式超出了整數(shù)范圍，即所有的勾股數(shù)不再是整數(shù)，變成了小數(shù)，因此，可以推斷，勾股定理在有理數(shù)范圍內(nèi)成立。

同樣的，勾股定理在無(wú)理數(shù)范圍內(nèi)也應(yīng)該成立，例如：

√3^2+√5^2＝√8^2

這個(gè)式子不能簡(jiǎn)單看作 3+4=7，在一個(gè)三角形中，兩邊之和是不可能等于第三邊的，但如果兩邊的長(zhǎng)度分別是√3 和 √4，那么，斜邊的長(zhǎng)度就等于

√7(直角三角形)，可以和3^2+4^2＝5^2作類比，由此判斷，勾股定理在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是成立的。勾股定理等價(jià)于實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算，也等價(jià)于復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算。再舉幾例

1^2+(√2)^2＝√3^2

1^2+2^2＝√5^2

√3^2+√4^2 ＝ √7^2

2^2+2^2＝√8^2

√3^2+√5^2 ＝ √8^2

2^2+√2^2＝√6^2

√5^2+√2^2＝√7^2

3^2+1^2＝√10^2

3^2+√2^2＝√11^2

1^2+1^2＝√2^2

π^2+π^2＝(π√2)^2

(3π)^2+(4π)^2＝(5π)^2

我把上面的算式畫(huà)在了下圖中。

最外面的直角三角形對(duì)應(yīng)著 3^2+4^2＝5^2。

內(nèi)部的紅色直角三角形對(duì)著 1^2+1^2＝√2^2， 2^2+2^2＝√8^2，3^2+3^2＝√18^2。這里再次出現(xiàn)了 2n^2。凡是平方和等于 2n^2 的點(diǎn)都在一條直線上

。即 √2，√8，√18……是線性關(guān)系。所有在一條直線上的無(wú)理數(shù)都是線性關(guān)系。勾股數(shù)可以由無(wú)理數(shù)構(gòu)成。

復(fù)數(shù)也是近似滿足勾股定理的，下圖反應(yīng)了復(fù)數(shù)的運(yùn)算與勾股定理的關(guān)系。

第一張圖中的綠色線既是兩個(gè)復(fù)數(shù)的平方和，也是兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和，即分別在兩個(gè)直角三角形中，兩個(gè)復(fù)數(shù)的平方和等于兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和。而在復(fù)數(shù)運(yùn)算的直角三角形中，分別代表兩條直角邊的復(fù)數(shù)的平方和并不等于代表直角三角形斜邊的復(fù)數(shù)的平方和。即? (7+17i)^2+ (48+20i)^2 不等于(55+37i)^2,只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)中的一個(gè)的模非常小，而另一個(gè)復(fù)數(shù)的模相對(duì)第一個(gè)復(fù)數(shù)非常大的情況下，復(fù)數(shù)才滿足勾股定理。也就是說(shuō)任意兩個(gè)相互重直的復(fù)數(shù)，若要使它們的平方和滿足勾股定理，其中一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部要近似為零，而另一個(gè)復(fù)數(shù)要相對(duì)較大。如果把這種情況推到極限，即其中一個(gè)復(fù)數(shù)無(wú)限小，就可以得出任何向量與 0 向量垂直，當(dāng)其中一個(gè)復(fù)數(shù)等于0時(shí)，勾股定理也就失效了。舉例如下

任給兩個(gè)復(fù)數(shù)，當(dāng)然這里用共軛復(fù)數(shù)來(lái)計(jì)算，其實(shí)任意取兩個(gè)相互垂直的復(fù)數(shù)計(jì)算，得出的結(jié)論是相同的。

0.00390625+0.00390625i? ?和

1.732055212-1.732055212i

arg((0.00390625+0.00390625i))-arg((1.732055212-1.732055212i))＝1.570796327 (兩個(gè)復(fù)數(shù)相互垂直)

(0.00390625+0.00390625i)^2+(1.732055212-1.732055212i)^2＝-5.999999997i(兩個(gè)復(fù)數(shù)的平方和)

((0.00390625+0.00390625i)+(1.732055212-1.732055212i))^2＝0.0270633627-5.999999997i(兩個(gè)復(fù)數(shù)的和的平方，兩個(gè)相互垂直復(fù)數(shù)的和對(duì)應(yīng)直角三角形的斜邊)

0.0270633627-5.999999997i≈-5.999999997i

由下列算式可以看出純虛數(shù)也滿足勾股定理，這反映出一種對(duì)稱。

(24i)^2+26^2＝10^2

(60i)^2+65^2＝25^2

(60i)^2+61^2＝11^2

(5i)^2+13^2＝12^2

(48i)^2+50^2＝14^2

(3i)^2+(4i)^2＝(5i)^2

(6i)^2+(8i)^2＝(10i)^2

(24i)^2+(7i)^2＝(25i)^2

…………

由上得出如下結(jié)論：復(fù)數(shù) (實(shí)數(shù)，純虛數(shù))滿足勾股定理，虛數(shù)近似滿足勾股定理，但嚴(yán)格的講，虛數(shù)不滿足勾股定理，只有在趨于某種極限條件下，勾股定理才成立，這種極限條件就是：直角三角形中，代表其中某一條直角邊的復(fù)數(shù)必須要無(wú)限小，當(dāng)它的模等于 0 時(shí)，就是這個(gè)復(fù)數(shù)(復(fù)數(shù)也表示向量)與 0 (向量)正交。在非 0 向量與 0 向量正交的情況下，直角三角形也就不存在了，勾股定理也就失效了。

兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的平方和與這兩個(gè)復(fù)數(shù)的和垂直。

最后介紹一個(gè)勾股定理：

√1^2+√1^2＝√2^2

對(duì)應(yīng)的勾股數(shù)是：(√1，√1，√2)

此式寫(xiě)成恒等式就是大家熟悉的

1 + 1＝ 2 (這不是勾股定理，但這種書(shū)寫(xiě)方式便于記憶)