一維簡諧振子的哈密頓量為：

其中是質(zhì)量，是角頻率。第一項是動能項，第二項是勢能項。在量子力學中，把坐標與動量這對共軛量視為厄米算符，滿足正則對易關系：

現(xiàn)在構造兩個非厄米的無量綱算符：

稱為湮滅算符，稱為產(chǎn)生算符。兩者互為對方的厄米共軛算符。兩者的對易關系為：

用這兩個算符來反表示坐標和動量算符：

從而，哈密頓算符就可以表達成：

由對易關系得知，于是：

其中是厄米算符，稱為粒子數(shù)算符。對于任意量子態(tài)的期待值非負：

因此，哈密頓算符是正定算符，

設是的本征態(tài)，歸一化為它滿足本征方程：

由于所以本征值非負。利用對易子公式：

推導出：

因此，有：

這樣可以推導出：

可見，和都是的本征態(tài)，本征值分別為和也就是說：

其中和是歸一化常數(shù)。產(chǎn)生算符能把本征值為的態(tài)變成本征值為的態(tài)，因此也稱為升算符。湮滅算符能把本征值為的態(tài)變成本征值為的態(tài)，因此也稱為降算符。為了確定歸一化常數(shù)，進行以下推導：

將歸一化常數(shù)取為正實數(shù)，我們就得到：

從的某個本征態(tài)出發(fā)，用降算符接連作用，得到本征值逐步減小的一系列本征態(tài)：

本征值分別為：

由于?所以必定存在一個最小本征值它的本征態(tài)滿足：

于是：

可見即：

反過來，從出發(fā)，用升算符接連作用，得到本征值逐步增加的一系列本征態(tài)：

它們的本征值分別為：

所以，本征值是非負整數(shù)，是量子化的。本征態(tài)可以表示為：

為了確定歸一化常數(shù)進行下面的運算：

取歸一化常數(shù)為正實數(shù)，則有于是：

從（1.7）也可以看出，也是哈密頓算符的本征態(tài)：

相應的能量本征值為：

基態(tài)的能量本征值并不為零，而是稱為零點能。我們可以把看做真空態(tài)，把的看做含有個聲子的激發(fā)態(tài)。粒子數(shù)算符描述聲子數(shù)。產(chǎn)生算符的作用是產(chǎn)生一個聲子，湮滅算符的作用是湮滅一個聲子。