A-3-2動量

2023-08-31 13:31 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

3.2.1 速度關(guān)聯(lián)

沖量+速度關(guān)聯(lián)的問題，一般為平面問題。我們可以直接按照方程思想：

每個物體列2個沖量方程，再列相互之間的速度關(guān)聯(lián)方程，最后解方程組即可。例如：

例1.三個質(zhì)點A、B和C位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸長的柔軟的輕繩AB和BC連接，角ABC為 $%5Cpi-%5Calpha$ ， $%5Calpha$ 為一銳角，如圖所示。今有一沖量為I的沖擊力沿BC方向作用于質(zhì)點C，求質(zhì)點A開始運動時的速度。

解：

如圖，設(shè)AB、BC繩中沖量大小分別為 $I_1%E3%80%81I_2$ ，三球速度分別為 $v_1%E3%80%81v_2%E3%80%81v_3$ ，則有

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20I_1%3Dm_1v_1%5C%5C%20I_2%5Ccos%5Calpha-I_1%3Dm_2v_%7B2x%7D%5C%5C%20I_2%5Csin%5Calpha%3Dm_2v_%7B2y%7D%5C%5C%20I-I_2%3Dm_3v_3%5C%5C%20v_%7B2x%7D%3Dv_1%5C%5C%20v_3%3Dv_%7B2x%7D%5Ccos%5Calpha%2Bv_%7B2y%7D%5Csin%5Calpha%20%5Cend%7Bcases%7D$
化簡得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cdfrac%7BI_1%7D%7Bm_1%7D%3D%5Cdfrac%7BI_2%5Ccos%5Calpha-I_1%7D%7Bm_2%7D%5C%5C%20%5Cdfrac%7BI-I_2%7D%7Bm_3%7D%3D%5Cdfrac%7BI_2-I_1%5Ccos%5Calpha%7D%7Bm_2%7D%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D$
也可以直接由速度關(guān)聯(lián)寫出上式。

解得

$%5Cbegin%7Bcases%7DI_1%3D%5Cdfrac%7BIm_1m_2%5Ccos%5Calpha%7D%7Bm_2(m_1%2Bm_2%2Bm_3)%2Bm_1m_3%5Csin%5E2%5Calpha%7D%5C%5C%0Av_1%3D%5Cdfrac%7BIm_2%5Ccos%5Calpha%7D%7Bm_2(m_1%2Bm_2%2Bm_3)%2Bm_1m_3%5Csin%5E2%5Calpha%7D%0A%5Cend%7Bcases%7D$

3.2.2 質(zhì)心

由于質(zhì)心動量

$m_cv_c%3D%5Csum%20m_iv_i$

系統(tǒng)動量守恒時，質(zhì)心的動量不變。我們研究很多問題，可以把位移拆為質(zhì)心位移加上相對質(zhì)心的位移，這樣計算起來比較方便，速度和加速度也可以這樣操作。

例2.如圖所示，勻質(zhì)桿AB直立于光滑水平面上，稍受擾動桿將傾倒，A端在水平面滑動.取原觸地點為原點，豎桿方向為縱軸，則當(dāng)B點的橫坐標(biāo)為 $x_1$ 時，其縱坐標(biāo)為多少？設(shè)桿長為2l.

解：由于水平面光滑，質(zhì)心水平動量守恒，質(zhì)心橫坐標(biāo)保持不變，即AB中點橫坐標(biāo)不變。A橫坐標(biāo)為 $-x_1$ ，由于AB距離不變，有

$(2x_1)%5E2%2By%5E2%3D(2l)%5E2$
故

$y%3D2%5Csqrt%7Bl%5E2-x_1%5E2%7D$

類似上述的這種問題，研究質(zhì)心的運動規(guī)律更加簡便。

3.2.3 勻速連續(xù)體

在課內(nèi)我們已經(jīng)解決過連續(xù)體的問題，比如計算水槍對墻的壓力，水的密度為 $%5Crho$ ，水流截面積S，撞墻前的速度大小為v，水撞墻后反彈的速度大小為0，考慮短時間 $%5CDelta%20t$ 內(nèi)撞到墻上的一小部分水柱 $%5CDelta%20m%3D%5Crho%20Sv%5CDelta%20t$ ，動量變化量大小

$%5CDelta%20p%3D%5Crho%20Sv%5E2%5CDelta%20t$

水柱對墻作用力

$F%3D%5Cdfrac%7B%5CDelta%20p%7D%7B%5CDelta%20t%7D%3D%5Crho%20Sv%5E2$

需要注意的是，在入射到墻壁之前，水柱之間由于速度相等，相互之間并沒有作用力。所以這里只需要考慮墻壁對水柱的作用力。

當(dāng)墻運動時，處理方法相類似：

例3.宇宙飛船在隕石碎塊粒子流中，以速度v迎著粒子流運行。后來飛船轉(zhuǎn)過頭開始以速度v順著粒子流方向運行。這時發(fā)動機(jī)的牽引力為原來的1/4．試求隕石粒子的速度。飛船可看做是兩端平坦的圓柱形，而粒子與護(hù)板的碰撞是完全彈性的，且粒子流速度小于飛船速度。

解：發(fā)生彈性碰撞時，相對速度大小不變，速度變化量大小為相對速度的兩倍。假設(shè)粒子流速度為u，建立相同的柱狀模型得，逆著粒子流時，單位時間 $%5CDelta%20t$ 內(nèi)撞到飛船上的粒子質(zhì)量

$%5CDelta%20m%3D%5Crho%20S%20(u%2Bv)%5CDelta%20t$

速度變化量大小為2(u+v)，故作用力

$F%3D2%5Crho(u%2Bv)%5E2$

同理，順著粒子流時作用力

$F%2F4%3D2%5Crho(v-u)%5E2$

聯(lián)立解得

$u%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7Dv$

遇到斜入射的流體時，我們只需要計算垂直接觸面方向的沖量即可。

例4.放風(fēng)箏時，風(fēng)沿水平方向吹來，要使風(fēng)箏得到最大上升力，求風(fēng)箏平面與水平面的夾角 $%5Ctheta$ .設(shè)風(fēng)被風(fēng)箏面反射后的方向遵守反射定律.

解：如圖

假設(shè)風(fēng)箏面積為S，水平方向風(fēng)箏的截面積為 $S%5Csin%5Ctheta$ ，在單位時間 $%5CDelta%20t$ 內(nèi)吹到風(fēng)箏上的空氣質(zhì)量

$%5CDelta%20m%3D%5Crho%20Sv%5Csin%5Ctheta%20%5CDelta%20t$
垂直風(fēng)箏方向的速度變化量為 $2v%5Csin%5Ctheta$ ，得對風(fēng)箏的作用力

$F%3D%5Cdfrac%7B%5CDelta%20p%7D%7B%5CDelta%20t%7D%3D2%5Crho%20Sv%5E2%5Csin%5E2%5Ctheta$
豎直分量
$F_y%3D2%5Crho%20Sv%5E2%5Csin%5E2%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta$
當(dāng) $F_y$ 最大時

$(%5Csin%5E2%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta)'%3D%5Csin%5Ctheta(2%5Ccos%5E2%5Ctheta-%5Csin%5E2%5Ctheta)%3D0$
故

$%5Ctheta%3D%5Carctan%5Csqrt%7B2%7D$

例5.長為l、質(zhì)量為m的一根柔軟繩子盤放在水平桌面上，用手將繩子一端以恒定的速率v向上提起，求當(dāng)提起高度為x時手的提力.

解：我們研究 $%5CDelta%20t$ 時間內(nèi)的過程，此時研究的物體分為3部分，懸空的繩子（長度x）、正在從靜止變?yōu)檫\動的一小段繩子(長度 $v%5CDelta%20t$ )，還有地上保持靜止的繩子（長度l-x）。由于第3部分保持松弛，該過程中第2部分與第3部分之間同樣是沒有作用力的。

（1）我們可以對第一部分隔離分析，其受到自身重力 $%5Clambda%20gx$ ，手的提力F，還有地面上從靜止開始運動的繩子向下的拉力 $F_1$ 。

考慮地上在 $%5CDelta%20t$ 時間內(nèi)由靜止到運動的小段繩，其質(zhì)量

$%5CDelta%20m%3D%5Clambda%20v%5CDelta%20t$
懸空繩子對其拉力

$F_1%3D%5Cdfrac%7B%5CDelta%20p%7D%7B%5CDelta%20t%7D%3D%5Clambda%20v%5E2$
懸空的細(xì)繩勻速運動，受力平衡，故向上拉力

$F%3D%5Clambda%20gx%2B%5Clambda%20v%5E2%3D%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bl%7D(gx%2Bv%5E2)$
（2）我們也可以對前兩部分整體分析

$p%3D(%5Clambda%20x)v$
故

$F-%5Clambda%20gx%3D%5Cdfrac%7Bdp%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7Bdp%7D%7Bdx%7D%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3D%5Clambda%20v%5E2$
后續(xù)同上，如果利用 $F_%7B%E5%90%88%7D%3Dm_ca_c$ ，用質(zhì)心的加速度來列方程。與上式得到的結(jié)果相同。

3.2.4 變速連續(xù)體

當(dāng)連續(xù)體速度變化時，其受力情況處理起來會更麻煩一些。

例6.一長為l，質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)繩團(tuán)放在地上，以豎直向上的恒力拉繩子的一端，當(dāng)繩的另一端剛好離開地面時，其速度為 $v_m$ ，求拉力F.

解：同上一題，把繩子分為同樣的3個部分，對懸空的細(xì)繩受力分析得

$F-%5Clambda%20gx-%5Clambda%20v%5E2%20%3D%5Clambda%20x%20a$
直接求解比較麻煩，我們觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)

$v%5E2%3Dv_0%5E2%2B2ax$
即勻變速直線運動時，方程成立。即

$F-%5Clambda%20gx-%5Clambda%20v_0%5E2-2%5Clambda%20ax%20%3D%5Clambda%20x%20a$
故

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20a%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7Dg%5C%5C%20v_0%5E2%3Dv_m%5E2%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7Dgl%5C%5C%20F%3D%5Clambda%20v_0%5E2%3D%5Cdfrac%7Bmv_m%5E2%7D%7Bl%7D%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7Dmg%20%5Cend%7Bcases%7D$
上面方程，直接求解也是可以的，利用 $a%3D%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7Dv%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cdfrac%7Bd(v%5E2)%7D%7Bdx%7D$ ，將其化簡為一階線性微分方程

$%5Cdfrac%7Bd(v%5E2)%7D%7Bdx%7D%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx%7Dv%5E2%3D%5Cdfrac%7B2F%7D%7B%5Clambda%20x%7D-2g$
解得

$v%5E2%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%5B%5Cint%20(%5Cdfrac%7B2F%7D%7B%5Clambda%20%7Dx-2gx%5E2)dx%2BC%5D$
即

$v%5E2%3D%5Cdfrac%7BF%7D%7B%5Clambda%20%7D-%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7Dgx$
代入 $x%3Dl%2Cv%3Dv_m$ ，得

$F%3D%5Cdfrac%7Bmv_m%5E2%7D%7Bl%7D%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7Dmg$
答案與上面的方法相同。

例7.一質(zhì)量為m的物塊與質(zhì)量線密度為λ的軟繩相連.開始時，物塊位于傾角為θ的斜面的頂端，而軟繩則盤放在斜面頂端邊的平臺上，已知斜面及平臺均光滑?，F(xiàn)釋放物塊，讓其沿斜面滑下，如圖所示. 試求當(dāng)m沿斜面滑下距離x（x小于繩長）時的速度.

解：建立沿著平臺和斜面的自然坐標(biāo)系，令 $M%3Dm%2B%5Clambda%20x$ .對軟繩整體受力分析

$F_%E5%90%88%3DMg%5Csin%5Ctheta$
而總動量p=Mv，故

$(m%2B%5Clambda%20x)g%5Csin%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7Bd(Mv)%7D%7Bdt%7D%20%3D%5Cdfrac%7Bd(Mv)%7D%7Bdx%7D%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D$
化簡得

$(m%2B%5Clambda%20x)g%5Csin%5Ctheta%3D%7Bd(Mv)%7Dv$
即

$(m%2B%5Clambda%20x)%5E2g%5Csin%5Ctheta%20dx%3D(Mv)d(Mv)$
積分得

$%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5B(m%2B%5Clambda%20x)%5E3-m%5E3%5Dg%5Csin%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D(Mv)%5E2$
解得

$v%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2g%5Csin%5Ctheta%5B(m%2B%5Clambda%20x)%5E3-m%5E3%5D%7D%7B3%5Clambda(m%2B%5Clambda%20x)%5E3%7D%7D$
這道題如果對斜面上的繩子單獨受力分析，從靜止開始加速的那一小段繩子沿著斜面的受力方向不好判斷，不方便求解。

上面繩子在繃緊的瞬間，速度與運動繩子速度立刻相等，類似完全非彈性碰撞，此時伴有機(jī)械能的損失。如果題目中明確了不考慮機(jī)械能損失，那我們用能量角度進(jìn)行求解即可。下面我們用2種視角來求解同一個問題。

例8.一長為2l，質(zhì)量為m的繩一端掛在天花板上，初態(tài)兩端重合，現(xiàn)令自由端自由落下，求右邊繩子下落x高度時，連接處的受力.

解：如圖，繩子已經(jīng)下落了x高度

（1）完全非彈性碰撞

我們將繩子分為3部分，右邊正在下落的繩子（長l-x/2），左邊靜止的繩子（長l+x/2），以及從運動變?yōu)殪o止的繩子（長 $%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dv%5CDelta%20t$ ）

由于完全非彈性碰撞，最下方那一小段繩子立刻松弛，對右側(cè)繩子沒有作用力，故右側(cè)繩子做自由落體運動：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20v%3Dgt%5C%5C%20x%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dgt%5E2%20%5Cend%7Bcases%7D$
以向下為正方向，整體的動量

$p%3D%5Clambda(l-%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D)v%3D%5Clambda(l-%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7Dgt%5E2)gt$
故

$mg-T%3D%5Cdfrac%7Bdp%7D%7Bdt%7D%3D(%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7B3gt%5E2%7D%7B8l%7D)mg$
化簡得

$T%3D(%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cdfrac%7B3x%7D%7B4l%7D)mg$

（2）完全彈性碰撞

此時需要增加條件，繩子為勁度系數(shù)非常大的彈性繩子，可不計機(jī)械能損失。繩子從運動變?yōu)殪o止時由于彈性會略微伸長，對右側(cè)繩子產(chǎn)生彈力，右邊的繩子不再做自由落體運動。

此時計算速度，需要利用動能定理。計算重力勢能變化時，可以看成長度為x的繩子，質(zhì)心下降了l-x/4的高度，故有

$%5Clambda%20xg(l-%5Cdfrac%7Bx%7D%7B4%7D)%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Clambda%20(l-%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D)v%5E2$
解得

$v%5E2%3D%5Cdfrac%7Bgx(4l-x)%7D%7B2l-x%7D$
整體動量

$p%3D%5Clambda(l-%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D)v$
化簡得

$%5Cdfrac%7Bdp%7D%7Bdt%7D%3D%5Cdfrac%7Bdp%7D%7Bdx%7Dv%3D%5Clambda%20v%5B-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dv%2B(l-%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D)%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7D%5D%3D%5Cdfrac%7B3x%5E2-12lx%2B8l%5E2%7D%7B4(2l-x)%7Dg%5Clambda$
由

$mg-T%3D%5Cdfrac%7Bdp%7D%7Bdt%7D$
得

$T%3D%5Cdfrac%7B-3x%5E2%2B4lx%2B8l%5E2%7D%7B8l(2l-x)%7Dmg$

可見，兩種不同條件下計算得到的結(jié)果是不一樣的，具體是哪種情況，需要審題，看題目的要求。

3.2.5 密舍爾斯基方程

一系統(tǒng)在t時刻質(zhì)量為m，速度為 $%5Cvec%20v$ ，在之后的dt時間內(nèi)，有質(zhì)量為dm，速度為 $%5Cvec%20u$ 的物體加入該系統(tǒng)，而系統(tǒng)所受的合外力為 $%5Cvec%20F$ ，則有

$%5Cvec%20Fdt%3D(m%2Bdm)(%5Cvec%20v%2Bd%5Cvec%20v)-(M%5Cvec%20v%2Bdm%5Ccdot%20%5Cvec%20u)$

化簡得

$m%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20v%7D%7Bdt%7D%3D%5Cvec%20F%2B(%5Cvec%20u-%5Cvec%20v)%5Cdfrac%7Bdm%7D%7Bdt%7D$

上述方程對所有的變質(zhì)量問題都適用，對于火箭的升空問題，由于火箭質(zhì)量在減小，此時dm取負(fù)值即可。而且此時噴出氣體的相對速度為定值，使用上述方程比較簡便。

例9.火箭從地面豎直向上發(fā)射.已知火箭自身質(zhì)量為 $M_s$ ，燃料的初始質(zhì)量為 $M_f$ ，燃?xì)庀鄬鸺膰娚渌俣葹関'，單位時間的噴氣質(zhì)量為a.設(shè)在火箭上升的高度范圍內(nèi)g為常量，忽略空氣阻力.試求：（1）火箭的推力F；（2）任意時刻火箭的速度（3）任意時刻火箭的上升高度；（4）燃料耗盡時，火箭的速度；（5）火箭達(dá)到最大高度所需的時間.

解：代入密舍爾斯基方程

$M%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D%3D-Mg-v'(-a)$
(1)火箭的推力

$F%3Dv'a$
(2)令 $M_f%2BM_s%3DM_0$ ，由于

$dv%3D(%5Cdfrac%7Bv'a%7D%7BM_0-at%7D%20-g)dt$
積分解得

$v%3Dv'%5Cln%5Cdfrac%7BM_0%7D%7BM_0-at%7D-gt$
(3)由于v=dy/dt，積分得

$y%3Dv'(t-%5Cdfrac%7BM_0-at%7D%7Ba%7D%5Cln%5Cdfrac%7BM_0%7D%7BM_0-at%7D)%20-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dgt%5E2$
(4)在(2)中，令

$t%3D%5Cdfrac%7BM_f%7D%7Ba%7D$
得

$v_m%3Dv'%5Cln%5Cdfrac%7BM_0%7D%7BM_s%7D-%5Cdfrac%7BgM_f%7D%7Ba%7D$
(5)考慮最后的豎直上拋運動

$t%3D%5Cdfrac%7BM_f%7D%7Ba%7D%2B%5Cdfrac%7Bv_m%7D%7Bg%7D$

3.2.6 習(xí)題

練1.如圖所示，三個重物質(zhì)量為 $m_1%3D20kg%EF%BC%8Cm_2%20%3D%2015kg%EF%BC%8Cm_3%20%3D%2010kg$ ，直角梯形物塊質(zhì)量為M=100kg.三個重物由一根繞過兩個定滑輪P和Q的繩子相連.當(dāng)重物 $m_1$ 下降1m時，忽略一切摩擦和繩子質(zhì)量，求梯形物塊的位移.