[翻譯]錐線幾何(Geometry of Conics)第一章：二次曲線的諸基本性質(zhì)1.4(II)

2023-08-15 14:45 作者:瀰?夃 0人讀過 | 我要投稿

本文譯自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.
翻譯：野呂侯奈因
僅供學(xué)習(xí)交流使用
譯者按：
?????? 本書在幾何愛好者之間小有人氣，但目前網(wǎng)上只能找到一些零散的翻譯．鑒于目前通行的數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)于二次曲線問題的處理方式過于單一，希望能借翻譯本書的機(jī)會(huì)來推廣一下二次曲線的射影幾何視角．

定理1.6. 若用一條首尾相連的繩索套住一橢圓 $%5Calpha$ ，并用一支筆將繩繃緊，繞著橢圓旋轉(zhuǎn)一圈，它將畫出一個(gè)與 $%5Calpha$ 共焦的橢圓（圖1.19）．

（譯者注：該定理常被稱作格雷夫斯定理(Graves's theorem)）

證明. 顯然，新圖形（稱其為 $%5Calpha_1$ ）的邊界是光滑的．我們將說明以下結(jié)論：對(duì)于 $%5Calpha_1$ 上的任意一點(diǎn) $X$ ，都有其與新曲線的切線和 $%5Cangle%20F_1XF_2$ 的外角平分線重合．

?????? 設(shè) $XM$ 與 $XN$ 為其與 $%5Calpha$ 的兩條切線．自然有 $%5Cangle%20F_1XN%3D%5Cangle%20F_2XM$ ，因此 $%5Cangle%20NXM$ 的外角平分線就會(huì)與 $%5Cangle%20F_1XF_2$ 的外角平分線重合，稱其為 $l$ ．

?????? 設(shè) $Y$ 為 $l$ 上的任意一點(diǎn)， $YL$ 與 $YR$ 為其與 $%5Calpha$ 的兩條切線，就像圖1.19中這樣．我們不妨假定 $Y$ 位于 $X$ 左側(cè)，其余情況也類似．

?????? 設(shè) $P$ 為直線 $XM$ 與 $YL$ 的交點(diǎn)．不難發(fā)現(xiàn)有 $YN%3CYR%2B%5Csmallsmile%20RN$ 及 $%5Csmallsmile%20LM%3CLP%2BPM$ （譯者注：在俄羅斯，人們使用 $%5Csmallsmile$ 來表示弧）．另外，由 $l$ 平分 $%5Cangle%20NXP$ 的外角，可得 $PX%2BXN%3CPY%2BYN$ ．于是有

$MX%2BXN%2B%5Csmallsmile%20NM$

$%3CMX%2BXN%2B%5Csmallsmile%20NL%2BLP%2BPM$

$%3DPX%2BXN%2B%5Csmallsmile%20NL%2BLP$

$%3CPY%2BYN%2B%5Csmallsmile%20NL%2BLP$

$%3DLY%2BYN%2B%5Csmallsmile%20NL$

$%3CLY%2BYR%2B%5Csmallsmile%20RN%2B%5Csmallsmile%20NL$

$%3DLY%2BYR%2B%5Csmallsmile%20RL$

（此處的弧都表示被繩索覆蓋的?。ㄗg者注：可以試著想象在 $Y$ 處也掛著繩索）．那么就有 $Y$ 位于 $%5Calpha_1$ 外，此結(jié)論對(duì)于所有 $l$ 上異于 $X$ 的 $Y$ 都成立．這說明 $%5Calpha_1$ 只與 $l$ 有唯一的交點(diǎn)，也就是說， $l$ 與 $%5Calpha_1$ 相切．同時(shí)由此也說明了所求的曲線為凸曲線．

?????? 因此， $%5Calpha_1$ 上的點(diǎn)到 $F_1$ 和 $F_2$ 的距離之和不會(huì)隨時(shí)間變化，故用筆畫出的軌跡是就是一個(gè)橢圓．

（譯者注：譯者倒是不認(rèn)為 $%5Csmallsmile%20LM%3CLP%2BPM$ 屬于“不難發(fā)現(xiàn)”的范疇，故在此畫蛇添足地補(bǔ)證一下：

事實(shí)上，我們可以證明以下內(nèi)容：

命題. 對(duì)于凸曲線 $p%2Cq%3A%5Ba%2Cb%5D%5Cto%20%5B0%2C%2B%5Cinfty)$ ，若有 $p(a)%3Dq(a)$ ； $p(b)%3Dq(b)$ ； $%5Cforall%20x%5Cin%20(a%2Cb)%2Cp(x)%3Cq(x)$ ，則 $p$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上的長(zhǎng)度小于 $q$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上的長(zhǎng)度．

證明. 對(duì)于泛函

$L(f')%3A%3D%5Cint_a%5Eb%5Csqrt%7Bx'%5E2%2By'%5E2%7D$

$%3D%5Cint_a%5Eb%5Csqrt%7B1%2B(p'(x))%5E2%7Ddx$ ，

由 $s(x)%3A%3D%5Csqrt%7B1%2Bx%5E2%7D$ 為凹函數(shù)，有 $%5Cforall%20x%2Cy%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%20%2C%20%5Cfrac%7Bs(x)-s(y)%7D%7Bx-y%7D%5Cgeqslant%20s'%20(x)$ ，該結(jié)論可由拉格朗日中值定理及比例不等式得出．經(jīng)整理，有 $%5Cforall%20x%2Cy%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%2Cs(x)%5Cgeqslant%20s(y)%2B(x-y)s'(x)$ ，故可得

$%5Cint_a%5Eb%5Csqrt%7B1%2B(q'(x))%5E2%7Ddx%5Cgeqslant%20%5Cint_a%5Eb%5Csqrt%7B1%2B(p'(x))%5E2%7Ddx$

$%2B%5Cint_a%5Eb%5Bq'(x)-p'(x)%5Ds'(p'(x))dx$

由積分第二中值定理，有

$%5Cexists%5Cxi%5Cin%20%5Ba%2Cb%5D%2C$

$%5Cint_a%5Eb%5Bq'(x)-p'(x)%5Ds'(p'(x))dx$

$%3Ds'(p'(a))%5Cint_a%5E%5Cxi%5Bq'(x)-p'(x)%5Ddx$

$%2Bs'(p'(b))%5Cint_%5Cxi%5Eb%5Bq'(x)-p'(x)%5Ddx$

$%3D%5Bs'(p'(b))-s'(p'(a))%5D%5Ccdot%20%5Bp(%5Cxi)-q(%5Cxi))%5D$ ．

又由命題條件，可得 $p(%5Cxi)%3Eq(%5Cxi)$ ；由 $s(x)$ 在 $%5B0%2C%2B%5Cinfty)$ 上單調(diào)遞增且 $p(x)$ 為凸函數(shù)，有 $s'(p'(b))%3Es'(p'(a))$ ．因此有 $%5Cint_a%5Eb%5Bq'(x)-p'(x)%5Ds'(p'(x))dx%3E0$ ，而再由之前的 $L(q')%5Cgeqslant%20L(p')%2B%5Cint_a%5Eb%5Bq'(x)-p'(x)%5Ds'(p'(x))dx$ ，原命題得證．）

對(duì)于定理中最后的斷言還有著更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃悸罚?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=X" alt="X"/>在橢圓之外，將筆放在 $X$ 的位置并把繩索套在筆和橢圓上．設(shè) $f(X)$ 為繩索的長(zhǎng)度， $g(X)%3A%3DF_1X%2BF_2X$ （其中的點(diǎn)應(yīng)被理解為一對(duì)坐標(biāo)，即 $f$ 與 $g$ 都作用在一組實(shí)數(shù)對(duì)上）．容易發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)都連續(xù)可微，且向量 $%5Cnabla%20f%3D(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2C%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)$ 與 $%5Cnabla%20g%3D(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)$ 在任意一點(diǎn)上都不為零．那么，由隱函數(shù)定理，用筆套一條長(zhǎng)度固定的繩索（即取 $f$ 的一條等值曲線）畫出的曲線是光滑的（連續(xù)可微）．于是這條曲線就可以用一可微函數(shù) $R%3DR(t)$ 表示（同樣代表一對(duì)切向量不為零的坐標(biāo)函數(shù) $x%3Dx(t)$ 、 $y%3Dy(t)$ ）．就像上文說的那樣，該曲線的切向量 $%5Cfrac%7BdR%7D%7Bdt%7D%3D(%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%2C%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdt%7D)$ 切于 $g$ 的一條等值曲線，即垂直于 $R%3DR(t)$ 處的 $%5Cnabla%20g(R)$ ．來考慮函數(shù) $g(R(t))$ ，其微分 $%5Cfrac%7Bdg(R(t))%7D%7Bdt%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cfrac%7Bdx(t)%7D%7Bdt%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cfrac%7Bdy(t)%7D%7Bdt%7D%5Cequiv%200$ （由前面提到的正交條件），也就是說 $g(R(t))$ 為常值函數(shù)，而這代表著該曲線落在一個(gè)具有相同兩焦點(diǎn)的橢圓上．由于從 $F_1$ 出發(fā)的所有射線都會(huì)經(jīng)過該曲線上一點(diǎn)，故該曲線與此橢圓重合． $%5Csquare$