命題3.25：

已知一個弓形，可作出它的補圓

已知：弓形ABC

求：作弓形ABC的補圓

解：

連接AC

（公設(shè)1.1）

取AC中點D

（命題1.10）

過點D作BD⊥AC，交弓形ABC于點B

（命題1.11）

連接AB

（公設(shè)1.1）

當(dāng)∠ABD＞∠BAD時

在AB上已點A為頂點，作∠BAE=∠ABD

（命題1.23）

延長BD，與AE交點記為點E

（公設(shè)1.2）

連接CE

（公設(shè)1.1）

證：

∵∠BAE=∠ABD

（已知）

∴AE=BE

（命題1.6）

∵BD⊥AC

（已知）

∴∟ADE=∟CDE

（定義1.10）

∵AD=CD，DE公用

（已知）

∴△ADE≌△CDE，AE=CE

（命題1.4）

∴AE=BE=CE

（公理1.1）

∴點E是圓ABC的圓心

（命題3.9）

∴可作弓形ABC的補圓

（公設(shè)1.3）

當(dāng)∠ABD=∠BAD時

證：

∵∠ABD=∠BAD

（已知）

∴AD=BD

（命題1.6）

∵AD=CD

（已知）

∴AD=BD=CD

（公理1.1）

∴點D是圓ABC的圓心

（命題3.9）

∴可作弓形ABC的補圓

（公設(shè)1.3）

當(dāng)∠ABD＜∠BAD時

解：

同理可證，點E是圓ABC的圓心

∴可作弓形ABC的補圓

（公設(shè)1.3）

證畢

此命題在《幾何原本》中再未被使用

來都來了，點個關(guān)注唄！