0?序言

0.1?聲明：

本文旨在不使用微積分的條件下給出開(kāi)普勒第 I 定律中關(guān)于行星軌道形狀的證明，如果你精通微積分，行星軌道可通過(guò)求解（Binet）方程獲得：

0.2?前提：

（1）本文僅討論經(jīng)典引力場(chǎng)下的二體運(yùn)動(dòng)（行星與恒星），忽略相對(duì)論效應(yīng)、阻力和其他引力

（2）假設(shè)中心天體的質(zhì)量足夠大，不因行星的吸引而發(fā)生位移

（3）向量即矢量。本文用??表示向量，用??表示其大?。＃?/p>

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 圓錐曲線

用平面截圓錐面，會(huì)得到一組曲線，即圓錐曲線。平面的傾斜程度不同，截得的曲線種類(lèi)也就不同。

在極坐標(biāo)下，所有圓錐曲線可統(tǒng)一表達(dá)為：

? ? ? ??

其中?（半通徑）、（離心率）為常數(shù)。

離心率的大小決定曲線的具體種類(lèi)：

當(dāng)??時(shí)，曲線為圓?

當(dāng)??時(shí)，曲線為橢圓

當(dāng)? 時(shí)，曲線為拋物線

當(dāng)??時(shí)，曲線為雙曲線?

1.2?向量外積

兩個(gè)向量的外積可表示為：

不同于向量?jī)?nèi)積，兩個(gè)向量的外積不是數(shù)，而是一個(gè)垂直于??所在平面的新向量，其方向可由右手確定：伸出右手，四指由被乘數(shù)握向乘數(shù)，拇指方向即為乘積方向

其大小滿(mǎn)足：，其中??為? 和??的夾角

三個(gè)向量的混合積滿(mǎn)足：

? ?

（可用行列式證明，此處略）

1.3 角動(dòng)量

質(zhì)點(diǎn)繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其角動(dòng)量可定義為：

其中??為定點(diǎn)指向質(zhì)點(diǎn)的失徑，?為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量。

與平動(dòng)中的動(dòng)量類(lèi)似，角動(dòng)量反映的則是物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在平動(dòng)中，若合外力為零，則系統(tǒng)動(dòng)量守恒；同樣在轉(zhuǎn)動(dòng)中，若合外力矩為零，則系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。行星公轉(zhuǎn)時(shí)，受力始終指向中心天體，力臂為零，因而合外力矩為零，即行星繞恒星運(yùn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量保持不變，這是開(kāi)普勒第 II 定律成立的深層原因（見(jiàn)附錄3.2）

2 行星軌道形狀的證明

開(kāi)普勒第 I 定律可表述為：行星繞日公轉(zhuǎn)的軌道是橢圓，太陽(yáng)位于橢圓的焦點(diǎn)上

證明：

構(gòu)造新向量???(拉普拉斯-龍格-楞次矢量，Laplace-Runge-Lenz Vector)

這個(gè)向量不論模樣還是名字對(duì)初學(xué)者都不太友好，不過(guò)沒(méi)關(guān)系，你稍后就會(huì)看到她有多神奇。

上式兩側(cè)同時(shí)點(diǎn)乘? :

設(shè)??與?的夾角為?，則 ：

??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

即：

?

整理得：

選擇??的方向?yàn)闃O軸方向，則上述關(guān)系滿(mǎn)足極坐標(biāo)下的圓錐曲線方程。

證畢。

3?附錄

3.1 軌道形狀的討論：

由? 可知：

其離心率為 ? ?

如果你擅長(zhǎng)復(fù)雜的向量運(yùn)算，可以求得，并最終求得 ：

其中 代表行星的總機(jī)械能

由于角動(dòng)量守恒，?是上式中唯一不確定的量，它將決定行星軌道的具體形狀。

當(dāng) ?時(shí)，，行星軌道為橢圓

當(dāng) ?時(shí)，，行星軌道為拋物線

當(dāng) ?時(shí)，，行星軌道為雙曲線（的一支）

有人會(huì)對(duì) ?感到不解，能量怎么會(huì)是負(fù)值？事實(shí)上行星的總機(jī)械能由兩部分構(gòu)成：動(dòng)能??和引力勢(shì)能?，其中引力勢(shì)能恒為負(fù)值，這就造成了總機(jī)械能可能為負(fù)值。但肯定還會(huì)有人感到不解，引力勢(shì)能也是能量，怎么會(huì)是負(fù)值？這與勢(shì)能這種能量的特點(diǎn)有關(guān)。勢(shì)能是相對(duì)值，當(dāng)你談?wù)搫?shì)能時(shí)，一定事先選好了零勢(shì)能的參照位置（有時(shí)可能沒(méi)意識(shí)到），比如你在計(jì)算二樓教室里的同學(xué)的重力勢(shì)能時(shí)，通常已經(jīng)默認(rèn)地面是零勢(shì)能面了。如果你選了二樓的天花板為零勢(shì)能面，那此時(shí)他的重力勢(shì)能就不可能是正值。人們?cè)谘芯恳?shì)能時(shí)習(xí)慣上規(guī)定無(wú)窮遠(yuǎn)處為零，此時(shí)行星受到中心天體的吸引做向心運(yùn)動(dòng)，引力勢(shì)能不斷消耗（轉(zhuǎn)化為動(dòng)能），因而為負(fù)值。

3.2 開(kāi)普勒第 II 定律的證明

開(kāi)普勒第 II 定律可表述為：行星與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等

證明：

設(shè)太陽(yáng)位于O，某一時(shí)刻，行星位于A，經(jīng)歷一個(gè)極短的時(shí)間間隔??到達(dá)A‘。由于時(shí)間間隔?很短，行星在此過(guò)程中可看作勻速直線運(yùn)動(dòng)。

此時(shí)行星與太陽(yáng)的連線掃過(guò)的面積即為??的面積

同時(shí)行星的角動(dòng)量守恒：

為常數(shù)

所以：

上述比值恒為常數(shù)，因此行星與太陽(yáng)的連線掃過(guò)的面積與時(shí)間線型相關(guān)，相等的時(shí)間將掃過(guò)相等的面積。

證畢。

3.2?開(kāi)普勒第 III 定律的證明

開(kāi)普勒第III定律可表述為：行星軌道（橢圓）的半長(zhǎng)軸的立方與其周期的平方之比為定值

證明：

由橢圓滿(mǎn)足方程? 可知：

其半長(zhǎng)軸為 ?

其半短軸為 ?

當(dāng)行星剛好公轉(zhuǎn)一周時(shí)，其與太陽(yáng)的連線掃過(guò)的面積即為橢圓形軌道的面積，經(jīng)歷的時(shí)間為周期 T

由開(kāi)普勒第 II 定律得：

即：

兩側(cè)同時(shí)平方、并乘以 a 得：

上述比值是只與中心天體有關(guān)的常數(shù)

證畢