群論

作者：Dimitri.V.Vedensky

譯者：Chemyy & Google娘

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第一章 緒論

依我所見，所有物理基于經(jīng)驗(yàn)的陳述都有其對(duì)稱性起源?！諣柭ね鉅?/p>

1.1 物理學(xué)中的對(duì)稱性

對(duì)稱性是一種人類基礎(chǔ)認(rèn)知，據(jù)于其體現(xiàn)在幾乎所有文物中。對(duì)稱的物體對(duì)人腦有很強(qiáng)的美學(xué)吸引力，比如，古希臘作品“σ?μμετρο?”起初寄托著“良好比例”或者說“和諧”的理念。關(guān)于這種對(duì)稱的美感，起初是在公元前400年，人們?cè)谡嗝骟w上找到了其理性表達(dá)方式并且持續(xù)深入研究，這種美感現(xiàn)在已進(jìn)入今日的許多科學(xué)分支。

1.1.1什么是一個(gè)對(duì)稱體？

對(duì)于一個(gè)物體，如果存在一種變換，比如定軸旋轉(zhuǎn)或者中心對(duì)稱，使這個(gè)物體看起來與之前沒有區(qū)別，那么這個(gè)物體就是一個(gè)對(duì)稱體。在圖1.1中，我們展示了一個(gè)正三角形、一個(gè)正方形和一個(gè)圓。這個(gè)三角形在繞中心軸旋轉(zhuǎn)六十度或一百二十度后和之前沒有任何區(qū)別。同理，對(duì)一個(gè)正方形繞軸轉(zhuǎn)九十度、一百八十度、二百七十度，對(duì)一個(gè)圓隨意繞軸轉(zhuǎn)幾度，與之前不會(huì)有任何區(qū)別。這樣的變換叫相關(guān)物體的對(duì)稱性變換，使這個(gè)物體在變換后與之前沒有區(qū)別。物體有越多這樣的對(duì)稱性變換，就說這個(gè)物體對(duì)稱性越高。在這樣的基礎(chǔ)上，圓就具有最高的對(duì)稱性，正方形次之，正三角形最低。此外，這三個(gè)圖形的對(duì)稱性變換還有一個(gè)令人注意的地方，即旋轉(zhuǎn)的離散性。對(duì)三角形和正方形來說旋轉(zhuǎn)角度是離散的，而對(duì)圓的旋轉(zhuǎn)角度是連續(xù)的。

1.1.2物理法則中的對(duì)稱性

在物理學(xué)中，存在著使物理法則不變的對(duì)稱性操作，研究其中的對(duì)稱性顯得尤為基本。這樣的變換是在一定的物理法則內(nèi)改變變量，以致使方程保持原本形式但描述一個(gè)新的變量。變換與物理法則之間的關(guān)聯(lián)研究從牛頓開始，后來人們發(fā)現(xiàn)其運(yùn)動(dòng)公式實(shí)際上與伽利略變換同質(zhì)異體。無獨(dú)有偶，對(duì)稱性也是洛倫茲和龐加萊發(fā)現(xiàn)洛倫茲變換（詳見人教版物理選修3-4——譯者注）的指導(dǎo)思想，這個(gè)變換是麥克斯韋方程的對(duì)稱性變換。以上兩種對(duì)稱性變換各自的不足都被愛因斯坦的相對(duì)論所解決。

舉一個(gè)對(duì)稱性變換的例子，現(xiàn)在考慮以一個(gè)光速傳播的量子。它的傳播符合由麥克斯韋方程推導(dǎo)出來的波函數(shù)：有

考慮時(shí)空間中坐標(biāo)化的速度

其中，對(duì)量子進(jìn)行洛倫茲變換后的坐標(biāo)，有：

結(jié)論是波在兩個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的慣性系中以相同速度以相同的路徑傳播（我沒讀懂——譯者注）。洛倫茲變換就是這個(gè)波函數(shù)的對(duì)稱性變換，而這個(gè)函數(shù)被稱作洛倫茲變換的協(xié)同函數(shù)。

總的來說，物理法則的對(duì)稱性變換分兩類，一類是包含空間-時(shí)間分量的，我們稱之為幾何對(duì)稱性，第二類是包含慣性分量的，我們一般稱之為慣性對(duì)稱性。

1.1.3 諾特定理

物理法則的數(shù)學(xué)表達(dá)能影響物理方程結(jié)構(gòu)與物理理論預(yù)言，那么指出合適的對(duì)稱性變換是當(dāng)代物理的一大核心話題。由數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家一起努力，于埃米·諾特的工作達(dá)到高潮，這方面的研究終于指出了對(duì)稱性與守恒之間深深的關(guān)聯(lián)。這種關(guān)聯(lián)被叫做“諾特定理”。在經(jīng)典理論中，動(dòng)量守恒與有空間對(duì)稱性；角動(dòng)量守恒有指向?qū)ΨQ性；能量守恒有時(shí)間對(duì)稱性。（另外三個(gè)是電荷守恒、重子守恒、輕子守恒——費(fèi)曼如是說）

1.1.4 對(duì)稱性與量子力學(xué)（感覺沒太多營養(yǎng) ，這段是機(jī)翻——譯者注）

量子力學(xué)和后來的量子場(chǎng)論的出現(xiàn)為研究對(duì)稱性的后果提供了全新的途徑。倫敦和外爾將一種稱為規(guī)范變換的變換引入了量子理論，將總電荷作為守恒量。 1960 年代初期，蓋爾曼和尼曼提出了強(qiáng)相互作用的幺正對(duì)稱性SU(3)。這導(dǎo)致蓋爾曼和茨威格提出了一種新的、更深層次的量子“夸克”來解釋這種對(duì)稱性。海森堡、戈德斯通和南部認(rèn)為相對(duì)論量子場(chǎng)論的基態(tài)（即真空）可能不具有哈密頓量的完全全局對(duì)稱性，并且無質(zhì)量激發(fā)（戈德斯通玻色子）伴隨著這種“自發(fā)對(duì)稱性破缺” ?！毕８袼购推渌税l(fā)現(xiàn)，對(duì)于自發(fā)破缺的規(guī)范對(duì)稱性，不存在戈德斯通玻色子，而是大量矢量介子。這現(xiàn)在被稱為希格斯現(xiàn)象，其驗(yàn)證驗(yàn)證已一直是大量實(shí)驗(yàn)工作的主題。對(duì)稱性的另一個(gè)方面，也是由于物質(zhì)的量子力學(xué)性質(zhì)，源于分子和固體中原子的排列。原子排列的對(duì)稱性，無論是在簡(jiǎn)單的雙原子分子還是復(fù)雜的晶體材料（如高溫超導(dǎo)體）中，都會(huì)影響它們的電子和振動(dòng)特性的許多方面，尤其是它們對(duì)外部熱、機(jī)械和電磁擾動(dòng)的響應(yīng)。量子力學(xué)中波函數(shù)的變換特性是所謂的表示理論的一個(gè)例子，該理論是由數(shù)學(xué)家弗羅貝紐斯和舒爾在 20 世紀(jì)之交提出的。這激發(fā)了物理學(xué)家和化學(xué)家的巨大努力，以確定波函數(shù)對(duì)稱性的物理后果，這種結(jié)果一直延續(xù)到今天。著名的例子包括布洛赫關(guān)于周期勢(shì)波函數(shù)的工作，它構(gòu)成了固體量子理論的基礎(chǔ)，鮑林關(guān)于化學(xué)解釋軌道對(duì)稱性的工作，以及伍德沃德和霍夫曼關(guān)于軌道對(duì)稱守恒如何決定化學(xué)過程的工作反應(yīng)。最近的科學(xué)進(jìn)步突出了對(duì)稱性在凝聚態(tài)物理學(xué)中的突出作用是發(fā)現(xiàn)了具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的準(zhǔn)晶體，這些對(duì)稱性與普通晶體，因此有時(shí)被稱為非周期性，以及 C60 形式的碳，被稱為“巴克敏斯特富勒烯”，這個(gè)名稱源于它與 R.巴克敏斯特富勒提出的結(jié)構(gòu)的相似性作為替代方案到傳統(tǒng)架構(gòu)。

1.2 量子力學(xué)中的例子

1.2.1一維薛定諤方程

為了欣賞對(duì)稱性是如何入侵量子力學(xué)圣地的，我們舉一個(gè)一維定態(tài)薛定諤方程的例子:

其中

稱為哈密頓算符。

這里的，為波函數(shù)，表示粒子質(zhì)量，為粒子勢(shì)能，為粒子總能量。

在接下來的討論中，我們將會(huì)闡明這樣一個(gè)事實(shí)：一維量子力學(xué)問題的能量本征值是非簡(jiǎn)并的，也就是說，每一個(gè)能量本征值對(duì)應(yīng)有且僅有一個(gè)本征函數(shù)。

現(xiàn)在這樣設(shè)想，假如是偶函數(shù)，對(duì)上式施以，上式變?yōu)?/p>

即

其中E是分立的，由于有且僅有一個(gè)本征函數(shù)與本征值對(duì)應(yīng)，那么與不可能線性無關(guān)，即有：

其中A為一個(gè)常數(shù)

上式中，即有：

兩式聯(lián)立得到：

由于

故有

所以，即要么是奇函數(shù)，要么是偶函數(shù)。

這與我們對(duì)薛定諤方程的認(rèn)知一致，請(qǐng)看圖1.2

1.2.2對(duì)稱性與量子數(shù)

上一節(jié)我們我們的討論展示了對(duì)稱性是如何入侵薛定諤方程的求解，這次我們來基于1.1.2以及1.1.3，來建立起連續(xù)對(duì)稱性與量子數(shù)的關(guān)系。

設(shè)想這個(gè)非定態(tài)一維薛定諤方程：

這個(gè)方程的解是一組平面波：

（的實(shí)數(shù)部分）

其中和與動(dòng)量以及能量相關(guān)。換句話說，這個(gè)解中的量子數(shù)與動(dòng)量、能量相關(guān)，而又由于諾特定理，動(dòng)量有空間對(duì)稱性，能量有時(shí)間對(duì)稱性，說明量子數(shù)與時(shí)間空間都有一定的對(duì)稱性關(guān)系。同樣的，假如對(duì)于一個(gè)在旋轉(zhuǎn)的系統(tǒng)，里面的量子數(shù)會(huì)和能量、角動(dòng)量有關(guān)，即有時(shí)間對(duì)稱性與空間指向?qū)ΨQ性，特別的，后者由兩個(gè)量子數(shù)對(duì)應(yīng)，因?yàn)榻莿?dòng)量的變換有兩個(gè)自由度。

1.2.3矩陣元素與挑選原理

對(duì)稱性最重要的應(yīng)用之一就是研究一個(gè)對(duì)稱操作中的那些需要為0的矩陣元素。我們繼續(xù)上一節(jié)的例子，假定操作對(duì)應(yīng)的函數(shù)有確定的奇偶性，其矩陣元素如此定義：

積分區(qū)間與原像有對(duì)稱性關(guān)系。如果是一個(gè)偶操作，那么某些矩陣元素就要為0，只有這樣才能使得這樣的積分是偶操作，這被稱作挑選原理，因?yàn)槲覀円舫瞿男┰厥?。請(qǐng)注意，挑選原理沒有給出任何有關(guān)量綱的信息。

挑選原理在處理破碎對(duì)稱性時(shí)相當(dāng)有用。舉個(gè)例子，一個(gè)原子的哈密頓量，由電子動(dòng)能和庫侖勢(shì)能相加，在不同的朝向上是一樣的。但是當(dāng)這個(gè)原子被放在電磁場(chǎng)中，哈密頓量需要加上一個(gè)與朝向有關(guān)的項(xiàng)，因?yàn)閳?chǎng)有自己喜歡的方向(? ω ?)。這叫斯塔克效應(yīng)（電場(chǎng)導(dǎo)致）和塞曼效應(yīng)（磁場(chǎng)導(dǎo)致）。類似的事情發(fā)生在量子場(chǎng)理論中，拉格朗日函數(shù)需要加上一項(xiàng)與朝向有關(guān)的項(xiàng)。因?yàn)檫@些破壞對(duì)稱性的項(xiàng)在這些情況下都很小，我們的挑選原理能介入其中進(jìn)行微擾理論計(jì)算。

1.3 總結(jié)

這章例子中應(yīng)用的對(duì)稱性理念被賦予了一種代數(shù)表述“群“。這是一個(gè)二十世紀(jì)才興起的數(shù)學(xué)分支。有一段時(shí)間，只有排列被深入研究?？挛髟谶@個(gè)工作中起了主要作用，但英國數(shù)學(xué)家凱萊是第一個(gè)提出抽象群并用于矩陣和四元數(shù)的研究。后來的一篇論文中，柯西指出每一個(gè)有限群都可以用于代表排列，這個(gè)結(jié)論我們?cè)诒菊乱呀?jīng)解決了。事實(shí)上，幾何變換和排列共有著相同的代數(shù)構(gòu)造，根植于對(duì)方程解的研究。在下一章，我們將學(xué)習(xí)這門課的基礎(chǔ)知識(shí)。