預(yù)備知識(shí)：

1. lim（1+1/n）^n=e.

2. 公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；

3. 雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個(gè)向量的向量積，再作所得向量與第三個(gè)向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個(gè)雙重向量積；

4. 性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；

5. （axb）xc=（ac）b-（bc）a；

6. 拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；

7. （axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；

8. （axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）；

9. 右手系/左手系：設(shè)有不共面的三個(gè)向量a，b，c，將它們移到同一始點(diǎn)，則a，b決定一個(gè)平面，而c指向平面的一旁，將右手四指并攏與拇指分開(kāi)，使四指向掌心彎曲的方向，表示從a的方向經(jīng)過(guò)小于平角的轉(zhuǎn)動(dòng)達(dá)到b的方向，此時(shí)若拇指方向與c方向指向平面的同一旁，則稱(chēng)向量組{a，b，c}構(gòu)成右手系，否則稱(chēng)為左手系；

10. 直角標(biāo)架/直角坐標(biāo)系：設(shè)i，j，k是空間中以O(shè)為起點(diǎn)的三個(gè)向量，它們兩兩垂直并且都是單位向量，則O；i，j，k稱(chēng)為空間的一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的直角標(biāo)架或直角坐標(biāo)系，記為{O；i，j，k}；

    右手直角標(biāo)架/右手直角坐標(biāo)系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱(chēng)為一個(gè)右手架標(biāo)或右手直角坐標(biāo)系；否則稱(chēng)為左手直角架標(biāo)或左手直角坐標(biāo)系；

    直角坐標(biāo)系的基向量：我們把i，j，k稱(chēng)為該直角坐標(biāo)系的基向量；

11. 仿射架標(biāo)/仿射坐標(biāo)系：如果我們不要求i，j，k單位長(zhǎng)度且兩兩正交，只要求它們不共面，那么{O；i，j，k}稱(chēng)為空間一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的仿射架標(biāo)或仿射坐標(biāo)系；

    右手仿射架標(biāo)/右手仿射坐標(biāo)系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱(chēng)為一個(gè)右手仿射架標(biāo)或右手仿射坐標(biāo)系；否則稱(chēng)為左手仿射架標(biāo)或左手直仿射坐標(biāo)系；

    仿射坐標(biāo)系的基向量：我們把i，j，k稱(chēng)為該仿射坐標(biāo)系的基向量.

12. 矩陣乘法運(yùn)算律——
    

    a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

    e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿(mǎn)足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱(chēng)B為A的逆方陣，而稱(chēng)A為可逆方陣。

13. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。

14. 矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿(mǎn)足：|AB|=|A||B|；

15. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

16. A的伴隨矩陣A*滿(mǎn)足：A*=|A|A^（-1）

17. E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
    

    方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

    方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

18. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱(chēng)為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。

19. 定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)矩陣，若A'=-A，則稱(chēng)A為反/斜對(duì)稱(chēng)矩陣。

20. 定義：如果AB=BA，則稱(chēng)A與B可交換。

21. 矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

22. 定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析》（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄?王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數(shù)題解精粹》（錢(qián)吉林?編著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）》）——

利用lim（1+1/n）^n=e求下述極限：lim[1+1/（n+1）]^n.

解：

1. [1+1/（n+1）]^n

   ={[1+1/（n+1）]^（n+1）}/[1+1/（n+1）]

2. lim[1+1/（n+1）]^n

   =lim{[1+1/（n+1）]^（n+1）}/lim[1+1/（n+1）]

   =e/1

   =e

解析幾何——

例題（來(lái)自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——

定理：設(shè)O；i，j，k是空間的一個(gè)仿射坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系），則任意一個(gè)向量v可以唯一表示成v=xi+yj+zk.

證：

（存在性）

1. 平行移動(dòng)v使它的起點(diǎn)至坐標(biāo)原點(diǎn)O，設(shè)它的終點(diǎn)為M，即OM=v；

2. 過(guò)M點(diǎn)作平行于向量k的直線(xiàn)交向量i，j張成的平面N，過(guò)N點(diǎn)作平行于向量j的直線(xiàn)交向量i所在的直線(xiàn)與P；

3. 則v=OM=OP+PN+NM=xi+yj+zk.

（唯一性）

1. 設(shè)v還可以表示成i，j，k的另一種形式v=x'i+y'j+z'k；

2. （xi+yj+zk）-（x'i+y'j+z'k）

   =（x-x'）i+（y-y'）j+（z-z'）k

   =v-v

   =0；

3. 因?yàn)?strong>i，j，k非零不共面，則x=x'，y=y'，z=z'.

高等代數(shù)——

例題（來(lái)自《高等代數(shù)題解精粹（錢(qián)吉林?編著）》）——

設(shè)A^2-A-6E=0，證明A-2E是可逆矩陣，并將它的逆矩陣表為A的多項(xiàng)式。

證：

1. （A-2E）（A+E）

   =A^2-A-2E

   =（A^2-A-6E）+4E

   =4E；

2. （A-2E）[（A+E）/4]

   =E，則A-2E是可逆矩陣，（A-2E）^（-1）=（A+E）/4.

到這里！