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數(shù)學(xué)雜談（3）論分段函數(shù)

2023-05-03 14:03 作者:Ymprover 0人讀過 | 我要投稿

一、前言

昨天看到數(shù)學(xué)大佬 @Jack明天三連了嗎（他之前發(fā)的網(wǎng)格作圖堪稱神作）發(fā)了一期討論分段函數(shù)的視頻，不禁想起了當(dāng)年類似的情景，有些熱血沸騰。出于對代數(shù)美學(xué)的向往，我曾決心“拋棄”幾何與分類討論，雖說是有些過激的行為，但也頗有樂趣。

之前發(fā)過一篇“拋棄”幾何的文章，自詡為“嚴(yán)格證明”，卻盡顯思維之不嚴(yán)謹(jǐn)，但這是當(dāng)年的些許回憶，紙稿找不到了，便沒有從B站刪去，讓各位見笑了。

如今便來復(fù)現(xiàn)一下本人2021年4月的一些情景，并加入一些新的思考！

二、正文

構(gòu)造 $m(x)%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B%7Cx%7C%7D%7Bx%7D%20%2B1%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B%7Cx%7C%7D%7B2x%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A1%20~%2C~x%3E0%5C%5C%0A0%20~%2C~x%3C0%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

（當(dāng)然，這是可以改寫成含根式的形式的，見后文）

考慮函數(shù)平移，則? $m(x-p)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A1%20~%2C~x%3Ep%5C%5C%0A0%20~%2C~x%3Cp%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%0A~%2C~p%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D$

（另有， $%5Cfrac%7B-%5Cfrac%7B%7Cx%7C%7D%7Bx%7D%20%2B1%7D%7B2%7D%3D-%5Cfrac%7B%7Cx%7C%7D%7B2x%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A0%20~%2C~x%3E0%5C%5C%0A1%20~%2C~x%3C0%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$ 考慮函數(shù)平移同理從略）

可以證得：

若 $a%3Cb$ ，則? $m(x-a)-m(x-b)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A1%20~%2C~a%3Cx%3Cb%5C%5C%0A0%20~%2C~x%3Eb%20~~%5Crm%7Bor%7D~~%20%5Ctextit%20x%3C%20%5Ctextit%20a%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

作差過程消去常數(shù)項(xiàng)，則上式等價(jià)于 $%5Ccolor%7Bblue%7D%7B%5Cfrac%7B%7Cx-a%7C%7D%7B2(x-a)%7D%20-%5Cfrac%7B%7Cx-b%7C%7D%7B2(x-b)%7D%20%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A1%20~%2C~a%3Cx%3Cb%5C%5C%0A0%20~%2C~x%3Eb%20~~%5Crm%7Bor%7D~~%20%5Ctextit%20x%3C%20%5Ctextit%20a%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%0A~(a%3Cb)%7D$

由此可以寫出分段函數(shù)合表達(dá)式通式：

$f(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0Af_1(x)%2C~~~~~~x%3Cx_1%0A%5C%5Cf_2(x)%2C~~~~~~x_1%3Cx%3Cx_2%0A%5C%5Cf_3(x)%2C~~~~~~x_2%3Cx%3Cx_3%0A%5C%5C...~~~~%2C~~~~~~...%0A%5C%5Cf_%7Bn-1%7D(x)%2C~~x_%7Bn-2%7D%3Cx%3Cx_%7Bn-1%7D%0A%5C%5Cf_n(x)%2C~~~~~~x%3Ex_%7Bn-1%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

$%3D%5Cbigg(-%5Cfrac%7B%7Cx-x_1%7C%7D%7B2(x-x_1)%7D%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cbigg)%C2%B7f_1(x)%2B%5Csum_%7Bi%3D2%7D%5E%7Bn-1%7D%20%20%5Cbigg(%5Cfrac%7B%7Cx-x_%7Bi-1%7D%7C%7D%7B2(x-x_%7Bi-1%7D)%7D%20-%5Cfrac%7B%7Cx-x_%7Bi%7D%7C%7D%7B2(x-x_%7Bi%7D)%7D%5Cbigg)%C2%B7f_i(x)%0A%2B%5Cbigg(%5Cfrac%7B%7Cx-x_n%7C%7D%7B2(x-x_n)%7D%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cbigg)%C2%B7f_n(x)$

（后來看到Jack的視頻，考慮 $%7Cx%7C%3D%5Csqrt%7Bx%5E2%7D%20$ 即可進(jìn)行改寫。)

三、遺留問題與后記

分段區(qū)間連不上，端點(diǎn)處斷開了

函數(shù)構(gòu)造形式使然，沒辦法……

為了解決這個(gè)問題，還想過引入狄拉克函數(shù) $%5Cdelta(x)$

構(gòu)造? $m(x)%3D%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5E%7Bx%7D%CE%B4(t)%20~%5Crm%20%7Bd%7D%20%5Ctextit%20t%20$ 解決端點(diǎn)問題。但這樣好像循環(huán)論證了，而且有點(diǎn)小題大做，也就罷了。

Jack的思路也挺好的，大家也可以去看看。我只不過是用了我自己的方法罷了，但應(yīng)該是跟Jack的等價(jià)的。

（2023年5月3日）

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