/ 芝諾悖論 /

導(dǎo)言

introduction

在數(shù)學(xué)史上，芝諾有口皆碑，他關(guān)于運(yùn)動(dòng)的悖論拉開了17世紀(jì)最終確立的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的序幕，影響了后來的微分學(xué)和離散數(shù)學(xué)的發(fā)展，貝爾（Eric Temple Bell，20世紀(jì)美國數(shù)學(xué)史家）評價(jià)他最早以“非數(shù)學(xué)的語言”揭示了人們對連續(xù)性和無限性的思考。在哲學(xué)史上，黑格爾和亞里士多德曾稱贊芝諾是辯證法的創(chuàng)始人，芝諾悖論（Zeno's paradox）對早期希臘哲學(xué)的辯證法、特別是對形而上學(xué)中時(shí)間與空間、有限與無限等核心論題產(chǎn)生了不可忽視的貢獻(xiàn)。

Part.1?原典追蹤

芝諾最著名的是“關(guān)于運(yùn)動(dòng)的不可分性”思想，主要記載于他的《論自然》殘篇和亞里士多德的《物理學(xué)》中。其中芝諾不僅試圖維護(hù)形而上學(xué)中存在的唯一性與不動(dòng)性，為巴門尼德的存在學(xué)說進(jìn)行辯護(hù)，而且思考了數(shù)學(xué)中的“無限分割”難題。

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芝諾悖論的第一條叫作“二分法”悖論。亞里士多德在自己的《物理學(xué)》中記載了芝諾否定運(yùn)動(dòng)的4組論證，其中，“第一個(gè)論證肯定運(yùn)動(dòng)是不存在的，根據(jù)是移動(dòng)位置的東西在達(dá)到目的地以前必須達(dá)到途經(jīng)的一半處。”例如：我們假設(shè)一段50米的路，走過這段路需要1分鐘的時(shí)間，0.5分鐘走過25米，0.25分鐘走過12.5米，0.125分鐘走過6.25米……以此二分方式分割下去直到距離趨于0（無限?。┟祝绱艘粊?，有限的50米距離內(nèi)就包含無限多個(gè)位置或點(diǎn)，而無窮多個(gè)點(diǎn)是我們永遠(yuǎn)也走不完的，所以這段路程永遠(yuǎn)都走不盡，這就在邏輯上證明了運(yùn)動(dòng)是根本不可能的。

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芝諾悖論的第二條是“阿基里斯追烏龜”悖論?！段锢韺W(xué)》記載了希臘神話中最擅長奔跑的英雄阿基里斯（又譯：阿喀琉斯）追跑步最慢的烏龜?shù)妮W事，“在賽跑的時(shí)候，跑得最快的永遠(yuǎn)追不上跑得最慢的，因?yàn)樽氛呤紫缺仨氝_(dá)到被追者的出發(fā)點(diǎn)，這樣，那跑得慢的必定總是領(lǐng)先一段路?！卑⒒锼购蜑觚攺牟煌钠瘘c(diǎn)出發(fā)，每當(dāng)阿基里斯追到了烏龜曾經(jīng)領(lǐng)先時(shí)候的位置，先跑的烏龜總是已經(jīng)移動(dòng)了一段距離，所以阿基里斯只能無限接近。

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亞里士多德認(rèn)為這個(gè)悖論和二分法悖論殊途同歸，并且給出了自己的解決辦法，“在領(lǐng)先的時(shí)候沒有被追上則是對的，可是，如果讓他跑過一段指定的有限距離，他就被追上了。”亞里士多德實(shí)際上沒有理解芝諾悖論當(dāng)中的數(shù)學(xué)意義，他只是按照常識給出了一個(gè)“實(shí)踐上”可信的回答；芝諾悖論里面的極限思想直到2000多年后微積分的確立才真正解開。

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芝諾悖論的第三條是“飛矢不動(dòng)”悖論?！段锢韺W(xué)》中說，“第三個(gè)論證是上面說過的，飛矢不動(dòng)，它是從時(shí)間是由‘瞬間的總和’這個(gè)假設(shè)中得出的。如果不承認(rèn)這個(gè)假設(shè)，就不會(huì)得出這樣的結(jié)論?！憋w行的箭在其飛行線路中每一個(gè)瞬間都占有確定的位置（空間），而每一個(gè)瞬間飛箭在占據(jù)空間的時(shí)候都是靜止的，所以飛箭的行程實(shí)際上是由無窮多個(gè)靜止的狀態(tài)連接起來的，所以飛箭其實(shí)沒有運(yùn)動(dòng)，它一直是靜止的。

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芝諾悖論的第四條為“運(yùn)動(dòng)場（游行隊(duì)列）”悖論。柏內(nèi)特對亞里士多德《物理學(xué)》中記述的運(yùn)動(dòng)場悖論有一個(gè)較為清晰的整理，“假設(shè)有三列物體，其中的一列[A],當(dāng)其他二列[B,C]以相等速度循相反方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，是靜止的（狀況如圖1）?！边@個(gè)相對運(yùn)動(dòng)的關(guān)系可以直觀地表達(dá)為下圖：

其中，隊(duì)列A是“靜止的物體（觀眾席）”，隊(duì)列B是“從起點(diǎn)到終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物體（一隊(duì)運(yùn)動(dòng)員）”，隊(duì)列C是“從終點(diǎn)到起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物體（另一隊(duì)運(yùn)動(dòng)員）”。芝諾認(rèn)為，當(dāng)B和C兩隊(duì)列開始朝向相反方向移動(dòng)、直到與A隊(duì)列完全重合時(shí)，雖然B隊(duì)列和C隊(duì)列移動(dòng)的距離或位置相等，但是B隊(duì)列走過的時(shí)間（數(shù)目）卻等于C隊(duì)列走過時(shí)間（數(shù)目）的2倍。即“B用來越過C的時(shí)間要比它用來越過A的時(shí)間長一倍。但是B和C用來走到A位置的時(shí)間卻相等。所以一倍的時(shí)間等于一半的時(shí)間。”產(chǎn)生該悖論的關(guān)鍵在于：芝諾在衡量B和C隊(duì)列的運(yùn)動(dòng)時(shí)采取了不同的參照系（B動(dòng)時(shí)參照A，C動(dòng)時(shí)參照B），而且設(shè)定了A、B、C三個(gè)隊(duì)列自身也由內(nèi)在分割的片段構(gòu)成。

Part.2?概念延拓

芝諾悖論與中國古代的辯證法有異曲同工之妙。芝諾的“二分法”悖論與《莊子·天下篇》中惠施所述的無限分割思想類似，不過二者有不同的論證目的?；菔┨岢觥耙怀咧ⅲ杖∑浒?，萬世不竭?！彼麖挠邢薜拈L度中意識到無限分割是可能的，揭示了有限與無限的辯證關(guān)系，其目的是肯定有限事物的無限分割性；芝諾的目的則是借助時(shí)間和空間的無限分割假設(shè)，反過來說明運(yùn)動(dòng)的不可能、荒謬性。此外“飛矢不動(dòng)”悖論和惠施所說的“飛鳥之影，未嘗動(dòng)也”也有類似之處，惠施據(jù)此揭示運(yùn)動(dòng)與靜止的辯證關(guān)系；芝諾將“運(yùn)動(dòng)的箭”分析為“靜止的箭”，從辯證角度來講也揭示了運(yùn)動(dòng)和靜止相輔相成的關(guān)系。

芝諾悖論所蘊(yùn)含的辯證法思想深刻地影響了后世哲學(xué)的發(fā)展。芝諾悖論對時(shí)間、空間以及無限性問題的討論蘊(yùn)含著深刻的辯證法思想，為德國觀念論哲學(xué)家所吸收?？档略凇都兇饫硇耘小返南闰?yàn)宇宙論中曾提出4組經(jīng)典的“二律背反”，其中涉及了時(shí)間和空間、有限與無限、自由與必然等辯證關(guān)系；黑格爾在《哲學(xué)史講演錄》中高度評價(jià)了芝諾關(guān)于時(shí)間、空間和無限分割的思想，在此基礎(chǔ)上，他區(qū)分了“真無限”與“壞無限”，并且推進(jìn)了二者的辯證關(guān)系。生命哲學(xué)家柏格森評價(jià)，芝諾悖論的漏洞在于他混淆了運(yùn)動(dòng)與空間，時(shí)間與瞬間，柏格森以綿延（連續(xù)的意識流狀態(tài)）理論為芝諾悖論提供了一種可能的解決方法。

Part.3?考情解析

“芝諾悖論”是西方哲學(xué)史的中頻考點(diǎn)，考察頻率2顆星★★

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該知識點(diǎn)的考察方式單一、明確，以名詞解釋題和簡答題為主，基本不涉及論述題。例如：北京交通大學(xué)2023年外哲科目以簡答形式考察了“芝諾悖論”；大連理工大學(xué)2023年外哲科目以名詞解釋形式考察了“飛矢不動(dòng)”；北師大2023年哲學(xué)綜合科目以簡答形式考察了“阿基里斯追烏龜”。

“芝諾悖論”涉及的問題艱深，對思辨能力要求較高，不過考研的考察形式并不算深入。因此同學(xué)們在考場作答時(shí)可以參照以下答題框架（簡答適用）：首先說明芝諾對巴門尼德存在學(xué)說的維護(hù)，其次結(jié)合亞里士多德《物理學(xué)》和芝諾《論自然》殘篇中有關(guān)4組悖論的記載，列舉“芝諾悖論”的名稱與內(nèi)容，并且以白話進(jìn)行解釋。最后以一到兩句話簡評其哲學(xué)史意義（可參考亞里士多德的點(diǎn)評、黑格爾的無限性思想、康德的二律背反、柏格森的評價(jià)等）。