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這篇文章推導(dǎo)一下 MIMO MMSE 檢測(cè)算法的數(shù)學(xué)公式。MMSE：Minimum Mean Squared Error.

其中 H 是信道系數(shù)矩陣，是 MxN 的，X 是發(fā)送信號(hào)向量，Nx1的列向量，Y 是接收到的信號(hào)，是 Mx1的列向量，W 是加性高斯白噪聲，也是 Mx1 的列向量。

我們的目標(biāo)是找一個(gè)矩陣 G，用 G 作用在 Y 上來估計(jì)發(fā)送的 X，即：

其中?是對(duì)發(fā)送向量 X 的估計(jì)，由于矩陣乘法是一個(gè)線性操作，因此這個(gè)算法也更準(zhǔn)確地被稱為 Linear MMSE 檢測(cè)算法。

我們要找一個(gè)合適的 G，使得下式最小：

這個(gè)式子的含義是，? 是估計(jì)的向量與原始的向量之間的誤差向量，再對(duì)這個(gè)向量取其模長(zhǎng)。

而這套系統(tǒng)中，我們是假定信道系數(shù)矩陣 H 已知，在這些條件下，那么只有 發(fā)送向量 X? 和 噪聲W 是未知的（由于 Y = HX +W ，因此 Y 也是未知的，但是可以用 X 和 W 計(jì)算出來），我們把他們看成隨機(jī)變量，所以，我們從這兩個(gè)隨機(jī)變量的角度，看統(tǒng)計(jì)意義下的誤差最小，即名稱中 Mean 這個(gè)單詞的含義。

也就是說，我們不是針對(duì)某個(gè)特定的發(fā)送向量，或者某個(gè)特定的白噪聲，來計(jì)算 G，使得誤差最小（誤差的模長(zhǎng)最?。强此邪l(fā)送的向量的各種可能，所有可能的白噪聲，考慮這些所有的可能后來使得誤差最小。這是與 Zero Forcing 算法不太一樣的地方（待詳細(xì)敘述）。

把 (2) 代入 (3) ，同時(shí)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來表示找最小，我們得到如下這個(gè)公式：

接下來就是純數(shù)學(xué)推導(dǎo)了：

對(duì)公式 (5) 相對(duì) G 求導(dǎo)，利用如下公式 (a,b 均為列向量，X 為矩陣)

則：

那么

令公式（6）等于 0 ，即相當(dāng)于求解公式 (5) 的極值問題，則：

其中兩個(gè)相關(guān)矩陣的計(jì)算如下：

以及

把 (8) (9) 代入 (7) :

最終得到：

需要注意的是，公式 (11) 也可以寫成：

即：