今天先復(fù)習(xí)關(guān)于二階線性微分方程的所有內(nèi)容，下次開始聊一種特殊并且也很重要的常微分方程——常系數(shù)齊次線性微分方程。

同濟(jì)《高等數(shù)學(xué)》常微分方程部分

二階線性微分方程——形如d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=f（x）的微分方程。

——二階線性微分方程又分為兩種——

齊次方程——f（x）恒為0；

非齊次方程——f（x）不恒為0。

注意：

1. 這里的齊次方程不要和之前的齊次方程混淆，是兩個完全不同概念；

2. 方法依然是常數(shù)變易法，但是二階方程涉及到通解個數(shù)的問題，所以要先討論解的結(jié)構(gòu)：即解空間的內(nèi)容。

涉及四個定理——

其中前兩個定理關(guān)于二階齊次線性方程，后兩個定理關(guān)于二階非齊次線性方程——

1. 如果函數(shù)y1（x）與y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的兩個解，那么y=C1y1（x）+C2y2（x）也是該方程的解，其中C1與C2是任意常數(shù)；

2. 如果函數(shù)y1（x）與y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的兩個線性無關(guān)的特解，那么y=C1y1（x）+C2y2（x）就是該方程的通解，其中C1與C2是任意常數(shù)；

3. 設(shè)y*（x）是二階非齊次線性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）的一個特解，Y(x)是該方程對應(yīng)的齊次方程的通解，那么y=Y（x）+y*（x）是二階非齊次線性微分方程的通解；

4. 設(shè)二階非齊次線性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）中，f（x）是兩個函數(shù)之和，即y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）+f2（x），而y*1（x）與y*2（x）分別是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）與y"+P（x）y'+Q（x）y=f2（x）的特解，那么y*1（x）+y*2（x）就是原方程的特解——線性微分方程的疊加原理。

這四個定理的證明依次如下——

定理一：如果函數(shù)y1（x）與y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的兩個解，那么y*=C1y1（x）+C2y2（x）也是該方程的解，其中C1與C2是任意常數(shù)。

證明：已知函數(shù)y1（x）與y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的兩個解，即——

y1"+P（x）y1'+Q（x）y1=0；y2"+P（x）y2'+Q（x）y2=0；

由y*=C1y1（x）+C2y2（x），有y*"+P（x）y*'+Q（x）y*=[C1y1（x）+C2y2（x）]"+P（x）[C1y1（x）+C2y2（x）]'+Q（x）[C1y1（x）+C2y2（x）]=C1[y1"+P（x）y1'+Q（x）y1]+C2[y2"+P（x）y2'+Q（x）y2]=0，即y*也是該方程的解，證畢。

定理二：同濟(jì)書上沒給證明我們暫時不聊，之后會在《常微分方程》內(nèi)容中詳談。

定理三：設(shè)y*（x）是二階非齊次線性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）的一個特解，Y(x)是該方程對應(yīng)的齊次方程的通解，那么y=Y（x）+y*（x）是二階非齊次線性微分方程的通解。

證明：將y=Y（x）+y*（x）代入方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）——

[Y（x）+y*（x）]"+P（x）[Y（x）+y*（x）]'+Q（x）[Y（x）+y*（x）]=[y*"+P（x）y*'+Q（x）y*]+[Y"+P（x）Y'+Q（x）Y]=f（x）+0=f（x），即y是非齊次線性方程的解；

又Y作為齊次方程的通解，所以含有兩個任意常數(shù)，所以y里面也含有兩個任意常數(shù)，即y為原二階非齊次線性微分方程的通解。

定理四：設(shè)二階非齊次線性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）中，f（x）是兩個函數(shù)之和，即y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）+f2（x），而y*1（x）與y*2（x）分別是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）與y"+P（x）y'+Q（x）y=f2（x）的特解，那么y*1（x）+y*2（x）就是原方程的特解——線性微分方程的疊加原理。

證明：將y=y*1（x）+y*2（x）代入原方程左端y"+P（x）y'+Q（x）y——

y"+P（x）y'+Q（x）y=[y*1（x）+y*2（x）]"+P（x）[y*1（x）+y*2（x）]'+Q（x）[y*1（x）+y*2（x）]=[y*1（x）"+P（x）y*1（x）'+Q（x）y*1（x）]+[y*2（x）"+P（x）y*2（x）'+Q（x）y*2（x）]=f1（x）+f2（x）=f（x），即y*1（x）+y*2（x）為原方程一個特解。

這就是同濟(jì)書上，對二階線性常微分方程的解的結(jié)構(gòu)的四條定理的相關(guān)內(nèi)容。

二階線性微分方程的解法內(nèi)容，即，常數(shù)變易法——

一階非齊次線性微分方程的解法：

1. 解出對應(yīng)一階齊次線性微分方程的解Cy*（x）；

2. 再令y=u（x）y*（x）；

3. 代入該非齊次線性微分方程中即可消去若干項，得到該方程的解。

二階非齊次線性微分方程的解法大同小異：

1. 已知對應(yīng)二階齊次線性方程的解為Y（x）=C1y1（x）+C2y2（x）；——C1，C2為任意常數(shù)；

2. 令y=y1（x）v1（x）+y2（x）v2（x）；

3. 由2，dy/dx=y1'（x）v1（x）+y1（x）v1'（x）+y2'（x）v2（x）+y2（x）v2'（x）；

4. 因為v1（x）和v2（x）的給出只需要使函數(shù)y依然滿足原二階非齊次線性微分方程即可，所以，我們可以找到v1（x）和v2（x）使得，y1（x）v1'（x）+y2（x）v2'（x）=0；

5. 那么由3、4，可以得到y(tǒng)'=dy/dx=y1'（x）v1（x）+y2'（x）v2（x）；

6. 由5，y"=y1"（x）v1（x）+y1'（x）v1'（x）+y2"（x）v2（x）+y2'（x）v2'（x）；

7. 把2、5、6中的y、y'、y"代入待求方程d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=f（x），即，（y1"v1+y1'v1'+y2"v2+y2'v2'）+P（y1'v1+y2'v2）+Q（y1v1+y2v2）=f；——將所有的（x）都省略掉，因為寫起來方便，只要記得里面的字母都是表示關(guān)于x的函數(shù)即可；

8. 我們將7中式子整理得到，（y1"v1+y1'v1'+y2"v2+y2'v2'）+P（y1'v1+y2'v2）+Q（y1v1+y2v2）=（y1'v1'+y2'v2'）+（y1"v1+Py1'v1+Qy1v1）+（y2"v2+Py2'v2+Qy2v2）=（y1'v1'+y2'v2'）+（y1"+Py1'+Qy1）v1+（y2"+Py2'+Qy2）v2=f；

9. 由1知，8中藍(lán)色式子為0，所以y1'v1'+y2'v2'=f；

10. 聯(lián)立4、9中的兩個方程，得到一個關(guān)于v1'和v2'的方程組，接著用Cramer法則解出v1'和v2'；

11. 再用直接求積分得到v1（x）和v2（x），再代入2中方程，即可求出y。

后天再見！