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第 一章? 函數(shù)與極限

第二節(jié)?數(shù)列的極限

一、數(shù)列極限的定義

概念——

• 數(shù)列：如果按照某一法則，對每個n∈N+，對應(yīng)著一個確定的實(shí)數(shù)xn，這些實(shí)數(shù)xn按照下標(biāo)n從小到大排列得到的一個序列x1,x2,x3,...,xn,...就叫做數(shù)列，簡記為數(shù)列{xn}。

• 項(xiàng)：數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列的一般項(xiàng)。

• 數(shù)列極限：設(shè){xn}為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么小），總存在正整數(shù)N，使得n>N時，不等式|xn-a|<ε都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限，或者稱數(shù)列{xn}收斂于a，記為

二、收斂數(shù)列的性質(zhì)

定理：

1. （極限的唯一性）如果數(shù)列{xn}收斂，那么它的極限唯一。

2. （收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列{xn}一定有界。

3. （收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）如果數(shù)列{xn}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a。

4. （收斂數(shù)列的保號性）如果

????——且a>0（或a<0），那么存在正整數(shù)N>0，當(dāng)n>N時，都有xn>0（xn<0）。

第三節(jié) 函數(shù)的極限

一、函數(shù)極限的定義

a.自變量趨于有限值時函數(shù)的極限

定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)δ，使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-x0|<δ時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|<ε，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時的極限，記作

?

b.自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限

定義：設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時有定義，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么小），總存在著正數(shù)X，使得當(dāng)x滿足不等式|x|>X時，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|<ε，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時的極限，記作

二、函數(shù)極限的性質(zhì)

定理：