????????????????第22課????????數(shù)圖形

一、課程導(dǎo)入

? ? ? ? 本節(jié)課你將會學(xué)到：如何巧妙地解決圖形計數(shù)問題（包括Scratch程序）？

二、知識儲備

? ? ? ? 以線段、角、正方形、正方體為例，圖形計數(shù)問題有如下公式：

????????1.1、（1+小線段的條數(shù)）×（小線段的條數(shù)÷2）=線段的條數(shù)????（小線段的條數(shù)為偶數(shù)）

????????1.2? 、[1+（小線段的條數(shù)+1）]??×[（1+（小線段的條數(shù)）÷2]=線段的條數(shù)????（小線段的條數(shù)為奇數(shù)）

????????2.1、（1+小角的個數(shù)）×（小角的個數(shù)÷2）=線段的條數(shù)????（小角的個數(shù)為偶數(shù)）

????????2.2? 、[1+（小角的個數(shù)+1）]??×[（1+（小角的個數(shù)）÷2]=線段的條數(shù)????（小角的個數(shù)為奇數(shù)）

3、{[小正方形的個數(shù)×（小正方形的個數(shù)+1）]×（2×小正方形的個數(shù)+1）}/6=正方形的個數(shù)

4、[小正方體的個數(shù)×（小正方體的個數(shù)+1）/2]2=正方體的個數(shù)

????????上面的公式中，1.1、2.1均為高斯求和公式，3為平方數(shù)列求和公式。4為立方和公式。

三、探索新知

????????1、請問圖1中有多少條線段？

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖1

????????分析：這道題不能亂數(shù)，還有人認(rèn)為ABCDEFGH這些點之間有8個間隔，由此得出有8-1=7（條）線段，這樣數(shù)也是錯誤的。這道題與間隔一點關(guān)系都沒有。那我們該怎么數(shù)呢？首先要知道AD與DH的傾斜角不同，也就是對他們兩個是各自獨立的線段，要分開數(shù)再相加。首先看AD，AD上有4個端點，那么根據(jù)高斯求和公式Sn=[n（a1+an）]/2可知，n，an均為端點個數(shù)，a1=1，進(jìn)而求得AD有[4×（1+4）]/2=10（條）線段。再看AH，DH上有5個端點。[5×（1+5）]/2=7.5，怎么會出現(xiàn)小數(shù)呢？奇數(shù)不能被2整除，不能用高斯求和公式，看看還有什么其他方法。我把5拆成4+1，這樣就變成了[1+（1+4）]×[（1+4）÷2]=15，這回是整數(shù)了。那么DH有15條線段。最后可以得到圖1中有10+15=25（條）線段。答：圖1中有25條線段。

????????2、請問圖2中有多少個正方形？

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

????????分析：這道題還是不能亂數(shù)，間隔也不要想。正方形屬于平面圖形，線線成面。∴可以這樣思考：大正方形的每條邊上都有4條直線，那么圖2中有4種不同大小的正方形：1×1、2×2、3×3、4×4。接下來代入平方數(shù)列求和公式可求得圖2中有{[4×（4+1）]×（2×4+1）}/6=30（個）。答：圖2中有30個正方形。

????????3、已知有一個正方體被切成6×6×6體積均等的小正方體。問：被切后的正方體一共有多少個？

????????分析：這道題沒有給出圖，需要靠我們的想象想出這個立體圖形的特征是怎樣的。首先明確一個最基本的概念：正方體有上下前后左右6個面，每個面的棱長相等。接下來題中又說“正方體被切成6×6×6體積均等的小正方體”，什么是體積均等呢？每個大小都均等吧？那“6×6×6”怎么理解呢？正方體由長寬高構(gòu)成，那“6×6×6”就是有6層正方體，每層正方體都是6個小棱的正方體。問被切后的小正方體一共有多少個，那答案就是套入立方和公式計算：{[6×（6+1）÷2]}2=441（個）答：被切后的正方體有441個。

四、流程圖

????????由于今天我們研究的三道題完全同屬圖形計數(shù)問題，因此為了保證編程時盡可能多刪減腳本，∴我們就看看刪減后的腳本對應(yīng)的代碼的流程圖吧。

? ? ?? ?流程圖看上去比較繁瑣，但如果我們理清了里面的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行“合并同類項”，分析起來就會簡單得多。首先程序開始，點、線段、角、正方形、正方體是不同的對象，找準(zhǔn)的對象不同，計數(shù)的過程也就不同，而程序的答案只有一個?！辔覀兇藭r要問角色輸入哪個圖形?；卮?1時找準(zhǔn)點計數(shù)，回答=2時找準(zhǔn)線段計數(shù)，回答=3角計數(shù)，回答=4正方形計數(shù)，5是正方體計數(shù)。當(dāng)程序知道了找準(zhǔn)哪類圖形計數(shù)時，人家就問你“××的個數(shù)？”。你此時回答的是點的個數(shù)的話直接數(shù)出來作答；線段或是角要判斷n是否為偶數(shù)，若判斷為“是”則用高斯求和來解，否則套用[1+（n+1）]×[（n+1）÷2]來解；正方形的話用平分?jǐn)?shù)列求和，正方體的用立方和公式。

五、變量信息

? ? ? ? 圖形的種類、點的個數(shù)、線段的條數(shù)、正方形的個數(shù)、小線段的條數(shù)、小角的個數(shù)、小正方形的個數(shù)、小正方體的個數(shù)、角的個數(shù)

六、代碼示例

當(dāng)綠旗被點擊

????????首先要統(tǒng)一問題。該編程的共同點是全為計數(shù)問題，不同點是圖形種類不同。那我們把圖形計數(shù)看成一個集合，圖形的種類則是對象。那么要統(tǒng)一的變量就是圖形的種類。

詢問你要數(shù)哪類圖形？

將圖形的種類設(shè)為回答

?將1賦值給變量“點的個數(shù)”。由于點是獨立的，∴點的個數(shù)直接詢問并回答，再作答。

如果圖形的種類=1那么

詢問請輸入點的個數(shù)

將點的個數(shù)設(shè)為回答

說：“連接連接這個圖形有和點的個數(shù)和點”

? ? ?? 將2賦值給變量“小線段的條數(shù)”，由于求線段的條數(shù)公式是連續(xù)求和。對于配對求和而言會涉及到2的整除特征，∴要用余數(shù)積木判斷該數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，根據(jù)情況選用合適的公式計數(shù)。

如果圖形的種類=2那么

詢問被分成多少條線段？

將小線段的條數(shù)設(shè)為回答

如果小線段的條數(shù)÷2的余數(shù)=0那么

將線段的條數(shù)設(shè)為（1+小線段的條數(shù)）÷（小線段的條數(shù)÷2）

否則

將線段的條數(shù)設(shè)為[1+（小線段的條數(shù)+1）]×[（小線段的條數(shù)+1）÷2]

說：“連接連接這個圖形有和線段的條數(shù)和條”

? ? ? ? 由于角的計數(shù)方法同理于線段的計數(shù)方法，∴只要此時把上一組代碼復(fù)制，再把變量“小線段的條數(shù)”改成“小角的個數(shù)”，“線段的條數(shù)”改成“角的個數(shù)”就可以了。

如果圖形的種類=3那么

詢問被分成多少個小角？

將小角的個數(shù)設(shè)為回答

如果小角的個數(shù)÷2的余數(shù)=0那么

將角的個數(shù)設(shè)為（1+小角的個數(shù)）÷（小角的個數(shù)÷2）

否則

將小角的個數(shù)設(shè)為[1+（小角的個數(shù)+1）]×[（小角的個數(shù)+1）÷2]

說：“連接連接這個圖形有和角的個數(shù)和角”

????????將4賦值給小正方形的個數(shù)，5賦值給正方體的個數(shù)。由于在講例題時我們直接套公式求了，∴這里我們還套公式求。

如果圖形的種類=4那么

詢問由多少個小正方形構(gòu)成

將小正方形的個數(shù)設(shè)為回答

將正方形的個數(shù)設(shè)為{小正方形的個數(shù)×[小正方形的個數(shù)+1]×（2×小正方形的個數(shù)+1）}/6

說：“連接連接這個圖形有和正方形的個數(shù)和個正方形”

如果圖形的種類=5那么

詢問由多少個小正方體構(gòu)成

將小正方體的個數(shù)設(shè)為回答

將正方體的個數(shù)設(shè)為[小正方體的個數(shù)×（小正方體的個數(shù)+1）]2

說：“連接連接這個圖形有和正方體的個數(shù)和個正方體”