我們知道，復(fù)數(shù)的1種表達形式是a+bi，那么，對任意復(fù)數(shù)a+bi進行開根號運算，會得到什么結(jié)果呢？

要解決這個問題，首先要先對復(fù)數(shù)a+bi添加1個條件：b≠0? ??原因是：當(dāng)b=0是，最后的結(jié)果沒有意義，而且本來對于1個實數(shù)開根號也可以直接算，不需要進行以下推導(dǎo)了。

因為任何復(fù)數(shù)都可以寫成1個實數(shù)與1個虛數(shù)的和的形式，所以我們不妨先設(shè)（c+di）2=a+bi

展開（c+di）2后得到的是c2-d2+cdi，顯然，c2-d2是實數(shù)，cdi是虛數(shù)，于是，我們便可以列出以下關(guān)于c，d的二元二次方程組：

由cd=b/2可得d=b/(2c)，這樣一來，我們就輕易地用含c的式子表示d了！

將d=b/(2c)代入c2-d2=a得：

兩邊同時乘4c2，將得到的這個關(guān)于c的分式方程化為整式方程，得：

雖然這是關(guān)于c的一元四次方程，但是它既沒有三次項有沒有一次項，于是，我們令t=c2，代入這個一元四次方程，得：

這樣，我們就得到了關(guān)于t的一元二次方程，直接用一元二次方程的求根公式得到t的值：

因為a，b，c和d都是實數(shù)，前面我們令t=c2，所以t不能小于0。又因為t?恒小于0，所以要舍去t?。

將t?代入t=c2，再將得到的c?和c?分別代入d=b/(2c)就可以得到這個二元二次方程組的2組解了：

注：d本來是分母有根號的，化簡的時候分母最終是√（4b2），由于b可以是任何實數(shù)，1個實數(shù)平方再開方不直接等于那個數(shù)，而是等于它的絕對值，因此d最后會有絕對值，上下2個b不能約掉。此時對于任何非零、0實數(shù)b，都有|b|/b=b/|b|，因此帶有絕對值的b也可以放到分子。

因為復(fù)數(shù)沒有正負之分，所以得到的2組解都保留，最后，就可以得到這個公式了：