來自 konregate 博客：https://blog.kongregate.com/the-math-of-idle-games-part-i/

可以通過修改最后的i為ii和iii來閱讀第二篇和第三篇。

自己加了一部分內(nèi)容，清下庫存。

公式代號列表

n：工廠數(shù)，升級數(shù)等作為主體的數(shù)量

base：基礎(chǔ)，第一個內(nèi)容的相關(guān)數(shù)據(jù)

total：整體，全部，如total-p指游戲從最開始累計的全部的聲望

rate：成長常數(shù)

buy：要購買的數(shù)量，沒有該值的公式默認(rèn)購買 1

currency：擁有的貨幣數(shù)量，不出現(xiàn)其他種類默認(rèn)指 Money，即該游戲中的基礎(chǔ)貨幣

p：聲望

ever：一個值的永久版本，多次游戲獲得的該值總和

multipliers：工廠數(shù)獎勵，指一些游戲中購買x10/x25工廠時提供的生產(chǎn)速度獎勵

Cost(n)：第 n 個工廠購買價格

production(total)：整體生產(chǎn)速度

currency(ever-p)：多次游戲獲得的全部聲望，包含消耗掉的那些

普通工廠

一般來說，傳統(tǒng)工廠的購買價格公式是：

Cost(n+1) = Cost(base) x rate^n

而生產(chǎn)力數(shù)據(jù)是（以每秒計）：

production(total) = (production(base) x n) x multipliers

這樣的設(shè)計會使得前期每秒收入遠(yuǎn)超新工廠成本，而達(dá)到一個限度后就會反過來，使你獲得下一個工廠的時間被拉長。

當(dāng)擁有不同種類的工廠時，“工廠最優(yōu)收益”的概念就逐步浮現(xiàn)出來。在這里定義為“收入：成本”的最佳比率。雖然玩家不會完全按照最優(yōu)收益的方式去購買工廠，但他們的行為最終還是會落在最優(yōu)收益的附近。

目前這類游戲新出的工廠總是能比舊工廠提供更強(qiáng)勁的生產(chǎn)力，這往往會使玩家無腦ALLIN新工廠，即使在某些時段，性價比上舊工廠可能更高。造成這一情況的其中一個設(shè)計，是multipliers的趨同：每25個工廠總是會帶來x2收益。如果能夠給更低級別的工廠以更高的乘數(shù)收益，或單獨(dú)設(shè)置每個里程碑的乘數(shù)收益，情況就會大不相同。

這里為5個工廠提供了一種新的multiplier收益方式：

• 工廠1：25級乘數(shù)為x3，50級為x2，100級為x10

• 工廠2：25級為x5，之后為x10

• 工廠3：25級為x4，之后為x8

• 工廠4：25級及之后為x2

• 工廠5：25級為x1.5，之后為x2

以上的購買方式可以大大加強(qiáng)每個工廠的存在感，使在一段時間內(nèi)每個工廠都有多個高光時刻。

作者最后總結(jié)了兩個連續(xù)線性的工廠升級公式以防止For循環(huán)在程序中的過分使用：

cost(n+buy) = Cost(base) x rate^n x (rate^buy -1) / (rate - 1)

cost(n->max) = log(rate)(currency x (rate-1) / (Cose(base) x (rate^n)) + 1)

工廠的工廠

需要用到微積分知識，理解微積分的概念并不難。但你還需要將離散的工廠生產(chǎn)視為一個連續(xù)的過程，這可能會花費(fèi)很多認(rèn)知成本。

在這種模式中，母工廠的速率是子工廠速率的導(dǎo)數(shù)，類似于拋物線公式中的加速度。隨著工廠套娃的發(fā)生，每個母工廠對應(yīng)子工廠的加速度關(guān)系是：1（子工廠本身），x，x^2/2...x^n/n!

隨著套娃級數(shù)的增加，總資源生產(chǎn)速度構(gòu)成泰勒級數(shù)，這個級數(shù)的結(jié)果趨近于 e^x

大多數(shù)這類游戲都會將“工廠數(shù)量”和“購買工廠數(shù)量”分開對待，購買工廠的價格依然依據(jù)歷史購買而增加。

一些游戲會使底層級的工廠能為整體提供增益，以使底層工廠依然具有購買價值。

一些游戲會將工廠的購買轉(zhuǎn)化為工廠的級別，這會使前面所述的隔離有更清晰的展現(xiàn)。

還有一些游戲會將工廠當(dāng)成貨幣使用。比如《UnderWorld Idle》，其高等級單位需要消耗低等級單位生產(chǎn)，而高等級單位會降低低等級單位同數(shù)量級的購買價格，高等級單位本身也會產(chǎn)生低等級單位。

設(shè)計兩種以上的資源有助于使該模式具有更大的自由度。

聲望循環(huán)

通過賦予新增益重置游戲的系統(tǒng)被稱為聲望系統(tǒng)，這是大多數(shù)現(xiàn)代放置游戲的關(guān)鍵機(jī)制之一。它一般有兩個用途：

1. 階梯效果，每次起步都會比上次起步快

2. 控制增長，不會使游戲后期的數(shù)值過大，大多數(shù)聲望系統(tǒng)提供分?jǐn)?shù)指數(shù)而非對數(shù)增長

聲望通常由以下要素決定：

1. 最大放置收益

2. 總收入/自上次重置后的收入

3. 自上次重置后購買的升級次數(shù)

在工廠環(huán)節(jié)，我們能夠預(yù)測在一定等級后，每秒收入將遠(yuǎn)低于新工廠成本以使購買新工廠需要等待大量的時間。新游戲帶來的生產(chǎn)加速就可以大大拉長這個“逆轉(zhuǎn)等級”，使得在進(jìn)入放置狀態(tài)前，能擁有更多生產(chǎn)力設(shè)施，進(jìn)而帶來遠(yuǎn)超之前游戲的生產(chǎn)力。

通過聲望公式的設(shè)計，可以避免玩家通過快速反復(fù)重置來刷取聲望。但這需要更高的存儲成本。

Realm Grinder中的重置公式，要求玩家每次游戲的進(jìn)度都要比上次多至少4倍才能獲得獎勵：

currency(money) = 10^12 x currency(p) x currency(p+1) / 2

currency(p)^2 + currency(p) - 2 x currency(money) / 10^12 = 0

AdVenture Capitalist 中的重置公式則不需要玩家達(dá)到一定進(jìn)度，但早期進(jìn)度獲得的聲望會越來越少：

currency(p) = 150 x sqrt(currency(ever-money) / 10^15)

餅干點(diǎn)擊則采用了這個公式的立方根版本

currency(p) = pow( currency(ever-money) / 10^12, 1/3 )

點(diǎn)擊英雄則采用了另一種思路：它的關(guān)卡難度曲線特別陡峭，以至于多次達(dá)到重置標(biāo)準(zhǔn)所花費(fèi)的時間差別不大。而基于總升級數(shù)的聲望獲取及升級花費(fèi)指數(shù)級上漲更是限制了聲望獲得。也因此它的計算公式非常簡單：

currency(p) = 1 + log(total-level)

其它游戲經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)（自行整理的）

轉(zhuǎn)生類游戲升級經(jīng)驗(yàn) = a x Lv + b / Lv + c

谷值升級經(jīng)驗(yàn)（x9 級升到 y0 級經(jīng)驗(yàn)下降） = a x Lv^2 + b x Lv + c + d x (a x Lv’^2 + b x Lv’)

指數(shù)升級經(jīng)驗(yàn) =? a x Lv^2 + b x Lv + c

后期穩(wěn)定升級經(jīng)驗(yàn) = K/（1 + (K-n) x e^(-r x Lv) / n）

《Realm Grinder》建筑升級成本公式：該建筑1級成本*成本乘數(shù)（1.15）^（下一級級數(shù)-1）