關(guān)于原神最優(yōu)屬性配比的一些計(jì)算（三）

2023-02-19 19:01 作者:Resfzdfdz 0人讀過(guò) | 我要投稿

前兩期的概述

前兩期根據(jù)原神定量傷害計(jì)算公式，使用了一些數(shù)學(xué)的方法，分別對(duì)滿暴擊時(shí)攻擊與爆傷的分配，暴擊與爆傷的分配，攻擊暴擊爆傷三者的分配這三個(gè)問(wèn)題給出了解析解法，得到了一系列結(jié)論。其中各符號(hào)的含義可見第一期https://www.bilibili.com/read/cv14855160。這里將主要結(jié)論列于下方。

滿暴擊時(shí)攻擊與爆傷的分配：爆傷的單位屬性數(shù) 比等效百分比攻擊力的單位屬性數(shù)多50/3的時(shí)候，達(dá)到最優(yōu)分配。

暴擊與爆傷的分配：在暴擊小于100%時(shí)，按照暴擊：爆傷=1：2最優(yōu)。暴擊大于100%時(shí)全分配給爆傷。

攻擊暴擊爆傷三者的分配：暴擊與爆傷的分配仍是1：2最優(yōu)；當(dāng)總單位屬性數(shù)小于178.3時(shí)，應(yīng)當(dāng)全堆攻擊力不堆雙爆；當(dāng)總單位屬性數(shù)大于283.3時(shí)，應(yīng)當(dāng)先將暴擊堆到100%，再按照滿暴擊時(shí)攻擊與爆傷的分配模型重新分配爆傷與攻擊；總單位屬性數(shù)在178.3到283.3之間時(shí)，最優(yōu)分配對(duì)攻擊力不敏感。解析表達(dá)式和最優(yōu)曲線見第二期。

本期概述

由于涉及到精通等問(wèn)題時(shí)，解析解的求取過(guò)于復(fù)雜，故而我轉(zhuǎn)向?qū)W習(xí)了各up主使用的邊際效益法。本期的內(nèi)容主要為，介紹邊際效益法，使用python畫出邊際效益圖，證明前2期的解析法和邊際效益法等價(jià)。并且在后續(xù)專欄中，給出一些角色的邊際效益圖供參考使用（順便也記錄一下這些圖）。

離散邊際效益法

邊際效益通俗點(diǎn)說(shuō)，指的是每增加1個(gè)單位的某屬性時(shí)總傷害得到的提升量百分比數(shù)。

比如說(shuō)：我們的攻擊力乘區(qū)可按公式寫作如下公式，其中 $A_0$ 表示白字， $a$ 表示等效百分比攻擊力的單位數(shù)， $k_a%3D1.5%5C%25$ 。

$E_a(a)%3DA_0(1%2Bk_aa)$

那么收益就可以按照定義如下計(jì)算

$C(a)%3D%5Cfrac%7BE_a(a%2B1)-E_a(a)%7D%7B(a%2B1)-(a)%7D%3DA_0k_a$

這意味著每提升1個(gè)單位的百分比攻擊力，攻擊力乘區(qū)的收益都是 $A_0k_a$ 。

如果要計(jì)算提升的百分比數(shù)即邊際效益，那么就要用提升值比上提升前的乘區(qū)數(shù)值，計(jì)算如下

$R(a)%3D%5Cfrac%7BC(a)%7D%7BE_a(a)%7D%3D%5Cfrac%7BA_0k_a%7D%7BA_0(1%2Bk_aa)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%2B1%2Fk_a%7D$

通過(guò)以上計(jì)算可知，每提升1單位的百分比攻擊力時(shí)，對(duì)攻擊力乘區(qū)的收益都是一樣的。然而每1單位提升的百分比數(shù)值隨著百分比攻擊力增多卻越來(lái)越小，這就是所謂的”稀釋“。

以上計(jì)算方法是離散方法，這種計(jì)算法可以使用excel遍歷計(jì)算得到所有的邊際效益，匯聚成一個(gè)表格。這是一種簡(jiǎn)單高效的算法，因此受到許多人的喜愛。然而作為一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)有一點(diǎn)點(diǎn)興趣的弱雞，我希望通過(guò)連續(xù)函數(shù)的方式得到其邊際效益曲線。因此下面介紹連續(xù)函數(shù)方法。

連續(xù)函數(shù)邊際效益法

考慮到1單位并不特殊，它也并不是原神中最小的屬性變更單位。于是可考慮提升 $%5CDelta%20a$ 個(gè)屬性的百分比攻擊力。此時(shí)仍可計(jì)算收益和邊際效益。

收益的計(jì)算公式為

$C(a)%3D%5Cfrac%7BE_a(a%2B%5CDelta%20a)-E_a(a)%7D%7B(a%2B%5CDelta%20a)-(a)%7D$

若 $%5CDelta%20a$ 趨近于0，那么該公式正好是求 $E_a(a)$ 對(duì) $a$ 的導(dǎo)數(shù)的公式

$C(a)%3Dlim_%7B%5CDelta%20a%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7BE_a(a%2B%5CDelta%20a)-E_a(a)%7D%7B(a%2B%5CDelta%20a)-(a)%7D%3D%5Cfrac%7BdE(a)%7D%7Bda%7D$

若要計(jì)算邊際效益，則要用其收益除以提升前的總量，于是有

$R(a)%3D%5Cfrac%7BC(a)%7D%7BE_a(a)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BE_a(a)%7D%5Cfrac%7BdE(a)%7D%7Bda%7D%3D%5Cfrac%7Bd%5BlnE(a)%5D%7D%7Bda%7D$

為了方便記憶，這里重新寫一下收益和邊際效益的計(jì)算公式，這兩個(gè)公式就構(gòu)成了邊際效益法的理論基礎(chǔ)。

$C(x)%3D%5Cfrac%7BdE(x)%7D%7Bdx%7D%20$

$R(x)%3D%5Cfrac%7Bd%5BlnE(x)%5D%7D%7Bdx%7D$

百分比攻擊力的邊際效益曲線

考慮一個(gè)只吃百分比攻擊力，暴擊，爆傷的普通角色，他的傷害只和攻擊力乘區(qū)，雙爆乘區(qū)有關(guān)，于是可使用這兩個(gè)乘區(qū)之乘積來(lái)表示傷害的大小。即他的傷害期望可用如下的三變量函數(shù)所表示：

$E(a%2Cb%2Cx)%3DE_aE_%7Bbx%7D%3DA_0(1%2Bk_aa)(1%2Bk_bk_xbx)$

根據(jù)上述公式可求得，攻擊力的收益和邊際效益：

$C(a)%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20a%7D%3DA_0k_a(1%2Bk_bk_xbx)$

$R(a)%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5BlnE%5D%7D%7B%5Cpartial%20a%7D%3D%5Cfrac%7BC(a)%7D%7BE%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%2B1%2Fk_a%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%2B200%2F3%7D$

從這里可以看到，百分比攻擊力的收益為線性收益，而邊際收益與其數(shù)值是1次反比例關(guān)系，并且它的邊際收益僅和它自己有關(guān)。事實(shí)上可以根據(jù)邊際效益的計(jì)算公式得到一個(gè)結(jié)論：

屬于某一乘區(qū)的某變量的邊際收益僅與該乘區(qū)內(nèi)的變量有關(guān)系，而與其他乘區(qū)的變量無(wú)關(guān)。

雙爆的邊際效益曲線

暴擊的收益和邊際收益：

$C(x)%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3DA_0(1%2Bk_aa)k_bk_xb$

$R(x)%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5BlnE%5D%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D%5Cfrac%7BC(x)%7D%7BE%7D%3D%5Cfrac%7BA_0(1%2Bk_aa)k_bk_xb%7D%7BA_0(1%2Bk_aa)(1%2Bk_bk_xbx)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B1%2F(k_bk_xb)%7D$

爆傷的收益和邊際收益：

$C(b)%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20b%7D%3DA_0(1%2Bk_aa)k_bk_xx$

$R(b)%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5BlnE%5D%7D%7B%5Cpartial%20b%7D%3D%5Cfrac%7BC(b)%7D%7BE%7D%3D%5Cfrac%7BA_0(1%2Bk_aa)k_bk_xx%7D%7BA_0(1%2Bk_aa)(1%2Bk_bk_xbx)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%2B1%2F(k_bk_xx)%7D$

此時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：暴擊的邊際效益與爆傷相關(guān)，爆傷的邊際效益和暴擊有關(guān)。這是因?yàn)楸艉捅瑐亲鳛橐粋€(gè)整體屬于爆傷乘區(qū)的，它們之間有互相影響，從而導(dǎo)致某變量的邊際效益不僅與它自己有關(guān)，還與這個(gè)乘區(qū)內(nèi)的其他變量有關(guān)。

對(duì)于以上情況，我們可以發(fā)現(xiàn)：一個(gè)乘區(qū)的內(nèi)部會(huì)存在一個(gè)最優(yōu)分配。然后可以根據(jù)乘區(qū)內(nèi)的最優(yōu)分配，找到該按最優(yōu)分配時(shí)的邊際收益。

對(duì)于暴擊和爆傷這個(gè)整體，我們已經(jīng)找到了它的乘區(qū)內(nèi)的最優(yōu)分配，即當(dāng) $x%5Cle100$ 時(shí)遵循 $x%3Db$ 的分配規(guī)則，當(dāng) $x%3D100$ 時(shí)遵循全部分配給 $b$ 的分配規(guī)則。假設(shè)分配給這個(gè)乘區(qū)的總屬性數(shù)為 $N%3Db%2Bx$ ，那么可以使用分配給這個(gè)乘區(qū)的總屬性數(shù) $N$ 來(lái)表示整個(gè)乘區(qū)。如下所示：

（1）當(dāng) $N%5Cle200$ 時(shí)有 $x%3Db%3DN%2F2$ ，于是

$E(a%2CN)%3DE(a%2Cx%3D%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%2Cb%3D%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D)%3DA_0(1%2Bk_aa)(1%2Bk_bk_x%5Cfrac%7BN%5E2%7D%7B4%7D)$

（2）當(dāng) $N%3E200$ 時(shí)有 $x%3D100%2Cb%3DN-100$ ，于是

$E(a%2CN)%3DE(a%2Cx%3D100%2Cb%3DN-100)%3DA_0(1%2Bk_aa)(1%2Bk_bk_x100(N-100))$

于是按照以上雙爆最優(yōu)分配，可以計(jì)算出各階段的收益和邊際效益如下

（1）當(dāng) $N%5Cle200$ 時(shí)，收益和邊際收益如下

$C(N)%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20N%7D%3DA_0(1%2Bk_aa)k_bk_x%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D$

$R(N)%3D%5Cfrac%7BC(N)%7D%7BE(a%2CN)%7D%3D%5Cfrac%7B2N%7D%7BN%5E2%2B4%2F(k_bk_x)%7D%3D%5Cfrac%7B2N%7D%7BN%5E2%2B20000%7D$

（2）當(dāng) $N%3E200$ 時(shí)，收益和邊際收益如下

$C(N)%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20N%7D%3DA_0(1%2Bk_aa)k_bk_x100$

$R(N)%3D%5Cfrac%7BC(N)%7D%7BE(a%2CN)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BN-100%2B1%2F(k_bk_x100)%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BN-50%7D$

從這里可以看到，由于暴擊和爆傷的相互作用，其邊際收益并非一個(gè)1次反比例函數(shù)，而具有更加復(fù)雜的形式。

精通與增傷的邊際效益曲線

這部分由于較為復(fù)雜，并且與具體角色有關(guān)。這里不展開說(shuō)明，后續(xù)專欄講述某個(gè)具體角色的時(shí)候，會(huì)再說(shuō)明如何計(jì)算邊際效益。

使用python畫出邊際效益曲線圖

可以使用python代碼畫出邊際效益曲線，方便分析。代碼如下

畫出的圖像如下所示：

攻擊力的收益曲線：

紅色的曲線為攻擊力的邊際效益。由于一次反比例函數(shù)的規(guī)律，分配給攻擊力的屬性數(shù)較少時(shí)其收益非常高。但隨著分配的屬性越來(lái)越多，其收益快速下降。

雙爆的收益曲線：

藍(lán)色的曲線為雙爆的邊際效益。注意到它是一個(gè)先增后減的函數(shù)，對(duì) $R(N)$ 進(jìn)行求導(dǎo)令導(dǎo)數(shù)為0，可以得到其極值點(diǎn)出現(xiàn)在 $N%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B4%7D%7Bk_bk_x%7D%7D%5Capprox%20141.4$ 的位置。這說(shuō)明分配給雙爆的屬性數(shù)在0到141.4之間時(shí)不僅不存在“稀釋”現(xiàn)象，反而隨著分配給雙爆的屬性增加，其邊際收益也不斷增加。此時(shí)邊際效益極大值為 $R(141.4)%3D0.707%5C%25$ 。而N=141.4到200之間，邊際效益下降非常緩慢，直到N=200處，仍有 $R(200)%3D0.667%5C%25$ 。隨后暴擊率達(dá)到100%，邊際收益曲線變成1次反比例函數(shù)，收益快速下降。

由于 $R(100)%3DR(200)%3D0.667%5C%25$ ，在N=100到N=200之間，雙爆的邊際收益可認(rèn)為基本是穩(wěn)定的。并且每單位0.667%的收益在大部分情況下都高于其他屬性了，因此圣遺物副詞條的雙爆非常重要。

例如：以我的甘雨為例，假設(shè)玩的是深淵單通（實(shí)際上我手殘，玩不動(dòng)。。）

不考慮深淵各種buf，僅考慮重?fù)魝?，則各屬性的絕對(duì)值為：

暴擊：65.3%+20%=85.3%

爆傷：181.7%

攻擊力：2581（白字943），等效百分比攻擊力為2581/943-1=173.7%

轉(zhuǎn)化為單位屬性數(shù)如下所示：

$x%3D85.3$

$b%3D181.7%2F2%3D90.85$

$a%3D173.7%2F1.5%3D115.8$

雙爆的總屬性數(shù) $N%3D85.3%2B90.85%3D176.15$

三者的總屬性數(shù)為 $N_t%3D85.3%2B90.85%2B115.8%3D291.95$

此時(shí)攻擊力的邊際收益為

$R(a%3D115.8)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B115.8%2B200%2F3%7D%3D0.548%5C%25$

雙爆的邊際收益為

$R(N%3D176.15)%3D%5Cfrac%7B2%5Ctimes176.15%7D%7B176.15%5E2%2B20000%7D%3D0.690%5C%25$

顯然雙爆的收益遠(yuǎn)大于攻擊力的收益。在副詞條屬性數(shù)相同的情況下，應(yīng)當(dāng)盡量選擇副詞條雙爆多的圣遺物。假設(shè)一個(gè)圣遺物詞條平均為3.3個(gè)單位的屬性，那么此時(shí)1條百分比攻擊力對(duì)總傷害的提升大約是3.3*0.548%=1.81%，而一條暴擊或爆傷的收益為2.28%。由此可見，以我目前的面板，即使是單通，2581的攻擊力仍然屬于過(guò)高的水平。更不用說(shuō)在隊(duì)伍中可能吃到大量的攻擊力buff，這時(shí)攻擊力的邊際效益將會(huì)非常低。

一個(gè)錯(cuò)誤看法的糾正

分析到這里，可以糾正一個(gè)常見的錯(cuò)誤看法：甘雨的攻擊力比爆傷重要。

事實(shí)上對(duì)于甘雨來(lái)說(shuō)，大部分情況下雙爆比攻擊力重要得多。許多人認(rèn)為攻擊力很重要的原因是對(duì)圣遺物的有效總屬性數(shù)的認(rèn)識(shí)不足。

例如：

圣遺物1為10.5%暴擊，14.8%爆傷，11.7%攻擊力；

圣遺物2為12.8%暴擊，19.4%爆傷，無(wú)攻擊力。

使用圣遺物1打出的傷害顯然比圣遺物2要高很多，但是圣遺物2雙爆比圣遺物1雙爆高了9.2分(4.6單位)，于是有的人就會(huì)得出結(jié)論：攻擊力比雙爆重要。

而實(shí)際上，圣遺物1的有效總單位數(shù)為25.7單位，而圣遺物2的有效總單位數(shù)為22.5單位，圣遺物1比圣遺物2明顯多了3.2單位的有效屬性，幾乎相當(dāng)于多了1個(gè)詞條。這3.2的單位有效屬性差距才是造成傷害差距的根本原因。并不是因?yàn)楣袅Ρ缺瑐匾?/p>

邊際收益法在收益平衡時(shí)就等價(jià)于解析解法

假設(shè)某普通角色，他的傷害期望可用如下的三變量函數(shù)所表示：

$E(a%2Cb%2Cx)%3DE_aE_%7Bbx%7D%3DA_0(1%2Bk_aa)(1%2Bk_bk_xbx)$

考慮E對(duì)a,b,x的邊際收益

$R(a)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BE%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20a%7D%2C%5Cquad%20R(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BE%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2C%5Cquad%20R(b)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BE%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20b%7D$

邊際收益平衡（也就相當(dāng)于收益平衡）時(shí)，應(yīng)當(dāng)是當(dāng)前屬性下總傷害期望最高的分配。于是有 $%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20a%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20b%7D$

其約束條件為

$a%2Bb%2Bx%3DN$

另一邊考慮解析解法，根據(jù)Lagrange乘數(shù)法，構(gòu)造函數(shù)

$L%3DE(a%2Cb%2Cx)%2B%5Clambda(a%2Bb%2Bx-N)$

令各階偏導(dǎo)數(shù)為0，得到4個(gè)方程

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20a%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20a%7D%2B%5Clambda%3D0$

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20b%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20b%7D%2B%5Clambda%3D0$

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Clambda%3D0$

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Clambda%7D%3Da%2Bb%2Bx-N%3D0$

令前3個(gè)方程互相消去 $%5Clambda$ ，其結(jié)果正好就是

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20a%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20b%7D$

從而說(shuō)明，解析解法正好是邊際收益法在收益平衡時(shí)的應(yīng)用。

總結(jié)

本期介紹了邊際效益法，主要介紹了連續(xù)函數(shù)邊際效益法，并且使用該工具分析了百分比攻擊力的邊際效益曲線和雙爆的邊際效益曲線，給出了一個(gè)實(shí)際的例子，最后證明了前2期的解析解法實(shí)際上是邊際效益法在收益平衡時(shí)的應(yīng)用。后面的專欄將使用邊際效益法去分析具體角色的屬性分配問(wèn)題。

標(biāo)簽：傷害計(jì)算原神

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