一個基本的問題就是如果有一列逐點收斂可測函數(shù)，極限函數(shù)如果存在是不是可測的？根據(jù)定義可以直接驗證其正確性，因為一列可測函數(shù)的上下極限函數(shù)都是可測的。有了測度只有就可以引入幾乎處處almost everywhere的概念，對任何命題都可以加上，也就是說不符合這個命題的點的測度為。

，那么我們可以讓它幾乎處處收斂到某個可測函數(shù)，理由如下：拋開那個零測度集合，讓函數(shù)列收斂到極限,在零測度集合上任取一個值即可。這說明在測度論的意義下，忽略一個零測度集合是不影響的，幾乎處處就可以看作是完全相等的。要注意的是這一切都是依賴于測度的定義的。