讀者們或許注意到，作為一個專欄區(qū)up，筆者已經(jīng)有挺長時間沒有更過像樣的專欄了?；蛟S大家會想知道，我最近學(xué)了什么...

首先，可以簡單地回答，沒學(xué)什么。前兩個月被各種亂七八糟的事情搞得狀態(tài)非常糟糕，外加拖延癥的影響，up還真是在挺長的一段時間里感覺到?jīng)]學(xué)到什么。

但總不能一直這么懶下去。先簡單總結(jié)一下多少學(xué)了一點的什么...

0 關(guān)于量子

想看量子，斷斷續(xù)續(xù)也看了不少，但是沒有那種完全學(xué)會的感覺。曾謹(jǐn)言和Shankar一起看，有一種割裂感，不同的內(nèi)容連不起來。雖然知道基本原理就那些，基本方程也就那些，但是還是感覺內(nèi)容很多很雜，一直沒有細(xì)看。

量子力學(xué)中用波函數(shù)??描述粒子的狀態(tài)。在空間中某點觀察到粒子的概率密度為?.

用厄米算符??表示可觀測量，對 A 的一次觀測會使波函數(shù)變成其中一個本征態(tài)，測量結(jié)果是其對應(yīng)的特征值，得到這一結(jié)果的概率是 .?

系統(tǒng)的哈密頓量同樣用算符表示：

態(tài)矢的時間演化滿足

感覺非相對論的量子差不多就上面這些基本假設(shè)，然后基于這些基本假設(shè)就有一大堆內(nèi)容，很多都還沒看，有各種勢場，原子，自旋...只是一直沒細(xì)看。（當(dāng)然上面這些只是提一下，后面可能在單開專欄細(xì)講）

此外，注意到量子里面到處有哈密頓力學(xué)的影子。比如說，哈密頓力學(xué)中有泊松括號，在量子力學(xué)中，就有對易括號與之對應(yīng)：

而且，二者還滿足幾乎相同的時間演化規(guī)律：

事實上，在理論力學(xué)課上也曾提到薛定諤方程的起源，它來自哈雅方程：

1 關(guān)于數(shù)學(xué)

一直感覺數(shù)學(xué)上還需要更多深入的學(xué)習(xí)，也一直想看群論、張量之類的內(nèi)容。也看了一些，像梁燦彬的《微分幾何與廣義相對論入門》涉及了一些相關(guān)知識，但是沒空往后看。關(guān)于群的內(nèi)容只知道點概念。

在試圖學(xué)習(xí)更深的數(shù)學(xué)之前，我還找了丘維聲的高代，算是給自己補一下線代，補一下線性空間、酉空間這類比較抽象的概念。畢竟我校線代課真可謂講成了一坨shi，現(xiàn)在想來，線代真正的靈魂還真是沒怎么學(xué)到，反而陷入一大堆計算的細(xì)節(jié)當(dāng)中。

比如說，關(guān)于實對稱矩陣，有一個重要的性質(zhì)，即：

實對稱矩陣總是正交相似于對角矩陣，這個對角矩陣的對角元是其特征值，變換的正交矩陣有其正交歸一化的特征向量構(gòu)成。

關(guān)于這個性質(zhì)，只記得我們的線代書上講了不少，然后證明印象中好像挺復(fù)雜不說人話。但是現(xiàn)在回頭看倒是覺得挺顯然的，這就說明其實我們當(dāng)時學(xué)線代用的教材是真有點糟糕。以及，真正意識到這個性質(zhì)的顯然還得靠基本外文的量子教材...

首先，不難證明厄米矩陣不同特征值對應(yīng)的特征向量總是正交：

對于特征值簡并的情況，其實也就是某個子空間里面所有的向量都是特征向量，那完全可以隨便在里面取一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，也與其他特征向量全部正交。

也不難證明特征值全是實數(shù)，因為：

既然這樣，能找到正交的特征向量，順手歸一化自然也是容易的，既然是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，自然就能構(gòu)成正交矩陣。

而實對稱矩陣只不過是個特殊的厄米矩陣而已。

就這樣，沒了。我是真忘了之前我們線代書是怎么講得那么麻煩的。

再來繼續(xù)聊聊關(guān)于群的東西...剛剛說到哪了，目前只了解到群的定義，

群的定義：

在集合上定義一種運算；

這種運算是封閉的，滿足結(jié)合律；

有唯一的單位元；

對每個元素有唯一的逆元。

當(dāng)然，很多地方也有了關(guān)于群模糊的感覺。想了解群論和張量，很大程度上因為學(xué)物理時一直能感覺到，哪都有它們。

比如說，本號上第一篇關(guān)于理論力學(xué)的文章，就是關(guān)于剛體力學(xué)的，當(dāng)時還是暑假來著...

如果更深一步地理解剛體的轉(zhuǎn)動，就會知道三維空間的剛體轉(zhuǎn)動可以用一個SO(3)群表示，這個群由全部的行列式為1的3階正交矩陣組成。當(dāng)然，知道這個并不一定有什么用，但是確實感覺很多東西變簡單了。

再比如說，量子中的自旋1/2系統(tǒng)，對應(yīng)的則是 SU(2) 群，即所有特殊的2階酉矩陣構(gòu)成的群。然后，里面就有著名的泡利矩陣：

再比如說，兩個慣性參考系之間，時空坐標(biāo)的變換：

這里面有個洛倫茲群。

雖然是大概知道了都有哪些地方會出現(xiàn)群，但是確實還不了解群論相關(guān)的知識如何幫助我們更好地了解物理體系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這也是我后面想進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

2 關(guān)于理力

一學(xué)期下來應(yīng)該說還算是學(xué)懂了，但是又沒完全懂，比如說之前一直想了解哈密頓力學(xué)中的辛幾何是怎么回事，這個到現(xiàn)在也沒搞清楚...除了知道哈密頓正則方程里面可以通過把坐標(biāo)和動量共同組成向量 (?符號)?湊出一個辛矩陣

然后就知道得不多了。

之前還提到想進(jìn)一步研究如何找到正則變換的合適的母函數(shù)。

先回顧一下正則變換，它是把坐標(biāo)和動量進(jìn)行變換，但仍然符合哈密頓正則方程：

（說明：以下討論都直接按單自由度情況，因為對多自由度情況只要將所有 pq 替換為相應(yīng)向量，對討論內(nèi)容沒有影響。）

要使一個變換成立，下式一定是母函數(shù)F的全微分：

一般來說通過上式就可以完整求出新 PQ 和舊 pq 的關(guān)系。但是我們也很難知道要怎么找到一個合適的母函數(shù)。

當(dāng)然后來了解到一個重要的途徑，就是解哈雅方程：

如果能強行解出上式的積分??為積分常數(shù)，那么不妨把這個積分看作正則變換的母函數(shù)，并且??看作新的廣義坐標(biāo)，那么對應(yīng)的正則變換就可以使

如果變換后的哈密頓量是0，則變換后的廣義坐標(biāo)、廣義動量都是守恒量，這樣

這樣系統(tǒng)的運動就容易求出了。

說著輕松對吧，但是真正折磨的就是解哈雅方程那一步。那可是個偏微分方程。一般來說可以考慮強行分離變量?然后硬解。反正麻煩...

啊對了，順路一提薛定諤方程的起源，他是進(jìn)行了一個奇怪的代換

然后，由于

?

一通操作后可以得到

到目前為止還是經(jīng)典的。后面配合奇怪的量子化假設(shè)(忘了咋搞了)就可得到定態(tài)薛定諤方程

就是說，哈雅方程是薛定諤方程的經(jīng)典極限。

突然又想聊聊張量，之前搞到手一套朗道，《場論》是里面相當(dāng)厚的一本書，然后也稍微看了點...然后就是張量滿天飛。各種上下標(biāo)，求和約定，...看得我有點亂?？傊?，感覺這些東西以后會挺重要的。

但是還是沒認(rèn)真看。仔細(xì)想想，又沒有什么特別想說的。就聊聊一大堆上下標(biāo)的那種東西，像下面這種

區(qū)分上下標(biāo)實際上是區(qū)分向量空間和它的對偶空間。就本人目前的知識水平，覺得向量和對偶向量在很多時候都可以分別理解成線性代數(shù)里面的列向量和行向量，比如說，你想進(jìn)行一個類似點乘的操作，就需要一個行向量和一個列向量才能完成。我又想到了量子力學(xué)里面的右矢左矢，感覺它們也像這種關(guān)系。

這段時間張量的運算規(guī)則也大概了解了。另外，似乎可以說萬物皆張量：標(biāo)量、矢量、矩陣分別是0階、1階、2階張量。

說起來，張量第一次讓我印象深刻還是看費曼講義里面講彈性力學(xué)。小小三維材料，竟然需要四階彈性張量81個分量才能完全描述其彈性性質(zhì)。當(dāng)然這后面又是其他故事了。

也算扯了不少東西，不成體系。后面還得多看書。這篇就先這樣吧。

發(fā)現(xiàn)理力的東西還聊了挺多的。不過也正常，理力的地位確實也相當(dāng)重要，里面的思想方法在很多地方都會重現(xiàn)。