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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于時間序列TAR閾值自回歸的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。

為了方便起見，這些模型通常簡稱為TAR模型

這些模型捕獲了線性時間序列模型無法捕獲的行為，例如周期，幅度相關(guān)的頻率和跳躍現(xiàn)象。Tong和Lim（1980）使用閾值模型表明，該模型能夠發(fā)現(xiàn)黑子數(shù)據(jù)出現(xiàn)的不對稱周期性行為。

一階TAR模型的示例：

σ是噪聲標準偏差，Yt-1是閾值變量，r是閾值參數(shù)， {et}是具有零均值和單位方差的iid隨機變量序列。

每個線性子模型都稱為一個機制。上面是兩個機制的模型。

考慮以下簡單的一階TAR模型：

#低機制參數(shù)i1?=?0.3p1?=?0.5s1?=?1#高機制參數(shù)i2?=?-0.2p2?=?-1.8s2?=?1thresh?=?-1delay?=?1#模擬數(shù)據(jù)y=sim(n=100,Phi1=c(i1,p1),Phi2=c(i2,p2),p=1,d=delay,sigma1=s1,thd=thresh,sigma2=s2)$y#繪制數(shù)據(jù)plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t',ylab=expression(Y[t])abline(thresh,0,col="red")

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R語言時間序列TAR閾值模型分析

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TAR模型_框架_是原始TAR模型的修改版本。它是通過抑制噪聲項和截距并將閾值設(shè)置為0來獲得的：

_框架_的穩(wěn)定性以及某些規(guī)律性條件意味著TAR的平穩(wěn)性。穩(wěn)定性可以理解為，對于任何初始值Y1，_框架_都是有界過程。

在[164]中：

#使用不同的起點檢查穩(wěn)定性startvals?=?c(-2,?-1.1,-0.5,?0.8,?1.2,?3.4)count?=?1for?(s?in?startvals)?{ ? ?ysk[1 ? ? ? ?}?else?{ ? ? ? ? ? ?ysk[i]?=?-1.8*ysk[i-1] ? ? ? ?} ? ? ? ?count?=?count?+?1}#繪制不同實現(xiàn)matplot(t(x),type="l"abline(0,0)

Chan和Tong（1985）證明，如果滿足以下條件，則一階TAR模型是平穩(wěn)的

一般的兩機制模型寫為：

在這種情況下，穩(wěn)定性更加復(fù)雜。然而，Chan and Tong（1985）證明，如果

模型估計

一種方法以及此處討論的方法是條件最小二乘（CLS）方法。

為簡單起見，除了假設(shè)p1 = p2 = p，1≤d≤p，還假設(shè)σ1=σ2=σ。然后可以將TAR模型方便地寫為

如果Yt-d> r，則I（Yt-d> r）= 1，否則為0。CLS最小化條件殘差平方和：

在這種情況下，可以根據(jù)是否Yt-d≤r將數(shù)據(jù)分為兩部分，然后執(zhí)行OLS估計每個線性子模型的參數(shù)。

如果r未知。

在r值范圍內(nèi)進行搜索，該值必須在時間序列的最小值和最大值之間，以確保該序列實際上超過閾值。然后從搜索中排除最高和最低10％的值

1. 在此受限頻帶內(nèi)，針對不同的r = yt值估算TAR模型。

2. 選擇r的值，使對應(yīng)的回歸模型的殘差平方和最小。

#找到分位數(shù)lq?=?quantile(y,0.10)uq?=?quantile(y,0.90)#繪制數(shù)據(jù)plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t'abline(lq,0,col="blue")abline(uq,0,col="blue")

#模型估計數(shù)sum(?(lq?<=?y?)?&?(y?<=?uq)?)

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如果d未知。

令d取值為1,2,3，...，p。為每個d的潛在值估算TAR模型，然后選擇殘差平方和最小的模型。

Chan（1993）已證明，CLS方法是一致的。

最小AIC（MAIC）方法

由于在實踐中這兩種情況的AR階數(shù)是未知的，因此需要一種允許對它們進行估計的方法。對于TAR模型，對于固定的r和d，AIC變?yōu)?/p>

然后，通過最小化AIC對象來估計參數(shù)，以便在某個時間間隔內(nèi)搜索閾值參數(shù)，以使任何方案都有足夠的數(shù)據(jù)進行估計。

#估算模型#如果知道閾值#如果閾值尚不清楚#MAIC?方法for?(d?in?1:3)?{ ? ?if?(model.tar.s$AIC?<?AIC.best)?{ ? ? ? ?AIC.best?=?model.tar.s$AIC ? ? ? ?model.best$d?=?d ? ? ? ?model.best$p1?=?model.tar.sar.s$AIC,?signif(model.tar.s$thd,4)AICM

非線性測試

1.使用滯后回歸圖進行目測。

繪制Yt與其滯后。擬合的回歸曲線不是很直，可能表明存在非線性關(guān)系。

在[168]中：

lagplot(y)

2.Keenan檢驗：

考慮以下由二階Volterra展開引起的模型：

其中{?t} 的iid正態(tài)分布為零均值和有限方差。如果η=0，則該模型成為AR（mm）模型。

可以證明，_Keenan_檢驗等同于回歸模型中檢驗η=0：

其中Yt ^ 是從Yt-1，...，Yt-m上的Yt回歸得到的擬合值。

3. Tsay檢驗：

_Keenan_測試的一種更通用的替代方法。用更復(fù)雜的表達式替換為Keenan檢驗給出的上述模型中的項η（∑mj = 1?jYt-j）2。最后對所有非線性項是否均為零的二次回歸模型執(zhí)行F檢驗。

在[169]中：

#檢查非線性:?Keenan,?Tsay#Null?is?an?AR?model?of?order?1Keenan.test(y,1)

$test.stat90.2589565661567$p.value1.76111433596097e-15$order1

在[170]中：

Tsay.test(y,1)

$test.stat71.34$p.value3.201e-13$order1

4.檢驗閾值非線性

這是基于似然比的測試。

零假設(shè)是AR（pp）模型；另一種假設(shè)是具有恒定噪聲方差的p階的兩區(qū)域TAR模型，即σ1=σ2=σ。使用這些假設(shè)，可以將通用模型重寫為

零假設(shè)表明?2,0 = ?2,1 = ... = ?2，p = 0。

似然比檢驗統(tǒng)計量可以證明等于

其中n-p是有效樣本大小，σ^ 2（H0）是線性AR（p）擬合的噪聲方差的MLE，而σ^ 2（H1）來自TAR的噪聲方差與在某個有限間隔內(nèi)搜索到的閾值的MLE。

H0下似然比檢驗的采樣分布具有非標準采樣分布；參見Chan（1991）和Tong（1990）。

在[171]中：

res?=?tlrt(y,?p=1,?d=1,?a=0.15,?b=0.85)res

$percentiles14.185.9$test.statistic:?142.291963130459$p.value:?0

模型診斷

使用殘差分析完成模型診斷。TAR模型的殘差定義為

標準化殘差是通過適當?shù)臉藴势顦藴驶脑細埐睿?/p>

如果TAR模型是真正的數(shù)據(jù)機制，則標準化殘差圖應(yīng)看起來是隨機的?？梢酝ㄟ^檢查標準化殘差的樣本ACF來檢查標準化誤差的獨立性假設(shè)。

#模型診斷diag(model.tar.best,?gof.lag=20)

預(yù)測

預(yù)測分布通常是非正態(tài)的。通常，采用模擬方法進行預(yù)測。考慮模型

然后給定Yt = yt，Yt-1 = yt-1，...

因此，可以通過從誤差分布中繪制et + 1并計算h（yt，et + 1），來獲得單步預(yù)測分布的Yt + 1的實現(xiàn)。。

通過獨立重復(fù)此過程?B?次，您可以?從向前一步預(yù)測分布中隨機獲得B值樣本?。

可以通過這些B?值的樣本平均值來估計提前一步的預(yù)測平均值?。

通過迭代，可以輕松地將仿真方法擴展為找到任何l步提前預(yù)測分布：

其中Yt = yt和et + 1，et + 2，...，et + l是從誤差分布得出的ll值的隨機樣本。

在[173]中：

#預(yù)測model.tar.pred?r.best,?n.ahead?=?10,?n.sim=1000)y.pred?=?ts(clines(ts(model.tar.pred$pred.interval[2,],?start=end(y)?+?c(0,1),?freq=1),?lty=2)lines(ts(model

樣例

這里模擬的時間序列是1700年至1988年太陽黑子的年數(shù)量。

在[174]中：

#數(shù)據(jù)集#太陽黑子序列，每年plot.ts(sunsp

#通過滯后回歸圖檢查非線性lagplot(sunspo)

#使用假設(shè)檢驗檢查線性Keenan.test(sunspot.year)Tsay.test(sunspot.year)

$test.stat18.2840758932705$p.value2.64565849317573e-05$order9$test.stat3.904$p.value6.689e-12$order9

在[177]中：

#使用MAIC方法AIC{ ? ?sunspot.tar.s?=?tar(sunspot.year,?p1?=?9,?p2?=?9,?d?=?d,?a=0.15,?b=0.85) ? ?AICM

在[178]中：

#測試閾值非線性tl(sunspot.year,?p=9,?d=9,?a=0.15,?b=0.85)

$percentiles1585$test.statistic:?52.2571950943405$p.value:?6.8337179274236e-06

#模型診斷tsdiag(sunspot.tar.best)

#預(yù)測sunspot.tar.pred?<-?predict(sunspot.tar.best,?n.ahead?=?10,?n.sim=1000)lines(ts(sunspot.tar.pred$pretart=e

#擬合線性AR模型#pacf(sunspot.year)#嘗試AR階數(shù)9ord?=?9ar.mod?<-?arima(sunspot.year,?order=c(ord,0,0),?method="CSS-ML")plot.ts(sunspot.year[10:289]

模擬TAR模型上的AR性能

示例1.?將AR（4）擬合到TAR模型

set.seed(12349)#低機制參數(shù)i1?=?0.3p1?=?0.5s1?=?1#高機制參數(shù)i2?=?-0.2p2?=?-1.8s2?=?1thresh?=?-1delay?=?1nobs?=?200#模擬200個樣本y=sim(n=nobs,Phi1=c(i1,p1),Phi$y#使用Tsay的檢驗確定最佳AR階數(shù)ord?<-?Tsay.test(y)$order#線性AR模型#pacf(sunspot.year)#try?AR?order?4

例子2.?將AR（4）擬合到TAR模型

例子3.?將AR（3）擬合到TAR模型

例子3.?將AR（7）擬合到TAR模型

參考文獻

恩德斯（W. Enders），2010年。應(yīng)用計量經(jīng)濟學(xué)時間序列

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本文選自《R語言時間序列TAR閾值自回歸模型》。

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