【菲赫金哥爾茨微積分學(xué)教程精讀筆記Ep128】連續(xù)函數(shù)的復(fù)合
2020-11-28 19:36 作者:躺坑老碧的學(xué)習(xí)瞎記 | 我要投稿
今天看一個關(guān)于復(fù)合函數(shù)連續(xù)性的定理——
73連續(xù)函數(shù)的疊置
定理：
g（y）定義在區(qū)間Y內(nèi)，f（x）定義在區(qū)間X內(nèi)；
對于任意x∈X，有f（x）∈Y；
如果f（x）在x0∈X處連續(xù)，g（y）在y0=f（x0）∈Y處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)g（f（x））在x0處連續(xù)。
要證復(fù)合函數(shù)g（f（x））在x0處連續(xù)，即證對于任意小數(shù)ε>0，存在δ>0，當(dāng)0<|x-x0|<δ時，|g（f（x））-g（f（x0））|<ε；
如果g（y）在y0=f（x0）∈Y處連續(xù)，即對于任意小數(shù)ε>0，存在σ>0，當(dāng)0<|y-y0|=|f（x）-f（x0）|<σ時，|g（y）-g（y0）|=|g（f（x））-g（-f（x0））|<ε；
如果f（x）在x0∈X處連續(xù)，即對于2中給定小數(shù)σ>0，存在δ>0，當(dāng)0<|x-x0|<δ時，|f（x）-f（x0）|<σ；
結(jié)合2、3：對于任意小數(shù)ε>0，存在δ>0，當(dāng)0<|x-x0|<δ時，|g（f（x））-g（-f（x0））|<ε，即復(fù)合函數(shù)g（f（x））在x0處連續(xù)。
例子：x^u=e^（u*ln x）
x^u=e^（u*ln x），可以看做g（y）=e^y，y=f（x）=u*lnx的復(fù)合；
因?yàn)間（y）和f（x）都在R+上連續(xù)，所以x^u在R+上連續(xù)。
到這里！
標(biāo)簽：
