昨天偶然看到一個(gè)關(guān)于一個(gè)英語(yǔ)選詞填空關(guān)于期望計(jì)算的視頻（主要是吐槽）。因?yàn)楣P者在英語(yǔ)考試中就經(jīng)常會(huì)運(yùn)用一些數(shù)學(xué)知識(shí)，最簡(jiǎn)單的就是在不想寫(xiě)英語(yǔ)的時(shí)候，總是先做七選五，用通俗的話(huà)來(lái)講，就是七選五蒙對(duì)的概率比較小。

接下來(lái)先來(lái)看幾個(gè)考試中可能碰到的問(wèn)題，大概率在考試的時(shí)候可以提供一個(gè)參考。

（1，2涉及到的數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)于簡(jiǎn)單，不贅述計(jì)算過(guò)程）

1.普通單選題

這里以全國(guó)甲卷的英語(yǔ)聽(tīng)力部分為例，共1.5*20分，在考慮完全沒(méi)有聽(tīng)聽(tīng)力的情況下，選擇正確的概率為1/3，平均每題的期望分?jǐn)?shù)為0.5分，整個(gè)聽(tīng)力部分期望分?jǐn)?shù)為10分。這種情況比較罕見(jiàn)，下面考慮一種更加常見(jiàn)的情況。

在練念完該段聽(tīng)力之后，只排除了一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)（保證其絕對(duì)錯(cuò)誤）顯然期望分?jǐn)?shù)為0.75分，只增長(zhǎng)了0.25分，這在筆者看來(lái)是極不劃算的。

2.多選題

這里以全國(guó)甲卷的物理多選題為例，分為雙選及三選分別討論，但由于考試時(shí)并不知考題為雙選還是三選，所以現(xiàn)實(shí)意義不大。

3.七選五

這個(gè)是今天主要想要討論的，在筆者前面提到的某位up主那一期視頻中，其列出分布列使用了極為復(fù)雜的方法去研究與之類(lèi)似問(wèn)題。在讀小學(xué)的同學(xué)應(yīng)該都能猜到，七選五期望分?jǐn)?shù)為(5/7)*一道題對(duì)應(yīng)的分值（通常為2分），即(10/7)分。

不妨先用五選五算一下（不重復(fù)選某一選項(xiàng)），每題正確率1/5，期望正確題目為1題；用分布列檢驗(yàn)一下：

先遞推一下錯(cuò)排公式，D(1)=0,D(2)=1,D(3)=2,D(4)=9,D(5)=44（其實(shí)筆者不太熟悉通項(xiàng)公式，但是不可否認(rèn)錯(cuò)排的遞推公式也比較好用，這里不作贅述，以后可以抽個(gè)時(shí)間再水一篇專(zhuān)欄「啊不是」）

5道題答案全排列，120種

列出分布列，如下：

易證期望等于1。

那不妨再檢驗(yàn)一下，假設(shè)五選五第1題選錯(cuò)：

按照之前的方法，第1題選錯(cuò)，所以2~4題有一題必然錯(cuò)誤，其余三題正確率1/4，期望3/4。

注意到，第一題選對(duì)的概率為0.2，第一題選對(duì)的條件期望為2，所以第一題選錯(cuò)的條件概率也為3/4，符合富比尼原理。

總的來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)期望的累加，并不受到其獨(dú)立性的限制，上述例子中不同題目之間由于不重復(fù)選擇而相互糾纏，但并不影響其可加性。