【googology】遞增元序列IUN（下，3.5625難度）

2023-03-07 19:35 作者:3183丶4139 0人讀過 | 我要投稿

? ??遞增元序列?(Increase Unit Notation)，簡稱IUN，是我第一個完全原創(chuàng)的較為強大的記號。

????本文約11000字，大部分內(nèi)容是分析大小，講原理的部分相對不復(fù)雜，但難度同樣不低。

目錄：
1：概念與定義
2：1,2,2,2,3之前的序列
3：1,2,2,3，等于Γ?
4：序列中的ψ外殼
5：解鎖反射序數(shù)記號
6：IUN的極限
7：歷史和擴展

? ? 本文分為上中下三個部分，本部分為下，包含“IUN 的極限”、“歷史和擴展”兩個內(nèi)容，以及“解鎖反射序數(shù)記號”中M以后的部分。

5：解鎖反射序數(shù)記號（續(xù)）

? ? 1,2,3,2,3,4= $%CF%88(I(1%2C0%2C0))$

? ? 1,2,3,2,3,4,1,2,1,2,3,2,3,3,4,5,4,5,6,2=? ? ? ? ? ? ? ? ? $%CF%88(I(1%2C0%2C%CF%89))$ ，隨著第二個三項長的后繼元出現(xiàn)，更大的序數(shù)被折疊到序列ψ的深處。
????1,2,3,2,3,4,1,2,1,2,3,2,3,3,4,5,4,5,6,2,3=? ? ? ? ? ? $%CF%88(I(1%2C0%2C%CE%A9))$
????1,2,3,2,3,4,1,2,1,2,3,2,3,3,4,5,4,5,6,2,3,4,3,4,5= $%CF%88(I(1%2C0%2CI(1%2C0%2C0)))$
????1,2,3,2,3,4,1,2,1,2,3,2,3,3,4,5,4,5,6,3,4=? ? ? ? ? $%CF%88(I(1%2C1%2C0))$
????1,2,3,2,3,4,1,2,1,2,3,2,3,3,4,5,4,5,6,3,4,3,4,5,4,5,5,6,7,6,7,8= $%CF%88(I(1%2CI(1%2C0%2C0)%2C0))$
????1,2,3,2,3,4,1,2,1,2,3,2,3,4= $%CF%88(I(2%2C0%2C0))$ ，壞根是首項，所以展開式比較長，是1,2,3,2,3,4,1,2,1,2,3,2,3 3,4,5,4,5,6,3,4,3,4,5,4,5 5,6,7,6,7,8,5,6,5,6,7,6,7,...
????1,2,3,2,3,4,1,2,2= $%CF%88(I(%CF%89%2C0%2C0))$ ，現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)戰(zhàn)M： $%CF%88(M%CF%89)$
????用上M之后，1,2,3,2,3,4后面的運算就很明顯就是對M的運算。
????1,2,3,2,3,4,1,2,2,2,3= $%CF%88(%CE%A9_%7BM%2B1%7D)$
????1,2,3,2,3,4,1,2,3= $%CF%88(I_%7BM%2B1%7D)$
????1,2,3,2,3,4,1,2,3,2,3,3,4,5,4,5,6= $%CF%88(I(M%2C1))$
????1,2,3,2,3,4,1,2,3,2,3,4= $%CF%88(M_%7B2%7D)$
????1,2,3,2,3,4,2,3,3= $%CF%88(M(1%2C0))$
????1,2,3,2,3,4,2,3,4= $%CF%88(M(1%2C0%2C0))$ =? ? ? ? ? ? ? ? ? $%CF%88(M(1%3B0))$
????1,2,3,2,3,4,2,3,4,3= $%CF%88(M(%CF%89%3B0))$ ，注意不是1,2,3,2,3,4,3
????1,2,3,2,3,4,2,3,4,3,4,5= $%CF%88(M(1%3B0%3B0))$
????1,2,3,2,3,4,3= $%CF%88(M(1%3B%40%CF%89))$
????1,2,3,2,3,4,3,4,5= $%CF%88(K)$

????后面的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，但是應(yīng)該可以看出來，三項的后繼元，它的行為和M記號是十分相似的。因此完全可以用M記號做后面的分析，直到1,2,3,4。為了區(qū)分M記號和一般的M，這里用 $%CF%88_%CE%BC(%5C%20%5C%20)$ 表示，同時省略最外層ψ。
????1,2,3,2,3,4= $%CF%88_%CE%BC(M%5EM)$
????1,2,3,2,3,4,1,2,3,2,3,4= $%CF%88_%CE%BC(M%5EM2)$
????1,2,3,2,3,4,2,3,3= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%2B1%7D)$
????1,2,3,2,3,4,2,3,4= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM2%7D)$
????1,2,3,2,3,4,2,3,4,3,4,5= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5E2%7D)$
????1,2,3,2,3,4,3= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5E%CF%89%7D)$
????1,2,3,2,3,4,3,4,5= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5EM%7D)$ ，那么
????1,2,3,2,3,4,3,4,5,2,3,3= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5EM%2B1%7D)$
????1,2,3,2,3,4,3,4,5,2,3,4= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5EM%2BM%7D)$
?1,2,3,2,3,4,3,4,5,2,3,4,3,4,5,4,5,6= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5EM2%7D)$
????1,2,3,2,3,4,3,4,5,3,4,4= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5E%7BM%2B1%7D%7D)$
????1,2,3,2,3,4,3,4,5,3,4,5= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5E%7BM2%7D%7D)$
?1,2,3,2,3,4,3,4,5,3,4,5,4,5,6,5,6,7= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5E%7BM%5E2%7D%7D)$
????1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6= $%CF%88_%CE%BC(M%5E%7BM%5E%7BM%5EM%7D%7D)$

????1,2,3,3= $%CF%88_%CE%BC(M%E2%86%91%E2%86%91%CF%89)$
????1,2,3,3,3= $%CF%88_%CE%BC(M%E2%86%91%E2%86%91(%CF%892))$
????1,2,3,3,4,5,5= $%CF%88_%CE%BC(M%E2%86%91%E2%86%91%CF%88_%CE%BC(M%E2%86%91%E2%86%91%CF%89))$

????1,2,3,4=LSP，哦不，是 $LSO$ （為什么鍵盤上P和O要挨得那么近）

6：IUN的極限

????在1,2,3,4之后，分析越來越困難，存在1,2,3,4,1,2,2,3,4,5，1,2,3,4,1,2,2,3,4,4,5,6,7，1,2,3,4,1,2,3,3,4,5,6等多種嵌套方式，這讓1,2,3,4,1,2,3,4等于 $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%973)-%CE%A0_0)$ ：

????1,2,3,4,1,2,3=
$%CF%88(%CE%A0_%7B2%5C%201-2%7D%5C%20after%5C%20(%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972)-%CE%A0_0)$
????1,2,3,4,1,2,3,3,4,5,6=
$%CF%88(2nd%5C%20(%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972)-%CE%A0_0)$
????1,2,3,4,1,2,3,3,4,5,6,2=
$%CF%88(%CE%A0_1((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972)-%CE%A0_0))$
? ? 1,2,3,4,1,2,3,3,4,5,6,2,3,4,4,5,6,7=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972)-%CE%A0_0((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972)-%CE%A0_0))$
????1,2,3,4,1,2,3,3,4,5,6,3,4,5=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972)-%CE%A0_1)$
????1,2,3,4,1,2,3,3,4,5,6,3,4,5,5=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972%2B1)-%CE%A0_0)$
????1,2,3,4,1,2,3,3,4,5,6,3,4,5,5,6,7,8=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972%2B(%CE%BB%CE%B2.%CE%B2%C3%972)-%CE%A0_0)-%CE%A0_0)$
????1,2,3,4,1,2,3,4= $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%973)-%CE%A0_0)$
? ? 1,2,3,4,2= $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%97%CF%89)-%CE%A0_0)$

????從現(xiàn)在開始，后面的分析越來越具有推測性

????1,2,3,4,2,3,2,3,4,5=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%97(%CE%BB%CE%B2.%CE%B2%C3%972)-%CE%A0_0)-%CE%A0_0)$
????1,2,3,4,2,3,3= $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%5E2)-%CE%A0_0)$
????1,2,3,4,2,3,3,4,5,5,6,7,8=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%5E%7B(%CE%BB%CE%B2.%CE%B2%C3%972)-%CE%A0_0%7D)-%CE%A0_0)$
????1,2,3,4,2,3,3,4,5,6= $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%5E%CE%B1)-%CE%A0_0)$
????1,2,3,4,2,3,4=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B5_%7B%CE%B1%2B1%7D)-%CE%A0_0)%3D%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1(%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D))-%CE%A0_0)$ ，其中 $%CF%88_%CE%B1$ 是 $%CF%88_%7B%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D%7D$ 的縮寫，這和BO之前的ψ是一致的。
????在前面，1,2,3一般表現(xiàn)I的性質(zhì)，但是在M記號中，ψ(M)實際上是Ω；在1,2,3,4之后，1,2,3這種三項的后繼元在 $%CF%88_%CE%B1$ 中表現(xiàn)出了原本Ω的特征。
????1,2,3,4,2,3,4,2,3,3,4,5,6=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CE%B5_%7B%CE%B12%7D)-%CE%A0_0)%3D%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1(%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D%CE%B1))-%CE%A0_0)$
????1,2,3,4,2,3,4,2,3,3,4,5,6,4,5,6=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1(%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D%5E2))-%CE%A0_0)$
????1,2,3,4,2,3,4,2,3,4=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1(%CE%A9_%7B%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D%2B1%7D))-%CE%A0_0)$ = $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1(%CE%A0_2%5C%20after%5C%20%CE%B1))-%CE%A0_0)$
????1,2,3,4,2,3,4,3,4,5=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1(M_%7B%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D%2B1%7D))-%CE%A0_0)$ = $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1(%CE%A0_%7B2-2%7D%5C%20after%5C%20%CE%B1))-%CE%A0_0)$
????1,2,3,4,2,3,4,4=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1(%CE%A0_%7B%CF%89%7D%5C%20after%5C%20%CE%B1))-%CE%A0_0)$
????1,2,3,4,2,3,4,4,5,6,7=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%CE%B1((%CE%BB%CE%B1.%CE%B1%C3%972)-%CE%A0_0%5C%20after%5C%20%CE%B1))-%CE%A0_0)$
????1,2,3,4,2,3,4,5= $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.(%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D)-%CE%A0_0)$

????在α形成admissable之后，后面會形成無數(shù)個admissable點，這讓1,2,3,4,3才到 $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.(%CE%A9_%7B%CE%B1%2B2%7D)-%CE%A0_0)$ ，其中1,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6在
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.%CF%88_%7B%2B%2B%7D(%CF%88_%7B%2B%2B%7D(%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D)%5C%20after%5C%20%CE%A9_%7B%CE%B1%2B1%7D))-%CE%A0_0)$ 附近。

????于是1,2,3,4,3,3,4=1,2,3,4,3,3,3,3,3,...達到ω-dropping的級別，就是SDO=
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.(%CE%A9_%7B%CE%B1%2B%CF%89%7D)-%CE%A0_0)$ ；1,2,3,4,3,4,4,5,6,7則到了LDO= $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.(%CE%A9_%7B%CE%B12%7D)-%CE%A0_0)$

????1,2,3,4,3,4,5,5，到達第一個偽偽2-π-Π?點，即 $%CF%88((%CE%BB%CE%B1.((%CE%BB%CE%B2.%CE%B2%2B1)-%CE%A0_0%5C%20after%5C%20%CE%B1)-%CE%A0_0)$
????1,2,3,4,3,4,5,6則是
$%CF%88((%CE%BB%CE%B1.((%CE%BB%CE%B2.%CE%B2%C3%972)-%CE%A0_0%5C%20after%5C%20%CE%B1)-%CE%A0_0)$

????1,2,3,4,4，到了真正的 $%CF%88(2-%CF%80-%CE%A0_0)$

????由于我對這之后的序數(shù)完全不了解，我也無法推斷在1,2,3,4,4之后是否會出現(xiàn)削弱的現(xiàn)象；如果沒有這個現(xiàn)象，IUN的極限就是LRO，即 $%CF%88(psd.%CF%89-%CF%80-%CE%A0_0)$ 。

7：歷史和擴展

????和創(chuàng)造于2022.11.23的KP序列不同，IUN誕生的時間要早得多，早在2020年11月，IUN的最初雛形——THIAS，就已出現(xiàn)。

????2020.11，看到了Y序列的強大之后，我想定義一個序列，于是THIAS誕生（沒有全稱）
????2020.12，開始嘗試寫THIAS的定義，并確定其極限為BO（當(dāng)時我把我創(chuàng)造的很多記號都分析過大了，如實際上不到Ω3的THIAF被分析到ω-dropping；但是THIAS沒有）
????2021.1月底，THIAS定義完成，但bug很多，逐漸分析不動然后放棄

????然后再沒接觸過THIAS

????2022.11.12，在b-THIAN完成得差不多時，開始重拾THIAS，改名為IUN（Increase Unit Notation），現(xiàn)稱為舊IUN
????接下來略微改良了定義
????2022.11.23，再次確定舊IUN極限為BO，然后又暫停發(fā)展（因為我發(fā)現(xiàn)了KD序列）

????2023.2月初，我再次改良舊IUN的定義，引入“單首”“單尾”“后繼元”等概念，但是失敗了，極限仍然是BO
????2023.2.19，IUN改名為DIUN，引入階差，但是這個階差可以是0；成功讓1,2,2,3,1,2,2,2,3等于BHO
????2023.2.20，調(diào)換同大小遞增元的比較規(guī)則（改為表示相同序數(shù)的遞增元，越長越高級）

????2023.2.21，正式將后繼元作為IUN的核心，并將強度提升到I以上，確定為新IUN
????2023.2.22，重新引回遞增元，但作用大幅削減，極限可能達到LRO
????2023.2.25，我首次嘗試寫計算機程序的展開規(guī)則，IUN的C程序定義完成
????在這之后，大部分內(nèi)容都是微調(diào)，修bug

????2023.2.28，IUN的弱化記號SIUN(Single IUN)出現(xiàn)，極限是1,2,3,4,5,...=BO
????2023.3.2，IUN的強化記號HIUN(Hierarchical IUN)出現(xiàn)，還未分析完成
????其實在IUN展開規(guī)則整理上，涉及了一點點BSMS(by HypCos)的基本列的理解，不完全是真正的100%原創(chuàng)，但遞增元、后繼元等概念是在我看BSMS之前提出的，展開規(guī)則也與BSMS完全無關(guān)。

????IUN尋找壞根的核心，是在表達式中找到1個待壞項（簡記作1-preb），或者找到連續(xù)2個等差的后繼元組（簡記作2-dsg）。
????那么是否存在2-preb 3-dsg的記號呢？這個假想的記號稱為TIUN(Triple IUN)，它的1,2,2就是ε?，1,2,2,2,2,3是BHO；為什么這個記號停留在假想階段，這個稍后再說。
????原始序列PrSS的極限是ε?，即 $PTO(%CE%A0%5E1_0-CA_0)$ ；IUN的極限是LRO，即 $PTO(%CE%A0%5E1_2-CA_0)$ ；那么是否存在一個極限是 $PTO(%CE%A0%5E1_1-CA_0)$ ，也就是BO的類似記號呢？
????在這個想法下，遞增單單元序列，SIUN誕生了。SIUN尋找壞根的核心，是把所有的后繼元首項提取出來，用類似于找“父項”的方式，找到相鄰兩項只相差1的位置，其中的后一項就是壞根。以下為SIUN的部分分析：

? ? 因為兩個數(shù)字根本不能構(gòu)成等差數(shù)列，所以真正意義上的0-preb?1-dsg記號不存在，取而代之的就是SIUN。于是，0-preb?0-dsg的PrSS，0-preb?1-dsg的SIUN，1-preb?2-dsg的IUN，可以連起來了。但是單純地增大preb和dsg的數(shù)字并不是真正的理想狀態(tài)，因為這樣擴展永遠只能是一個固定值，那么怎么樣能讓這個數(shù)字能隨著表達式的變大而變大呢？

????這項任務(wù)，被我交給了末后繼元，讓末后繼元的項數(shù)來決定使用哪種IUN變體。把末后繼元的項數(shù)記為D，這個新的擴展序列將使用(D-2)-preb?(D-1)-dsg這種方式，名字叫級層遞增元序列，HIUN。有了HUIN，還要TIUN干什么呢？

????根據(jù)目前的分析，HIUN的1,2是ω，1,2,3是ε?，1,2,3,4是BO，1,2,3,4,5很可能是LRO，如果真的能按這個規(guī)律延續(xù)下去的話，強度是相當(dāng)可觀的（當(dāng)然大概率不會這樣）。

????HIUN的待壞項更復(fù)雜，要分末后繼元是否為單項，如果是，還要找到首項比它小的后繼元；然后除了一階待壞項是這個后繼元去掉末項，高階的待壞項既可以是低階待壞項每一項減1，又可以是低階待壞項去掉末項；并且待壞項至少是2項，最高階的待壞項是1,2。SIUN后期的找后繼元首項的方式不再使用，因為純SIUN的模式僅限1,2,3之前，而這里，規(guī)則與PrSS幾乎完全相同。

????目前HIUN還在研究中，敬請期待。

附：關(guān)于KP系列序列的高估

????2月9日，我投稿了《KPnd序列介紹》其中說KPnd的強度與ω-Y相當(dāng)，但我最近在評論區(qū)中說到，KPnd的極限僅在1-Y(1,3,4,6)附近。在我寫那篇文章的時候，我實際上是低估了Y序列，即認為1,3,4,3=1,3,4,2,5,6,4,9,10,8,17,18,...，而實際上1,3,4,3=1,3,4,2,5,9,4,9,18,8,17,35,...，前者僅是1,3,4,2,5,6,5。這樣，Y(1,3,4,3)已經(jīng)相當(dāng)于KPnd(1,2,5)，而Y序列的類似行為還會在1,3,4,6之前出現(xiàn)無數(shù)次。

? ? 同時，類似于0-Y的一維階差可以表示為ω行BMS，我把Y序列的二維階差，表述成了“ω2行BMS”，盡管加了引號，但在大多數(shù)人眼中，引號貌似可以直接忽略，而我認為引號能表達一定的特殊含義，不能忽略；因此可能對一些讀者傳播了錯誤信息。

????如果僅僅是犯了這么一個錯誤，可能也不會造成什么影響；但是在那一篇僅僅136瀏覽（這136包括我自己,小號,家人,親戚,同學(xué)等）的文章中，還包含了很多googology大佬，雖然是他們糾正了我的錯誤，但是在某社交軟件上，可能對我有不好的印象了。希望他們能原諒我吧。

????在認識到Y(jié)序列的這一點后，我也不再想擴展某個現(xiàn)有的記號了，因為我沒有足夠的實力去面對這樣的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。所以，我重新找回我曾經(jīng)原創(chuàng)的記號IUN，對它加以更改，從穩(wěn)定序數(shù)的開頭，一點點往上爬。

標簽：數(shù)學(xué)數(shù)列序列大數(shù)序數(shù)大數(shù)數(shù)學(xué)googology

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【googology】遞增元序列IUN（下，3.5625難度）

5：解鎖反射序數(shù)記號（續(xù)）

6：IUN的極限

7：歷史和擴展