老黃的高數(shù)作品是一個(gè)系列的，已經(jīng)寫(xiě)了兩百多篇作品，它們都是有連續(xù)，不是孤立的。但每篇文章的內(nèi)容又都是獨(dú)立完整的。

上兩篇作品老黃推導(dǎo)了“以e為底的指數(shù)函數(shù)乘正弦正整數(shù)冪”的不定積分公式。對(duì)應(yīng)的視頻作品是《老黃學(xué)高數(shù)》第286講和第287講的內(nèi)容。視頻作品只在對(duì)老黃開(kāi)放專欄權(quán)限的平臺(tái)發(fā)布。

這篇文章準(zhǔn)備把公式推廣到“以e為底的指數(shù)函數(shù)乘余弦正整數(shù)冪”的不定積分公式。

探究：Jn(a,b)=∫e^(ax)*(cosbx)^ndx (n∈N*)的不定積分公式.

只要利用以三個(gè)公式：(最后進(jìn)行了換元u=x+π/(2b))

sin(bx+π/2)=sin(b(x+π/(2b)))=sinbu;

e^(ax)=e^(a(x+π/(2b))-aπ/(2b))=e^(-aπ/(2b))*e^(a(x+π/(2b)))=e^(-aπ/(2b))*e^(au);

dx=d(x+π/(2b))=du.

就可以把原積分化為：e^(-aπ/(2b))*∫e^(au)*(sinbu)^ndu.?這是“以e為底的指數(shù)函數(shù)乘正弦正整數(shù)冪”的不定積分，應(yīng)該上面的公式，就可以轉(zhuǎn)化出“以e為底的指數(shù)函數(shù)乘余弦正整數(shù)冪”的不定積分公式了。

順帶還求了J1(a,b)=∫e^x*cosxdx的結(jié)果。利用剛推出來(lái)的公式解兩道例題：

例1：求∫e^(2x)*(cos3x)^4dx.

例2：求∫e^(3x)*(cos2x)^5dx.

有了老黃推導(dǎo)的公式，解決起來(lái)很簡(jiǎn)便。就是運(yùn)算的過(guò)程出錯(cuò)的概率挺高的。所以都要檢驗(yàn)，那才是真正麻煩的地方。

探究正弦相關(guān)的公式時(shí)，老黃是從特殊到一般的。這里老黃要從一般到特殊，反推當(dāng)參數(shù)a=b=1時(shí)的不定積分公式。如下：

這是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的過(guò)程。將a=b=1代入普通的公式就可以了。同時(shí)還可以求出J1=∫e^x*cosxdx的結(jié)果.?用這組特殊公式解兩道例題：

例3：求∫e^x*(cosx)^6dx.

例4：求∫e^x*(cosx)^7dx.

這種特殊情形下的不定積分就更容易解了。因?yàn)檫@類不定積分的主要麻煩來(lái)自參數(shù)a,b的形式的變化。最后將這里推導(dǎo)的公式組織如下：

總有人問(wèn)老黃，推這些公式有什么用。首先，老黃不是因?yàn)橛杏貌磐茖?dǎo)的。學(xué)習(xí)就是為了學(xué)習(xí)才叫學(xué)習(xí)。探究也只是為了探究才叫探究。你沒(méi)用，不代表別人沒(méi)用?，F(xiàn)在沒(méi)用也不代表將來(lái)沒(méi)用。當(dāng)你提出“它有什么用”的問(wèn)題時(shí)，對(duì)你來(lái)說(shuō)，就沒(méi)有什么用了。