從此處開(kāi)始，我們將開(kāi)始闡述最后一個(gè)數(shù)獨(dú)技巧的理論部分：沒(méi)辦法的辦法（Last Resort）。它們一般是在學(xué)習(xí)的技巧都無(wú)法完成解題后，產(chǎn)生的一大數(shù)獨(dú)技巧。它們一般毫無(wú)邏輯可言，或者說(shuō)邏輯層面來(lái)講，不適合人腦的思維和觀察，諸如后續(xù)會(huì)介紹到的回溯法（Backtracking for Sudoku）。不過(guò)，這一類(lèi)題目在比賽和其他的很多時(shí)候，使用起來(lái)可能比起相對(duì)于人腦可接受的邏輯技巧而言要好使一些，所以也受到競(jìng)賽流派的玩家喜愛(ài)。

當(dāng)然了，這類(lèi)技巧的使用與否，取決于你的目的。如果你只是為了完成題目呢，就不用過(guò)于在意技巧；而如果你想享受做題的過(guò)程，請(qǐng)盡量使用邏輯層面的技巧來(lái)解題。

Part 1?使用邏輯

我們要闡述一種無(wú)邏輯技巧：試數(shù)法（Bowman's Bingo）。它的使用比較輕松。

1-1?類(lèi)似于鏈的基礎(chǔ)使用方式

如圖所示，我們隨意設(shè)定一點(diǎn)的填數(shù)為真，比如這里設(shè)定r4c2 = 2為真，然后順次可以發(fā)現(xiàn)r6c3 = 8、r6c9 = 5、然后使用r6c9 = 5對(duì)r3作排除，可以得到r4c6 = 5，然后對(duì)r5作排除，得到r5c1 = 5，于是r5內(nèi)只有r5c2可以填3，于是r5c2 = 3。

隨機(jī)發(fā)現(xiàn)c2，發(fā)現(xiàn)c2內(nèi)1沒(méi)有填數(shù)位置了。所以矛盾，因此最開(kāi)始的假設(shè)是錯(cuò)誤的，即應(yīng)當(dāng)是r4c2 <> 2。

這一幅圖，是剛才的試數(shù)的填數(shù)顯示過(guò)程，你可以仔細(xì)看一下。

我們?cè)賮?lái)看一則示例。

1-2?帶有技巧結(jié)構(gòu)的試數(shù)推導(dǎo)過(guò)程

如圖所示，我們嘗試假設(shè)r1c8 = 5，就會(huì)順著箭頭發(fā)現(xiàn)3、4、9的三數(shù)組結(jié)構(gòu)，由于r1c8 = 5和三數(shù)組的關(guān)系，r3c8不能再放下5和3、4，所以r3c8只能填入8。

接著我們繼續(xù)向下試數(shù)。得到r3c8 = 8后，我們就會(huì)按照箭頭依次得到r3c4 = 6、r4c4 = 2，于是r4c89構(gòu)成3、4的顯性數(shù)對(duì)。

此時(shí)配合最初的三數(shù)組就可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)四個(gè)單元格只有3、4、9三種候選數(shù)，顯然是不夠填的，所以出現(xiàn)矛盾，故原本的假設(shè)錯(cuò)誤，即r1c8 <> 5。

1-3 試數(shù)UR

下面我們來(lái)看看試數(shù)的UR結(jié)構(gòu)。

如左圖所示，我們假設(shè)r3c9 = 5，則r3c8 = 2，于是根據(jù)兩個(gè)填數(shù)結(jié)論共同得到r3c2 = 4，于是r2c2 = 5。此時(shí)觀察b2，發(fā)現(xiàn)b2此時(shí)只有r1c5可以放4，所以r1c5 = 4，于是根據(jù)r1c5和r3c2都填入的4得到b3的4的位置只能在r2c9。你也可以結(jié)合右圖的推導(dǎo)過(guò)程來(lái)進(jìn)行分析。

但發(fā)現(xiàn)，由于假設(shè)r3c9 = 5，得到了r23c29構(gòu)成了關(guān)于4和5的UR的致命形式，所以假設(shè)錯(cuò)誤，故r3c9 <> 5。

這一則示例是配合了試數(shù)和直推的邏輯進(jìn)行UR的論證，所以稱(chēng)為試數(shù)UR。

Part 2 試數(shù)轉(zhuǎn)鏈

當(dāng)然了，有一部分簡(jiǎn)單的試數(shù)法，可以修改為鏈寫(xiě)法。

如圖所示，這就是剛才的試數(shù)法的鏈寫(xiě)法?？梢钥吹降氖?，實(shí)際上它被轉(zhuǎn)換為了一個(gè)不連續(xù)環(huán)。不過(guò)第二則示例想要改成試數(shù)，就有點(diǎn)棘手了：因?yàn)榧僭O(shè)r1c8 = 5的時(shí)候，需要借用這個(gè)假設(shè)才能得到r3c8的填數(shù)結(jié)論，相當(dāng)于多出了一個(gè)分支，但分支不長(zhǎng)。如果畫(huà)成動(dòng)態(tài)鏈，會(huì)有些“小題大做”。

Part 3 鏈和試數(shù)的異同

很多人在看了鏈這種技巧之后，發(fā)現(xiàn)它越發(fā)是試數(shù)，于是就有讀者會(huì)考慮，鏈?zhǔn)遣皇蔷褪且环N特殊的試數(shù)過(guò)程呢？其實(shí)不然。

我們回顧一下試數(shù)的過(guò)程：試數(shù)是隨機(jī)找點(diǎn)，假設(shè)為真，然后一格一格向單元格內(nèi)推導(dǎo)填數(shù)，最終發(fā)現(xiàn)類(lèi)似于“同一區(qū)域內(nèi)有相同的數(shù)字出現(xiàn)”、“同一區(qū)域內(nèi)沒(méi)有某個(gè)數(shù)字可以填入”、“某一個(gè)單元格沒(méi)有數(shù)字可填”、“某一個(gè)單元格同時(shí)填入兩個(gè)數(shù)”之類(lèi)的矛盾，從而推翻原定假設(shè)的過(guò)程。

我們?cè)倩仡櫼幌骆湹倪^(guò)程：鏈也是隨機(jī)找點(diǎn)，假設(shè)為假，然后按照真假性依次推理（注意，鏈的中途是可以插入其他技巧的，相鄰的節(jié)點(diǎn)可以同真假，并且是以候選數(shù)為單位），最終得到某個(gè)相同的數(shù)為真，或者是同一區(qū)域下的另外一個(gè)數(shù)為真，從而刪除頭尾的交集的過(guò)程。

它們相同點(diǎn)在于，試數(shù)和鏈都使用真假來(lái)推導(dǎo)，而不同的是，試數(shù)可以發(fā)散尋找。也就是說(shuō)，試數(shù)在某個(gè)情況下，不僅只按照“一條路試到尾”的過(guò)程，還可以按照兩個(gè)甚至多個(gè)方向試數(shù)，在方向上靈活性很強(qiáng)；而鏈雖然有動(dòng)態(tài)鏈形式，但鏈最初的結(jié)構(gòu)，僅僅只是為了一個(gè)方向上進(jìn)行假設(shè)和推導(dǎo)的。但是，由于鏈的節(jié)點(diǎn)是以候選數(shù)為單位的，所以推導(dǎo)的時(shí)候必然可以非常靈活。任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)可以同真、同假或是一真一假。

試數(shù)的過(guò)程可以任意進(jìn)行擴(kuò)散，但如果題目稍難，試數(shù)就變得非常困難和復(fù)雜。而且，目前在出題層面上，有一種消去后門(mén)機(jī)制（Backdoor Deletion），可以去掉里面稱(chēng)為“后門(mén)”的東西，防止題目在找到這樣的“后門(mén)”后，使得題目大大降低難度。而鏈就很好地避免了這一點(diǎn)。鏈?zhǔn)呛蜻x數(shù)層面的推導(dǎo)，只要避免“后門(mén)”出現(xiàn)在某種技巧的刪數(shù)結(jié)論下，就完全可以避免試數(shù)成功。

之所以產(chǎn)生動(dòng)態(tài)鏈，是因?yàn)樵阪湹耐茖?dǎo)過(guò)程之中，一個(gè)方向上的推導(dǎo)已經(jīng)無(wú)法完整得到刪數(shù)了，此時(shí)將借助兩個(gè)、甚至多個(gè)方向上的情況來(lái)導(dǎo)致矛盾。所以，強(qiáng)制鏈、動(dòng)態(tài)鏈都不是試數(shù)。但是，試數(shù)和鏈?zhǔn)强梢缘葍r(jià)轉(zhuǎn)化的。這也就是說(shuō)，鏈可以轉(zhuǎn)化為試數(shù)過(guò)程；而試數(shù)，也可以轉(zhuǎn)化為鏈的寫(xiě)法?？蛇@并不代表它們就是一個(gè)東西，推導(dǎo)層面、方式和證明手段的不同就決定了兩種東西的本質(zhì)區(qū)別。

鏈非常容易觀察。因?yàn)殒湹膹?qiáng)弱關(guān)系決定了兩個(gè)數(shù)字之間具有什么樣的位置關(guān)系和填數(shù)關(guān)系，畢竟鏈?zhǔn)且粭l路到頭的推導(dǎo)。

最后，在計(jì)算機(jī)編程過(guò)程之中，這樣的試數(shù)過(guò)程會(huì)被簡(jiǎn)化為從r1c1開(kāi)始按從左到右、從上到下的順序依次試數(shù)，直到推導(dǎo)出矛盾之后，原假設(shè)為假。這樣的過(guò)程稱(chēng)之為回溯法（Backtracking），有些地方也被稱(chēng)為阿里阿德涅之線(xiàn)（Ariadne's Thread）。我們之后會(huì)介紹到。

后門(mén)分兩種，一種是魔術(shù)格（Magic Cell），指的是數(shù)獨(dú)盤(pán)面里，如果得到某單元格的填數(shù)，就能把一道難題的難度大幅度降低，那么這個(gè)單元格就叫做魔術(shù)格；另外一種，則是針對(duì)于候選數(shù)層面的“魔術(shù)候選數(shù)”，不過(guò)這個(gè)說(shuō)法類(lèi)比于魔術(shù)格可以理解：如果某個(gè)候選數(shù)的真假結(jié)論被得到，就能大幅度降低題目的難度的話(huà)，那么這個(gè)候選數(shù)就可以稱(chēng)為所謂的“魔術(shù)候選數(shù)”。不過(guò)術(shù)語(yǔ)里并沒(méi)有這個(gè)詞，只是用于類(lèi)比和描述它罷了。

Part 4?帶有試數(shù)思想的鏈

當(dāng)然了，因?yàn)樵嚁?shù)比起鏈來(lái)說(shuō)，要好觀察一些，所以這樣的思想往往還被用于鏈之中。

如圖所示，我們不標(biāo)注出鏈的寫(xiě)法。這里簡(jiǎn)單闡述一下邏輯。

我們?cè)O(shè)定鏈頭r8c9 <> 2，于是可以得到r78c9的7、9數(shù)對(duì)，于是得到r1c9只能填8，于是r1c4 = 1；于是r4c4 <> 1后，發(fā)現(xiàn)r4出現(xiàn)2、3、6、7的四數(shù)組結(jié)構(gòu)。所以r4c8 = 1。

而剛才試數(shù)的過(guò)程之中，我們得到了r1c9 = 8，并且由于r4c8 = 1，所以r3c8不能填1、不能填8、只能填2，所以我們就得到了r8c9 <> 2時(shí)，r3c8 = 2，于是形成思路鏈條，刪掉它們兩格的交集的2，圖中即r23c9和r9c8的2，都是可以刪掉的。

這樣的思維，基本的邏輯是鏈的假設(shè)，在中間插入了試數(shù)的風(fēng)格，所以稱(chēng)為帶有試數(shù)思想的鏈；當(dāng)然了，反過(guò)來(lái)就稱(chēng)為帶有鏈思想的試數(shù)法，不過(guò)我們就不作出介紹了。