小姚老師 | 2-1-2 函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

1??單調(diào)性與奇偶性的判斷

1. 單調(diào)性的運(yùn)算結(jié)論：若函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則

①在區(qū)間D上，若a>0，則af(x)與f(x)單調(diào)性相同；若a<0，則 af(x)與f(x)單調(diào)性相反

②若f(x)和g(x)單調(diào)性相同，則f(x)+g(x)的單調(diào)性與它們相同

③f(x)>0，g(x)>0，且f(x)和g(x)單調(diào)性相同，則f(x)g(x)的單調(diào)性與它們相同

2. 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷準(zhǔn)則：同增異減

3. 奇函數(shù)的性質(zhì)：①f(-x) =-f(x)；②圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；若x=0處有定義，則f(0)=0

4. 偶函數(shù)的性質(zhì)：f(-x) =f(x)；②圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

5. 常見的幾個(gè)奇函數(shù)

6. 奇偶性加減法結(jié)論：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶

• f(x)，g(x)≠0

7. 奇偶性乘除法結(jié)論：奇×奇=偶；奇×偶=奇；偶x偶=偶

8. 無(wú)論y= f(x)是什么函數(shù)，函數(shù)y=f(|x|)和y=f(-|x|)都是偶函數(shù)

9. 若y=f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則函數(shù)y=|f(x)| =偶函數(shù)

10. 多項(xiàng)式函數(shù)f(x)=a? +a?x +a?x2 +… +a?x?的奇偶性：

• ①當(dāng)且僅當(dāng)a? =a? = a? =…=0時(shí)，f(x)為奇函數(shù)；
• ②當(dāng)且僅當(dāng)a? =a? = a?=…=0時(shí)，f(x)為偶函數(shù)

單調(diào)性奇偶性判斷小題

• 單調(diào)性
• ①圖像
• ②單調(diào)性運(yùn)算結(jié)論
• ③復(fù)合函數(shù)口訣
• ④導(dǎo)數(shù)
• 奇偶性
• ①定義域與圖像
• ②特殊值檢驗(yàn)
• ③恒等式

【例1】（2021·新課標(biāo)Ⅱ卷）下列函數(shù)中是增函數(shù)的是

A. f(x) = -x【減函數(shù)】

B. f(x) = (2/3)?【減函數(shù)】

C. f(x) = x2【先減后增】

D. f(x) = 3√x

用定義域和f(0)檢驗(yàn)

• A：f(0) =ln2
• B：剛才背過(guò)的模型，或用f(-x) =-f(x)
• C：剛才背過(guò)的模型，或用f(-x) =-f(x)
• D：畫圖

奇偶性：

• 特殊值：f(1)和f(-1)或者用恒等式

單調(diào)性：

• B有范圍，算定義域的范圍，正的可以脫絕對(duì)值
• 復(fù)合函數(shù)同增異減。分母遞減，整體就遞增
• D是負(fù)的，拖括號(hào)帶負(fù)號(hào)，分離常數(shù)

2??根據(jù)奇偶性求參數(shù)的值

①定義域與圖像

②特殊值檢驗(yàn)

③恒等式

法一：特殊值

• f(1)=f(-1)
• 對(duì)數(shù)相減=真數(shù)相除

法二：恒等式

• f(-x) =f(x)

法一：特殊值

• f(1) =-f(-1)

法二：恒等式

• f(-x) =-f(x)
• 合并同類項(xiàng)，提取公因式

法一：特殊值

• 奇函數(shù)，f(1)沒(méi)有意義，那么f(-1)沒(méi)有意義
• 直接解出a=-1/2
• f(0) =0 b=-ln|1/2| =ln2

法二：恒等式

• f(-x) =-f(x)
• 簡(jiǎn)單移項(xiàng)，需要定值=0

3??奇函數(shù)+常數(shù)結(jié)論

對(duì)稱中心（0，a）

f(x) +f(-x) =2a

fmax +fmin =2a

中點(diǎn)坐標(biāo)公式

中點(diǎn)坐標(biāo)公式

換底公式，真數(shù)指數(shù)往前提

分離常數(shù) +奇函數(shù)/偶函數(shù)=奇函數(shù)

4??函數(shù)值不等式的解法

條件：

• ①已知函數(shù)f(x)的解析式；
• ②已知f(x)滿足的一些性質(zhì)

目標(biāo)：

• f(☆) >f(△) 或f(☆)+f(△)

方法：

• ①畫草圖
• ②利用單調(diào)性，奇偶性

增函數(shù)

2 ≥x >2x-1 ≥-2

畫圖像，增函數(shù)

分段函數(shù)不連增，分段討論

2a-1 <a：a<1

反面：0≤ 2a-1 ≤1 且0≤a≤1

• 取反后是：a<1/2 或a>1

取公共部分，a<1/2

核武器求導(dǎo)

求導(dǎo)后用基本不等式，遞增

根據(jù)奇偶性消滅負(fù)號(hào)

畫草圖，單側(cè)討論：離對(duì)稱軸遠(yuǎn)越大

用絕對(duì)值表示，開平方削絕對(duì)值

先從定義域下手，正的就能削絕對(duì)值

得出是偶函數(shù)，畫圖，正半軸是增函數(shù)，然后翻折

2 ≥|log?x| >1