1.什么是連桿系統(tǒng)

（連桿系統(tǒng)）都是由一些剛性的小桿，在端點(diǎn)處，以轉(zhuǎn)軸的方式相連而成。

固定一個連桿系統(tǒng)中某些桿的端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)特定的連桿，系統(tǒng)中其余的動點(diǎn)便可以產(chǎn)生特定的目標(biāo)軌跡。

最簡單的連桿系統(tǒng)：

固定桿OA中的一個端點(diǎn)O，則A的軌跡是一個以O(shè)為圓心的圓

一些簡單的裝置也可以畫出極其復(fù)雜的圖形

2.如何用連桿系統(tǒng)畫直線

帕塞利埃連桿（Peaucellier-Lipkin Linkage）

發(fā)明者：Charles Nicolas Peaucellier

AD=AC，BCED為菱形，AO=OB，EG⊥AF

為什么直線？

只需證明AG為定值，便可以說明E在過G垂直于AF的直線上運(yùn)動

證：∵AD=AC, BD=BC, ED=EC

∴A, B, E三點(diǎn)共線

∵⊙O中AF為直徑

∴∠ABF=90°

∵EG⊥AF

∴∠G=90°=∠ABF

∵∠A=∠A

∴△ABF∽△AGE

∴AG/AB = AE/AF

∴AG = AB·AE/AF

#AF為定值，只需證明AB·AE為定值

∵AB=AH-BH, AE=AH+BH

∴AB·AE=AH2-BH2

∵BCED為菱形

∴DC⊥BE

∴AH2=AC2-CH2, BH2=BC2-CH2

∴AB·AE=AC2-BC2（之后會用到這個結(jié)論）

∵AC, BC為定值

∴AB·AE為定值

∴AG為定值

3.連桿系統(tǒng)幾乎萬能

連桿系統(tǒng)可以畫出所有符合以下要求的代數(shù)曲線：

3.1.構(gòu)造坐標(biāo)系

OAXB, OCYD為兩個全等的箏形，△OAC, △OBD為等腰直角三角形。

這樣，Y始終在X關(guān)于O逆時針旋轉(zhuǎn)90°的位置上

為什么？

已知：OAXB, OCYD為兩個全等的箏形，△OAC, △OBD為等腰直角三角形。

求證：OX⊥OY, OX=OY

證：連接OX, OY

∵OAXB≌OCYD

∴OD=OB, DY=BX, ∠ODY=∠OBX

∴△ODY≌△OBX（SAS）

∴∠1=∠2, OX=OY

∵△DOB為直角三角形

∴∠DOB=90°

∴∠XOY=∠DOB-∠1+∠2=90°

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把X連接在Peaucellier連桿上，X, Y就會分別在兩條相垂直的直線上運(yùn)動

之后會省略Peaucellier連桿。

3.2.如何畫出任意曲線

我們將OX, OY的長度定義為自變量 t

為畫出任意曲線，連桿需要且只需要實(shí)現(xiàn)4條功能：

1、把某個點(diǎn)的坐標(biāo)加上一個常數(shù)c；

2、把某個點(diǎn)的坐標(biāo)乘上一個常數(shù)c；

3、把兩個點(diǎn)的坐標(biāo)相加；

4、把兩個點(diǎn)的坐標(biāo)相乘。

為了實(shí)現(xiàn)這些功能，我們設(shè)計了以下7個裝置：

3.2.1.常量加法器

固定一段連桿（AB為定值），用兩個平行四邊形（橙色）把固定長度（AB）傳遞到坐標(biāo)軸上（XD）

兩個被加數(shù)：OX、AB

和：OD

常量加法器支持矢量運(yùn)算。

3.2.2.固定器

利用三角形的穩(wěn)定性，使桿與桿（圖中為藍(lán)桿和綠桿）之間的位置關(guān)系保持不變

3.2.3.常量乘法器

由兩個固定器組成

AP=BC, AB=CP

∴ABCP為平行四邊形

∴AP//BZ, CP//OB

∴△OAP∽△OBZ

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兩個被乘數(shù)：AP、OB/OA

積：OZ

常量乘法器支持矢量運(yùn)算

3.2.4.加法器

加法器非常重要，它不僅要加減法，還要將X, Y軸的坐標(biāo)算成最終的結(jié)果

四個小四邊形都是平行四邊形，

所以O(shè)AFB也是平行四邊形

證：連接OA, AF, FB, BO

∵?ADEH

∴AH//DE, AH=DE

同理DE//OC

∴AH//OC, AH=OC

同理FH//BC, FH=BC

#下一行中我少寫了很多步驟

∴∠AHF=∠OCB

∴△AHF≌OCB（SAS）

∴AF=OB

同理AO=BF

∴AOBF為平行四邊形

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兩個被加數(shù)：向量OA、向量OB

和：向量OF

3.2.5.減法器

減法器也是一個加法器，但比較特殊。

兩個被加數(shù)：向量BO、向量BA

和：向量BF

3.2.6.倒數(shù)器

DAEB為菱形，OA2-AD2=1

這時候，我們需要用到我們之前在Peaucellier連桿中的結(jié)論。

我們曾經(jīng)說到AB·AE=AC2-BC2，所以在這里，我們只需要確認(rèn)OA2-AD2=1，就可保證OD·OB=1

OD、OB互為倒數(shù)

3.2.7.乘法器

乘法公式：p·q=((p+q)2 - (p-q)2) /4

所以要乘法，我們要學(xué)會平方

我們知道：1/(p-1) - 1/(p+1) = 2/(p2-1)

變換得：p2 = 2 / (1 /(p-1) - 1 /(p+1)) +1

所以我們只需要用在倒數(shù)器基礎(chǔ)上，再進(jìn)行一堆操作，就可以實(shí)現(xiàn)乘法了。

具體過程作者懶得說，那我就更懶得說了（

最后不能展示乘法器，因?yàn)殇秩静煌?/p>

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把上述的7個裝置巧妙地結(jié)合起來，就幾乎可以畫出任何圖像了。

end

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后記：這應(yīng)該是我寫得最久的一次筆記了，好累……