還是熟悉的配方（2022北京圓錐曲線）

2022-07-16 14:07 作者:數學老頑童 0人讀過 | 我要投稿

（2022北京，19）已知橢圓 $E$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ （ $a%3Eb%3E0$ ）的一個頂點為 $A%5Cleft(%200%2C1%20%5Cright)%20$ ，焦距為 $2%5Csqrt%7B3%7D$ .

（1）求橢圓 $E$ 的方程；

（2）過點 $P%5Cleft(%20-2%2C1%20%5Cright)%20$ 作斜率為 $k$ 的直線與橢圓交于不同的兩點 $B$ 、 $C$ ，直線 $AB$ 、 $AC$ 分別與 $x$ 軸交于點 $M$ 、 $N$ ，當 $%5Cvert%20MN%20%5Cvert%20%3D2$ 時，求 $k$ 的值.

解：（1）易知 $b%3D1$ ， $c%3D%5Csqrt%7B3%7D$ ，

所以 $a%3D2$ ，

所以橢圓 $E$ 的方程為 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2By%5E2%3D1$ .

（2）先畫圖

因為 $k_%7BAB%7D%3Dk_%7BAM%7D%3D%5Cfrac%7B1-0%7D%7B0-x_M%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx_M%7D$ ，

所以 $x_M%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAB%7D%7D$ ，

同理可得 $x_N%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAC%7D%7D$ ，

又因為 $%5Cleft%7C%20x_M-x_N%20%5Cright%7C%3D2$ ，

故 $%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAB%7D%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAC%7D%7D%20%5Cright%7C%3D2$ ……（ $%5Coplus%20$ ）

橢圓 $E$ 的方程可改寫為

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2%2B2y-1%3D1$ ，

整理，得

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2%2B2%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%3D0$ ，

設直線 $BC$ 的方程為 $mx%2Bn%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%3D1$ ，

又因其過點 $P$ ，

所以 $-2m%2Bn%5Cleft(%201-1%20%5Cright)%20%3D1$ ，

解得 $m%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ ，

故直線 $BC$ 的方程為 $-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%2Bn%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%3D1$ .

聯立直線 $BC$ 與橢圓 $E$ ，得

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2%2B2%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5Cleft%5B%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%2Bn%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5Cright%5D%20%3D0$ ，

展開

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2B%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2-x%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%2B2n%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2%3D0$ ，

并項

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D-x%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%2B%5Cleft(%202n%2B1%20%5Cright)%20%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2%3D0$

各項同除以 $%5Cleft(%20y-1%20%5Cright)%20%5E2$ ，得

$%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7Bx%7D%7By-1%7D%20%5Cright)%20%5E2-%5Cfrac%7Bx%7D%7By-1%7D%2B2n%2B1%3D0$ ，

所以 $%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAB%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAC%7D%7D%3D4$ ……（ $%5Cotimes%20$ ）

由 $%5Coplus%20$ 與 $%5Cotimes%20$ 可知，

$4%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAB%7D%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAC%7D%7D%20%5Cright)%20%3D%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAB%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAC%7D%7D%20%5Cright)%20%5E2-%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAB%7D%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BAC%7D%7D%20%5Cright)%20%5E2%3D12$ ，