一、案例介紹

某人調(diào)查了15名女大學(xué)生的腰圍（cm），其測定值為：71.0,73.5,81.0,72.5,76.5,75.5,76.0,69.0,76.5,72.5,79.5,74.0，66.0，69.0,73.0，想要得到這15名大學(xué)生腰圍的集中趨勢的指標(biāo)和離散趨勢的指標(biāo)以及分布的形狀。

二、問題分析

集中趨勢是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的程度，他反應(yīng)了一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數(shù)據(jù)中心點位置的所在，其中常見的表示集中趨勢的變量有中位數(shù)以及平均數(shù)等。離散趨勢指標(biāo)一般描述遠離其中心值的趨勢，常見的表示離散程度的指標(biāo)有方差或者標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)等。分布的形狀一般反映數(shù)據(jù)分布的偏態(tài)（偏度）與峰態(tài)（峰度）想要得到這15名大學(xué)生腰圍的集中趨勢的指標(biāo)、離散趨勢的指標(biāo)以及分布的形狀，可以進行公式計算，或者利用軟件快速得到。接下來我們一一進行描述。

三、公式計算

1、集中趨勢指標(biāo)計算

表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的指標(biāo)有很多，我們這里對均值、中位數(shù)進行描述。

均值

均值，他是一組數(shù)據(jù)相加后除以數(shù)據(jù)個數(shù)得到的結(jié)果，均值是集中趨勢的最主要測度值，它主要適用于定量數(shù)據(jù)而不適用于定類數(shù)據(jù)。其計算公式如下：

?

所以案例的均值為：73.7

中位數(shù)

中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)排序后處于中間位置上的變量值，想要得到15名大學(xué)生腰圍的中位數(shù)，就需要先將數(shù)據(jù)排序，找到中間位置上的數(shù)值，經(jīng)排序后中位數(shù)為73.5。

2、離散趨勢指標(biāo)計算

對集中趨勢的指標(biāo)計算后，我們對表示離散趨勢的指標(biāo)進行計算，常見的指標(biāo)一般有最大值，最小值，四分位差，方差，標(biāo)準(zhǔn)差，變異系數(shù)。

最大值

最大值一般就是指一組數(shù)據(jù)中最大的值。這里為81.0。由于只有15個數(shù)據(jù)，所以結(jié)論比較直觀，如果分析的數(shù)據(jù)過多一般可能需要借助數(shù)據(jù)分析工具進行查看更方便。

最小值

最小值一般就是指一組數(shù)據(jù)中最大的值。這里為66.0。由于只有15個數(shù)據(jù)，所以結(jié)論比較直觀，如果分析的數(shù)據(jù)過多一般可能需要借助數(shù)據(jù)分析工具進行查看更方便。

四分位差

四分位差也稱四分間距（IQR），一般是指上四分位數(shù)和下四分位數(shù)之差，四分位數(shù)一般反映了中間50％的數(shù)據(jù)的離散程度，數(shù)值越小說明中間數(shù)據(jù)越集中，反之，數(shù)值越大說明數(shù)據(jù)越分散，四分位差在一定程度上說明了中位數(shù)對一組數(shù)據(jù)的代表程度，一般適用于定量變量。四分位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)由小到大排序后，用3個點將全部數(shù)據(jù)分為4等份，與這3個點位置上相對應(yīng)的數(shù)值稱為四分位數(shù)，分別記為Q1、Q2、Q3。分別為71和76.5，所以四分位差為5.5。

方差

方差是各變量值與平均數(shù)離差平方的平均數(shù)，方差能夠很好的反映數(shù)據(jù)的離散程度，也是應(yīng)用最廣的離散測度值。其計算公式如下：

?

所以案例的方差為：

?

標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差就是就是方差的平方根值，所以案例中的標(biāo)準(zhǔn)差為4.012。

變異系數(shù)

變異系數(shù)也叫離散系數(shù)，它是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的平均數(shù)之比，變異系數(shù)是測度數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量，主要用于比較不同樣本數(shù)據(jù)的離散程度，變異系數(shù)大，說明離散程度大，變異系數(shù)小，說明數(shù)據(jù)的離散程度也小。其計算公式如下：

?所以案例的變異系數(shù)為：

??

3、分布的形狀

雖然集中趨勢和離散程度是數(shù)據(jù)分布的兩個重要特征，但要全面了解數(shù)據(jù)分布的特點，還需要知道數(shù)據(jù)分布的形狀是否對稱，偏斜程度等等，其中偏度和峰度就是對數(shù)據(jù)分布形狀的測度。

偏度

偏度也稱偏態(tài)它是對數(shù)據(jù)分布對稱性的測度，偏度可以描述數(shù)據(jù)的分布情況，具體如下：

?

偏態(tài)系數(shù)的計算方法有很多，通常采用的公式如下：

?

案例的偏度如下：

?

峰度

峰度是對數(shù)據(jù)分布平峰或者尖峰程度的測度，測度峰態(tài)的統(tǒng)計量是峰態(tài)系數(shù)，當(dāng)峰度大于0則為尖峰分布，當(dāng)峰度小于0此時為扁平分布，其通常采用的計算公式如下：

?

案例的峰度如下：

?

最后峰度為-0.089。

四、軟件操作及結(jié)果解讀

本案例只有15個數(shù)據(jù)，所以利用公式計算比較容易，如果一組數(shù)據(jù)有很多個，則不容易利用公式進行計算，這時，我們可以借助數(shù)據(jù)分析工具，快速準(zhǔn)確的得到結(jié)果。

1. 軟件操作

首先進行上傳數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)格式如下：

?

一列為一個分析項，為一個指標(biāo)。上傳數(shù)據(jù)后點擊【通用方法】→【描述分析】然后進行分析：

?

2. 結(jié)果解讀

結(jié)果如下：

結(jié)果分為基礎(chǔ)指標(biāo)和深入指標(biāo)，基礎(chǔ)指標(biāo)如下：

?

深入指標(biāo)如下：

?

可以發(fā)現(xiàn)分析工具得到的數(shù)據(jù)和計算的數(shù)據(jù)都一致，但是利用分析工具得到的數(shù)值更方便更迅速。

可以發(fā)現(xiàn)該組數(shù)據(jù)的平均腰圍為73.7cm，并且方差為16.1，標(biāo)準(zhǔn)差為4.012，其中峰度為-0.089說明數(shù)據(jù)為扁平分布，偏度為-0.053說明數(shù)據(jù)為中等偏態(tài)分布。

五、知識小貼士

1、排序題如何分析？

排序題一般是計算平均排名值，通過排名大小進行對比和分析。直接使用描述分析即可，同時排序題也是‘定量’數(shù)據(jù)，可使用方差分析或t檢驗等對比排名的差異情況。特別提示，需要注意數(shù)字代表的意義，比如數(shù)字越小代表排名越好，還是數(shù)字越大代表排名越好。如果數(shù)字大小代表的排名好壞與從預(yù)期不符，建議可使用數(shù)據(jù)處理里面的數(shù)據(jù)編碼進行反向處理后再分析即可。

2、如何計算眾數(shù)？

眾數(shù)是指出現(xiàn)頻率最高的項，建議使用頻數(shù)分析查看即可。有可能出現(xiàn)頻數(shù)出現(xiàn)最高的項有多個，此時眾數(shù)就有多個。眾數(shù)的實際應(yīng)用意義較少，建議用戶可結(jié)合數(shù)據(jù)類型情況，使用百分比，或者平均值或者中位數(shù)等，而不使用眾數(shù)。