01-向量究竟是什么？

三種視角：

1. 物理視角：向量是空間中的箭頭，決定一個向量的是它的長度和它所指的方向，只要向量的長度和方向不變，向量可以在空間中任意移動
2. 計算機(jī)視角：向量是有序的數(shù)字列表；
3. 數(shù)學(xué)視角：加法和數(shù)乘運(yùn)算；向量可以是任何東西，只要保證兩個向量相加以及數(shù)字與向量相乘是有意義的即可

向量加法運(yùn)算：

三角形法則；平行四邊形法則；

• 幾何觀點(diǎn)（物理觀點(diǎn)）：

每一個向量是一種特定的運(yùn)動，即在空間中朝著某個方向邁出（平移）一定距離。

先沿著第一個向量運(yùn)動再沿著第二個向量運(yùn)動與直接沿著兩個向量的和運(yùn)動是等效的；

物理中的位移和合力

• 數(shù)字觀點(diǎn)（計算機(jī)觀點(diǎn)）：

把對應(yīng)項(xiàng)加起來：沿著向量各個分量運(yùn)動和直接沿著和向量運(yùn)動是等效的；

向量數(shù)乘運(yùn)算：

數(shù)字作為標(biāo)量使向量拉伸、壓縮和反向

標(biāo)量是向量縮放的度量

02-線性組合，張成的空間與基

平面直角坐標(biāo)系xoy中有兩個非常特殊的向量，一個是x軸上的單位向量i，兩一個是y軸上的單位向量j，任何一個二維向量[a,b]的分量a和b都可以看作標(biāo)量，使 x軸上的單位向量i 和 y軸上的單位向量j 縮放為 ai 和 bj 所以任何向量都可以看作經(jīng)過縮放的基向量的和。

“縮放向量并且相加”

坐標(biāo)系的基（基向量 basis vectors）：x軸上的單位向量i；y軸上的單位向量j；把坐標(biāo)的分量看作標(biāo)量時，各個基向量就是標(biāo)量分別縮放的對象。

我們完全可以選用不同的基向量獲得一個合理的新坐標(biāo)系，平面內(nèi)任意兩個線性無關(guān)的向量作為基向量，通過選擇兩個標(biāo)量，分別用于縮放二者其中的一個，然后把二者相加，就可以得到所有的二位向量。

每當(dāng)我們用數(shù)字描述向量時，它都依賴于我們正在使用的基。

兩個數(shù)乘向量的和就是這兩個向量的線性組合（linear combination）

平面內(nèi)的任意兩個向量：

• 兩個不共線是二維向量
• 兩個共線的二維向量
• 兩個零向量

所有可以表示給定向量線性組合的向量集合被稱作給定向量張成的空間（span）

一組向量中至少有一個是多余的，沒有對張成空間做出任何貢獻(xiàn)，你有多個向量，并且可以移除其中一個而不減小張成的空間，當(dāng)這種情況發(fā)生時，我們稱它們是"線性相關(guān)"的(linearly dependent) 另外一種表述是，其中一個向量可以表示為其他向量的線性組合，因?yàn)檫@個向量已經(jīng)落在其它向量張成的空間之中

如果所有的向量都給張成空間增加了新的維度，它們就是“線性無關(guān)”的（linearly independent）

空間的一組基：張成該空間的一個線性無關(guān)的向量集合

03-矩陣與線性變換

變換：一種映射關(guān)系，比函數(shù)的概念更為廣義，接收內(nèi)容并且輸出結(jié)果，在線性代數(shù)中，考慮接收一個向量并輸出一個向量的變換

向量的函數(shù)：運(yùn)動的觀點(diǎn)：變換使得一個向量變成另一個向量，也就使得這些向量張成的空間發(fā)生了變化。

線性變換：

1. 直線變換后依然保持為直線，不能彎曲
2. 原點(diǎn)保持固定

線性變換不改變變換前后線性組合的系數(shù)

線性關(guān)系在線性變換后繼續(xù)保持

若找到原空間的基對應(yīng)的象空間的基，則這兩個空間相對應(yīng)的向量在對應(yīng)的基下，坐標(biāo)相同

不妨用相對運(yùn)動和絕對運(yùn)動的思路去理解這個變換過程

一個二維線性變換僅由四個數(shù)字完全確定

矩陣的列可以看作是變換后的基向量在原始坐標(biāo)系(基向量)下的坐標(biāo)

剪切(斜切)變換=伽利略變換=洛倫茲變換？？

線性變換是操縱空間的一種手段，它保持網(wǎng)格線平行且等距分布，并且保持原點(diǎn)不動，這種變換只需要幾個數(shù)字就能描述，這些數(shù)字就是變換后基向量的坐標(biāo)，以這些坐標(biāo)為列所構(gòu)成的矩陣作為描述線性變換的語言，矩陣向量乘法就是計算線性變換作用于定向量的一種途徑，每一個矩陣都對應(yīng)了一種特定空間變換。

04-矩陣乘法與線性變換復(fù)合的聯(lián)系

線性變換：是將向量作為輸入和輸出的一類特殊的函數(shù)(映射)，還可以看作是對空間的擠壓伸展；它保持網(wǎng)格線平行且等距分布，并且保持原點(diǎn)不變。

線性變換由它對空間的基向量的作用完全決定

因?yàn)槠渌?strong>任何向量都表示為基向量的線性組合

坐標(biāo)為[x,y]的向量就是[x,y]=x·i+y·j

線性變換的推論：

變換后的向量[x,y]=x·變換后的i+y·變換后的j

變換后的x軸上的基向量和變換后的y軸上的基向量作為矩陣的列，并且將兩列分別與x和y相乘后加和的結(jié)果定義為矩陣向量乘積。

所以矩陣代表一種特定的線性變換。

兩個獨(dú)立變換的復(fù)合對應(yīng)于兩個矩陣的積

矩陣相乘的幾何意義：線性變換的相繼作用

矩陣乘法沒有交換律：因?yàn)楹瘮?shù)有先后，改變順序后，同樣的輸入會帶來不同的輸出。

矩陣乘法有結(jié)合律：因?yàn)闊o論括號怎樣移動從整體上看，都是從右向左進(jìn)行運(yùn)算。

三維空間的線性變換：

空間中的比較復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)平移變換，可以分解為多個簡單的變換復(fù)合。

05-行列式

有些線性變換讓空間向外拉伸，有些線性變換讓空間向內(nèi)擠壓。行列式就是測量變換對空間有多少拉伸或擠壓，即測量給定區(qū)域測度增大或減小的比例。

線性變化的縮放比例，就是行列式

行列式出現(xiàn)負(fù)值：空間發(fā)生了翻轉(zhuǎn)，右手系變?yōu)?span id="s0sssss00s" class="ql-color-#ff654e">左手系(磁通量)，右手定則判斷空間定向

所以行列式還可以理解為：

n+1維圖形旋轉(zhuǎn)時在n維空間上的投影的測度

06-逆空間、列空間、秩與零空間

線性方程組---向量方程

向量方程：系數(shù)矩陣，未知向量，常量向量

求解向量方程的幾何意義：在系數(shù)矩陣所代表的線性變換下，尋找一個未知向量，使得未知向量在線性變換后與常量向量重合。

方程的解充分依賴于系數(shù)矩陣所代表的變換：是將原空間壓縮到更低維空間，還是保持原有的維度不變，即行列式為零或行列式不為零。

行列式不為零：存在逆變換：有且僅有一個未知向量在變換后與常量向量重合，并且可以通過逆變換來讓常量向量變?yōu)?span id="s0sssss00s" class="ql-bg-#ff968d">未知向量。

逆變換：一個變換與其逆變換的乘積時單位陣

行列式為零：不存在逆變換：想要求解就要引入新的術(shù)語——rank秩：變換后的空間的維數(shù)

所有可能的輸出向量構(gòu)成的集合，或者說矩陣的列向量的線性組合，就是矩陣的列空間。所以列空間就是矩陣的列向量所張成的空間。

秩的精確定義是列空間的維數(shù)

秩與列數(shù)相等，成為列滿秩。

零向量一定被包含到列空間中，因?yàn)?strong>線性變換必須保持原點(diǎn)位置不變。對于滿秩矩陣來說，唯一能在變換后落在原點(diǎn)的就是零向量自身。對于非滿秩矩陣來說，它將空間壓縮到更低的維度上，也就是會有一系列的向量在變換后成為零向量。

只要第n維度坍塌了，屬于第n維的一系列的向量就會落在原點(diǎn)處

平行于這個基向量的直線（某個維度）上的所有向量被壓縮到了原點(diǎn)

特解是對非齊次來說的，直線上找到得解是唯一解

變換后落在原點(diǎn)的向量的集合，被被稱作矩陣的零空間或核，變換后一些向量落在零向量上，而零空間正是這些向量構(gòu)成的空間。

對于線性方程組來說，當(dāng)常量向量恰好為零向量時，此時叫做齊次線性方程組，零空間給出的就是這個向量方程所有可能的解

總結(jié)：每一個線性方程組都有一個線性變換與之聯(lián)系，當(dāng)逆變換存在時，你就能夠利用逆變換求解方程組，否則，列空間的概念讓我們知道什么時候存在解，零空間的概念有助于我們理解所有可能解的集合是什么樣的。

非方陣，不同維度空間之間的線性變換

不同維數(shù)的變換：輸入空間和輸出空間

3×2矩陣的列空間：三維空間中一個過原點(diǎn)的二維平面，但這個矩陣仍然時滿秩的，因?yàn)榱锌臻g的維數(shù)與輸入空間的維數(shù)相等(列滿秩)。

3×2矩陣的幾何意義：將二維空間映射到三維空間上，因?yàn)榫仃囉袃闪?，代表輸入空間有兩基向量，有三行，表示每一個基向量在變換后都用三個獨(dú)立的坐標(biāo)來描述。

二維空間到一維空間的變換：主成分分析；

與點(diǎn)積緊密相關(guān)，來在位移方向上的功

07-點(diǎn)積與對偶性

點(diǎn)積：兩個等維度向量，對應(yīng)分量相乘再相加

幾何意義：一個向量的長度乘以另一個向量在這個向量方向上的投影長度。

做功：力×位移=功=能量變化

點(diǎn)積與順序無關(guān)：

先投影后縮放和先縮放后投影

對稱情況下：

不對稱情況下：

提出常系數(shù)，還可以形成鏡像投影

對應(yīng)坐標(biāo)相乘并相加和投影聯(lián)系：

對偶性：投影變換與點(diǎn)積的對偶性

多維空間到一維空間(數(shù)軸)的線性變換：

1×2矩陣：輸入空間為二維，輸出空間為一維

1×2矩陣×二維向量=一維向量

向量到實(shí)數(shù)的映射

投影矩陣剛好是u向量(一維空間的單位向量的)的轉(zhuǎn)置

與單位向量的點(diǎn)積可以解讀為將向量投影到單位向量所在直線上所得到的投影長度

非單位向量：向量與給定非單位向量的點(diǎn)基可以解讀為，首先朝給定向量上投影，然后將投影的值與給定向量長度相乘。

08-叉積的標(biāo)準(zhǔn)介紹

向量的叉積就是這兩個向量構(gòu)成矩陣的行列式

叉積生成的向量同時垂直于兩個原向量

以線性變換的眼光看叉積

對偶性：總結(jié)：一個平行六面體的體積=一個向量的投影*兩個向量的面積=一個向量·垂直兩個向量的向量且長度為兩個向量的面積

面積=投影；高度=向量長度；然后得到：點(diǎn)積=體積

09-基變換

同一個向量在不同坐標(biāo)系下的表述

10-特征向量與特征值

11-抽象向量空間