半群:在集合上定義了一種滿足結(jié)合律的運(yùn)算，比如全體正整數(shù)數(shù)定義加法

含有單位元的半群：

群：任何元都有逆元:

群就是集合加上一種運(yùn)算，這種運(yùn)算不再具象化為加法或者乘法。

下面就看單位元的唯一性。 單位元的定義是,假設(shè)還有另一個(gè)單位元。有了單位元才可以定義逆元，交換律并不是默認(rèn)的，就會(huì)有左逆和右逆的問題,如何證明是同一個(gè)東西。

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所以可以用我們已知的數(shù)學(xué)知識來舉例，比如說全體的矩陣按照矩陣乘法就是典型的含單位元的半群，如果考慮那些全體的可逆矩陣才可以成為群，再考慮那些全體的矩陣也是一個(gè)群。所以這里就引發(fā)了一個(gè)問題，是不是先取一個(gè)含單位元的半群，然后挑出所有的可逆元素就可以構(gòu)成一個(gè)群，答案是肯定的。而實(shí)際上這種做法也是非常常用的。比如考慮整數(shù)的模剩余類，在乘法下構(gòu)成的是半群但不是群，但是可以挑出全體的數(shù)字，就構(gòu)成，因此是素?cái)?shù)就恰好是一個(gè)群。