【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過(guò)這套叢書卻很適合像我這樣已接受過(guò)基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語(yǔ)】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。??

第二章三角形——等腰三角形

§2-5等腰三角形的性質(zhì)

【01】如果我們畫一個(gè)等腰三角形，把它折迭起來(lái)，使它的兩腰重合，再把它攤開（圖2·22），研究一下這條折痕與三角形的其他元素有些什么關(guān)系。

????????(1) 折痕和兩腰所成的兩個(gè)角怎樣？

????????(2) 被折痕分開的底邊的兩部分怎樣？

????????(3)?折痕和底邊相交所成的兩個(gè)角怎樣？

????????(4)?等腰三角形的兩個(gè)底角怎樣？

【02】如果我們根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)來(lái)研究上述的這些問題，就可以得到下面的性質(zhì)：

【03】定理1：等腰三角形有一條對(duì)稱軸，對(duì)稱軸在三角形內(nèi)部的那條線段，是頂角的平分線，也是底邊上的中線和高。

【04】從定理1可知，等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和高，這三條線段是合而為一的。

【05】定理2：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。

【06】要證明定理1和2的正確性，我們只要沿著圖2·22的折痕再折迭起來(lái)，就可以明顯地看到：∠BAD 和 ∠CAD 是完全重合的，

????????因此 ∠BAD＝∠CAD，

????????所以 AD 就是頂角 ∠BAC 的平分線。

????????又 BD 和 CD 是完全重合的，

????????因此 BD＝CD，所以 AD 是 BC 上的中線又 ∠ADB 和 ∠ADC 是完全重合的，

????????而且 ∠ADB＋∠ADC＝2d（鄰補(bǔ)角），

????????因此 ∠ADB＝∠ADC＝d，所以 AD 又是 BC 上的高。

????????同樣，等腰 △ABC 的兩個(gè)底角也相等，就是，∠B＝∠C? 。

【07】我們從上述定理，又可以推出下面的性質(zhì)。

【08】定理3：兩個(gè)有公共底邊的等腰三角形，它們的頂點(diǎn)連結(jié)線是它們公共的對(duì)稱軸。

【09】如圖2·23中的 △ABC 和 △A'BC 的公共的底邊是 BC，又 AB＝AC，A'B＝A'C，那末直線 AA' 就是它們的對(duì)稱軸。

【證】因?yàn)榈妊?△ABC 和等腰 △A'BC 的對(duì)稱軸 AM 和 A'M 都經(jīng)過(guò) BC 的中點(diǎn) M，而且都垂直 BC（定理1），但是過(guò) BC 中點(diǎn) M 只能畫一條直線垂直于 BC，因此可知它們的對(duì)稱軸 AM 和 A'M 都在直線 AA' 上所以直線 AA' 是它們公共的對(duì)稱軸。

【注意】上面的三條定理很重要，必須徹底理解，它們對(duì)于下一節(jié)的作圖用處很大。

【10】軸對(duì)稱圖形有兩種情形：

????????(1) 一個(gè)圖形本身是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，例如等腰三角形。

????????(2) 兩個(gè)圖形關(guān)于一直線為對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形，例如§2-4的圖2·20? 。

【11】不管是上述的那一種軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸總是一條直線，而不是一條線段。

例1.等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角都等于60°。

【已知】△ABC 是一個(gè)等邊三角形（圖2·24）。

【求證】∠A＝∠B＝∠C＝60°? 。

【分析】因?yàn)榈冗吶切问堑妊切蔚奶乩?，從等腰三角形的底角相等的性質(zhì)，可知 ∠B＝∠C，∠C＝∠A，就是 ∠A＝∠B＝∠C? 。又因三角形內(nèi)角和等于 180°，所以可證得每一內(nèi)角等于60°。

【證】因?yàn)?AB＝AC（已知），

????????∴ ∠B＝∠C（等腰三角形的底角相等）。

????????∵ AB＝BC（已知），

????????∴ ∠C＝∠A（等腰三角形的底角相等）。

????????∴ ∠A＝∠B＝∠C? 。

????????但是 ∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的內(nèi)角和），

????????∴ 3∠A＝180°，∠A＝60°? 。

????????也就是 ∠A＝∠B＝∠C＝60°? 。

例2.等腰三角形頂角的外角的平分線，平行于它的底邊。

【已知】在 △ABC 中，AB＝AC，BAD 是一直線，又 AE 是 ∠DAC 的平分線（圖2·25）。

【求證】AE // BC? 。

【分析】要證明 AE?//?BC，只要證得 ∠1＝∠B（或者∠2＝∠C），但已知 AE 平分 ∠DAC，因此 ∠1＝∠2，又 AB＝AC，可知 ∠B＝∠C? 。而 ∠DAC 是 △ABC 的外角，所以有 ∠DAC＝∠1＋∠2＝∠B＋∠C，從此得出 ∠1＝∠2＝∠B＝∠C? 。

【證】AB＝AC（已知），

????????∴ ∠B＝∠C（等腰三角形的底角相等）。

????????又 ∠DAC＝∠B＋∠C（外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和），

????????但 ∠1＝∠2（AE是角平分線），

????????∴ ∠DAC＝2∠1＝2∠2＝2∠B＝2∠C? 。

????????就是 ∠1＝∠2＝∠B＝∠C，

????????∴ AE // BC（同位角相等；或者內(nèi)錯(cuò)角相等）。

例3.已知等腰三角形的頂角是80°，求一腰上的高與底邊所成的角的度數(shù)（圖2·26）。

【已知】AB＝AC，∠A＝80°，BE⊥AC? 。

【求】∠1? 。

【解】∠C＝(180°－80) ÷ 2＝50°? 。

????????又在 △BEC 中，因?yàn)?BE⊥EC，可知 ∠1＝90°∠C＝90°－50°＝40°? 。

????????答：∠1＝40°? 。

例4.鋼板上有兩條槽 AB 和 MN（圖2·27），要在槽 MN 的一旁銼一條槽，使它和槽 AB 關(guān)于軸 MN 對(duì)稱。把這條槽畫出來(lái)。

【解】因?yàn)殇摪宀荒苷鄣?，我們可以根?jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì) 1，先畫出 A 和 B 關(guān)于 MN 的對(duì)稱點(diǎn) A' 和 B'? 。

????????就是從點(diǎn) A 畫 AO⊥MN，引長(zhǎng) AO 至 A'，使 OA'＝AO，那末 A' 就是 A 的對(duì)稱點(diǎn)。同樣畫出點(diǎn) B 的對(duì)稱點(diǎn) B'? 。再畫出槽 A'B' 就是了? 。

例5.在已知直線 l 的同旁有兩點(diǎn) A 和 B，求在 l 直線上取一點(diǎn) P，使 AP＋PB 最短。

【已知】A，B 是直線 l 的同旁的兩定點(diǎn)（圖2·28）。

【求作】在直線 l 上取一點(diǎn) P，使 AP＋PB 最短。

【作法】過(guò)點(diǎn) A 作 AM⊥ l，延長(zhǎng) AM 至 A'，使 A'M＝AM，連結(jié) A'B 線段，并和直線 l 相交于點(diǎn) P，連結(jié) AP 線段。則這個(gè)點(diǎn) P 就是所求的點(diǎn)。

【證】從作法可知 AM⊥ l，AM＝MA'，因此點(diǎn) A' 和 A 關(guān)于直線 l 對(duì)稱。點(diǎn) P 在直線 l 上，所以 A'P 和 AP 也關(guān)于直線 l 對(duì)稱，就有 A'P＝AP（對(duì)稱圖形性質(zhì)2）。

????????因此 AP＋PB＝AP＋PB＝A'B? 。

????????我們來(lái)證明 AP＋PB 最短。不妨在直線 l 上隨便再取一點(diǎn) P'，并連結(jié) AP' 和 BP'，只要證得 AP'＋BP'＞AP＋PB 就可以了。

????????連結(jié)補(bǔ)助線 A'P'，因?yàn)辄c(diǎn) P′ 在直線 l 上，所以有 A'P' 和 AP' 是關(guān)于直線 l 對(duì)稱的線段，于是 A'P'＝AP'（對(duì)稱圖形性質(zhì)2），

????????就有 AP'＋P'B＝A'P'＋P'B? 。

????????但是在 △A'BP' 中，A'P'＋P'B＞A'B（三角形兩邊之和大于第三邊），

????????就是 A'P'＋P'B＞AP＋PB（∴ A'B＝AP＋PB）

????????這祥，就證明了 AP＋PB 是最短的了。

習(xí)題2-5

1、舉出日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中軸對(duì)稱圖形的例子?！窘ㄖ锏膱D樣如天安門和人民大會(huì)堂，人臉的正面照相，乒乓板等等】?

2、把一個(gè)水平放置的圖形對(duì)著一面直立的鏡子，在鏡子里可以看到怎樣的圖形？【和它相同的圖形】

3、鋼板上有三個(gè)眼 A、B、C，C 在直線 AB 的一旁，要在直線 AB 的另一旁打一個(gè)眼，使它和點(diǎn) C 關(guān)于直線 AB 對(duì)稱。怎樣把這個(gè)眼的位置定下來(lái)，并在圖上畫出。

4、用紅紙剪一個(gè)大“囍”字，怎樣利用軸對(duì)稱性質(zhì)把它剪出來(lái)？

5、以已知直線為軸，畫出已知線段的軸對(duì)稱圖形。

6、以已知直角三角形斜邊所在的直線為對(duì)稱軸，畫出它的軸對(duì)稱圖形。

7、試求下列圖形的對(duì)稱軸：(1)兩點(diǎn)；(2)角；(3)線段。

【如圖】

8、一個(gè)等邊三角形有幾條對(duì)稱軸？【有3條，在每一個(gè)內(nèi)角的平分線上】

9、等腰三角形的一底角等于 70°30'，求它的頂角。【39°】

10、等腰三角形的頂角如果是 60°，那末它的底角是幾度？【60°】

11、等腰三角形一腰與另一腰上的高所成的角比底角小 2d/9? 。求等腰三角形的各角?！?d/9，7d/9，7d/9?】

12、通常屋椽 AB 和 AC 的長(zhǎng)是相等的，如圖，它們的夾角分別如下：(1)鐵皮屋頂是 120°；(2)瀝青紙屋頂是 145°；(3)瓦屋頂是 100°? 。就上面的情況分別求出屋椽與水平線 BC 所成的角?！?1)30°，(2)17°30'，(3)40°】

13、等腰直角三角形的每一個(gè)銳角是幾度？【45°】

14、任意畫一個(gè)等腰三角形，用三角板畫出它的頂角平分線，并且說(shuō)明畫圖的根據(jù)是什么[提示：利用等腰三角形的性質(zhì)]

15、等腰三角形的底角可以是直角或鈍角嗎？為什么？【不能，如果底角是直角或鈍角，則底角之和就已等于或大于180°】

16、AB，AC，DE 三直線的關(guān)系如圖，已知 AB＝AC? 。求證：(1) ∠1＝∠2：(2) ∠DBA＝∠ACE? 。[提示：(1)先證明 ∠ABC＝∠ACB；(2)同(1)]

17、如圖，AB＝AC，EB＝EC? 。求證：∠ABE＝∠ACE? 。

18、用一塊等腰直角的三角板，在它的底邊中點(diǎn)做一個(gè)記號(hào) M，再?gòu)闹苯琼旤c(diǎn)懸下一個(gè)鉛錘，把這塊三角板的底邊放在屋梁上，看懸線是不是經(jīng)過(guò)記號(hào) M，就能夠檢查屋梁的位置是否水平（如圖）。這是根據(jù)什么道理？【等腰三角形底的中線必垂直其底】