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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于極值理論的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

本文用 R 編程語(yǔ)言極值理論 (EVT) 以確定 10 只股票指數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（和條件 VaR）

使用 Anderson-Darling 檢驗(yàn)對(duì) 10 只股票的組合數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，并使用 Block Maxima 和 Peak-Over-Threshold 的 EVT 方法估計(jì) VaR/CvaR。最后，使用條件異向性 (GARCH) 處理的廣義自回歸來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái) 20 天后指數(shù)的未來(lái)值。本文將確定計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)因素的不同方法對(duì)模型結(jié)果的影響。

極值理論（最初由Fisher、Tippett和Gnedenko提出）表明，獨(dú)立同分布（iid）變量樣本的分塊最大值的分布會(huì)收斂到三個(gè)極值分布之一。

最近，統(tǒng)計(jì)學(xué)家對(duì)極端值建模的興趣又有了新的變化。極限值分析已被證明在各種風(fēng)險(xiǎn)因素的案例中很有用。在1999年至2008年的金融市場(chǎng)動(dòng)蕩之后，極值分析獲得了有效性，與之前的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值分析不同。極限值代表一個(gè)系統(tǒng)的極端波動(dòng)。極限值分析提供了對(duì)極端事件的概率、規(guī)模和保護(hù)成本的關(guān)系進(jìn)行建模的能力。

參考

https://arxiv.org/pdf/1310.3222.pdf
https://www.ma.utexas.edu/mp_arc/c/11/11-33.pdf
http://evt2013.weebly.com/uploads/1/2/6/9/12699923/penalva.pdf
Risk Measurement in Commodities Markets Using Conditional Extreme Value Theory

第 1a 節(jié) - 工作目錄、所需的包和會(huì)話信息

為了開始分析，工作目錄被設(shè)置為包含股票行情的文件夾。然后，安裝所需的 R 編程語(yǔ)言包并包含在包庫(kù)中。R 包包括極值理論函數(shù)、VaR 函數(shù)、時(shí)間序列分析、定量交易分析、回歸分析、繪圖和 html 格式的包。

library(ggplot2)library(tseries)library(vars)library(evd)library(POT)library(rugarch)

第 1b 節(jié) - 格式化專有數(shù)據(jù)

用于此分析的第一個(gè)文件是“Data_CSV.csv”。該文件包含在 DAX 證券交易所上市的 15 家公司的股票代碼數(shù)據(jù)，以及 DAX 交易所的市場(chǎng)投資組合數(shù)據(jù)。從這個(gè)數(shù)據(jù)文件中選出了 10 家公司，這些公司最近十年的股價(jià)信息是從谷歌財(cái)經(jīng)下載的。

第 1c 節(jié) - 下載股票代碼數(shù)據(jù)

股票價(jià)格數(shù)據(jù)下載并讀入 R 編程環(huán)境。收益率是用“開盤價(jià)/收盤價(jià) ”計(jì)算的，十家公司的數(shù)據(jù)合并在一個(gè)數(shù)據(jù)框中，（每家公司一列）。

結(jié)果數(shù)據(jù)幀的每一行代表記錄股價(jià)的 10 年中的一個(gè)工作日。然后計(jì)算數(shù)據(jù)幀中每一行的均值。一列 10 年的日期被附加到數(shù)據(jù)框。還創(chuàng)建了僅包含行均值和日期信息的第二個(gè)數(shù)據(jù)框。

alDat?<-?cbind(retursDaa,?returnDta_A, ?????????????????retrnsata_Ss,?reunsataDB, ?????????????????retunsDta_H,?reurnsDta_S,?rtunsDaaA, ?????????????????retrnsaa_senus,reursDtaAlnz, ?????????????????reurnsData_ailer)

第 2a 節(jié) - 探索性數(shù)據(jù)分析

創(chuàng)建一個(gè)數(shù)據(jù)框統(tǒng)計(jì)表，其中包含每列（或公司）的最小值、中值、平均值、最大值、標(biāo)準(zhǔn)偏差、1% 分位數(shù)、5% 分位數(shù)、95% 分位數(shù)、99% 分位數(shù)。分位數(shù)百分比適用于極值。還創(chuàng)建了所有收益率均值的時(shí)間序列圖表。

??taeSs<-?c(min(x),?medan(x),?man(x), ????????????????????max(x),?sd(x),?quntile(x,?.01), ????????????????????quanile(x,?.05),?qunile(x,?.95), ????????????????????quatile(x,?.99),?lngth(x))

第 2b 節(jié) - 10 只股票指數(shù)的 VaR 估計(jì)

all_va.2?<-?VAR(lDvarts,?p?=?2,?tpe=?"cnst")#?預(yù)測(cè)未來(lái)125天、250天和500天aDFva100?<-?pdc(alDva.c,?n.aea?=?100,?ci?=?0.9)

為了開始估算數(shù)據(jù)所隱含的未來(lái)事件，我們進(jìn)行了初步的風(fēng)險(xiǎn)值估算。首先，所有行的平均值和日期信息的數(shù)據(jù)框架被轉(zhuǎn)換為時(shí)間序列格式，然后從這個(gè)時(shí)間序列中計(jì)算出風(fēng)險(xiǎn)值。根據(jù)VaR計(jì)算對(duì)未來(lái)100天和500天的價(jià)值進(jìn)行預(yù)測(cè)。在隨后的預(yù)測(cè)圖中，藍(lán)色圓圈代表未來(lái)100天的數(shù)值，紅色圓圈代表500天的回報(bào)值。

plot（ap0$t$Tme[1:1200], ?????alF_ar.d.$fst[1:1200]）

第 2c 節(jié) - 估計(jì)期望_shortfall_(ES),條件VAR_(CvaR)_?10 股票指數(shù)

為便于比較，計(jì)算了10只股票指數(shù)數(shù)據(jù)的條件風(fēng)險(xiǎn)值（CvaR或估計(jì)虧損）。首先，利用數(shù)據(jù)的時(shí)間序列，找到最差的0.95%的跌幅的最大值。然后，通過(guò) "高斯 "方法計(jì)算出估計(jì)虧損，這兩種計(jì)算的結(jié)果都以表格形式呈現(xiàn)。

ES(s(lD1:2528,?2,?rp=FAE]),p=0.95,?mho="gausn")

第 2d 節(jié) - 10 只股票指數(shù)的希爾Hill估計(jì)

由于假設(shè)10股指數(shù)數(shù)據(jù)為重尾分布，數(shù)據(jù)極少變化，所以采用Hill Estimation對(duì)尾指數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。目的是驗(yàn)證 10 只股票數(shù)據(jù)是否為極值分布。Hill Estimation 生成的圖證實(shí)了。

hil(orvtis,?otio="x",?trt=15,?nd=45)

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R語(yǔ)言POT超閾值模型和極值理論EVT分析

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第 2e 節(jié) - 正態(tài)分布的 Anderson-Darling 檢驗(yàn)

Anderson-Darling 檢驗(yàn)主要用于分布族，是分布非正態(tài)性的決定因素。在樣本量較大的情況下（如在 10 股指數(shù)中），小于 0.05 的 P 值表明分布與正態(tài)性不同。這是極值分布的預(yù)期。使用 Anderson-Darling 檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的概率值為 3.7^-24，因此證實(shí)了非正態(tài)性。

第 2f 節(jié) - 結(jié)果表

最后，給出了10個(gè)股票指數(shù)未來(lái)價(jià)值的估計(jì)結(jié)果表。3 個(gè) VaR 估計(jì)值（和估計(jì)差額）的點(diǎn)估計(jì)值和范圍被制成表格以比較。

VaRES[3,]?<-?c("ES",?etFbl[1],?4) ????????????????????????eSFbe[2],?estFtbl[3], ????????????????????????rond(eSab[4],?4))

第 3a 節(jié) - 10 個(gè)股票指數(shù)的 EVT 分塊最大值估計(jì)

極值理論中的 Block Maxima 方法是 EVT 分析的最基本方法。Block Maxima 包括將觀察期劃分為相同大小的不重疊的時(shí)期，并將注意力限制在每個(gè)時(shí)期的最大觀察值上。創(chuàng)建的觀察遵循吸引條件的域，近似于極值分布。然后將極值分布的參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用于這些觀察。

極值理論家開發(fā)了廣義極值分布。GEV 包含一系列連續(xù)概率分布，即 Gumbel、Frechet 和 Weibull 分布（也稱為 I、II 和 III 型極值分布）。

在以下 EVT Block Maxima 分析中，10 股指數(shù)數(shù)據(jù)擬合 GEV。繪制得到的分布。創(chuàng)建時(shí)間序列圖以定位時(shí)間軸上的極端事件，從 2006 年到 2016 年。然后創(chuàng)建四個(gè)按 Block Maxima 數(shù)據(jù)順序排列的圖。最后，根據(jù) gev() 函數(shù)創(chuàng)建 Block Maxima 分析參數(shù)表。

gev(ltMeans,?x=0.8,?m=0)plt(alVF)

第 3b 節(jié) - 分塊最大值的 VaR 預(yù)測(cè)

為了從 Block Maxima 數(shù)據(jù)中創(chuàng)建風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值 (VaR) 估計(jì)，將 10 股指數(shù) GEV 數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為時(shí)間序列。VaR 估計(jì)是根據(jù) GEV 時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行的。未來(lái)值的預(yù)測(cè)（未來(lái) 100 天和 500 天）是從 VaR 數(shù)據(jù)推斷出來(lái)的。在結(jié)果圖中，藍(lán)色圓圈表示未來(lái) 100 天的值，紅色圓圈表示 500 天的收益率值。

#?預(yù)測(cè)未來(lái)500天 aGE500<-?preit(aG_va.c,?n.ad?=?500,?ci?=?0.9)plot(aGE500pd.500)

第 3c 節(jié)?- 分塊最大值的期望損失ES (CvaR)

10只股票指數(shù)GEV數(shù)據(jù)的條件風(fēng)險(xiǎn)值（"CvaR "或 "期望損失"）被計(jì)算。首先，利用數(shù)據(jù)的時(shí)間序列，找到最差的0.95%的縮水的最大值。然后，通過(guò)極端分布的 "修正 "方法來(lái)計(jì)算 "估計(jì)虧損"，這兩種計(jì)算的結(jié)果都以表格形式呈現(xiàn)。

#?條件縮減是最差的0.95%縮減的平均值ddGV?<-?xdrow(aEVts[,2])#?CvaR（預(yù)期虧損）估計(jì)值CvaR(ts(alE),?p=0.95,?meho="miie")

第 3d 節(jié) - 分塊極大值的 Hill 估計(jì)

希爾估計(jì)（用于尾部指數(shù)的參數(shù)估計(jì)）驗(yàn)證 10 只股票的 GEV 數(shù)據(jù)是極值分布。

第 3e 節(jié) - 正態(tài)分布的 Anderson-Darling 檢驗(yàn)

Anderson-Darling 檢驗(yàn)是確定大樣本數(shù)量分布的非正態(tài)性的有力決定因素。如果 P 值小于 0.05，則分布與正態(tài)性不同。通過(guò)該測(cè)試發(fā)現(xiàn)了一個(gè)微小的概率值 3.7^-24。

第 3f 節(jié) - 結(jié)果表

最后，給出了對(duì) 10 股指數(shù) GEV 未來(lái)價(jià)值的估計(jì)結(jié)果表。3 個(gè) GEV VaR 估計(jì)值（和 GEV 期望損失）的點(diǎn)估計(jì)值和范圍制成表格比較。

G_t[3,]?<-?c("GEV?ES",sFale[1], ?????????????????????sStble[2],?SEble[3], ?????????????????????"NA") GRst

第 3g 節(jié) - 分塊極大值的 100 天 GARCH 預(yù)測(cè)

通過(guò)將 Block Maxima GEV 分布（10 只股票的指數(shù)）擬合到 GARCH(1,1)（廣義自回歸條件異型）模型，對(duì) Block Maxima EVT 數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。顯示預(yù)測(cè)公式參數(shù)表。創(chuàng)建一個(gè)“自相關(guān)函數(shù)”(ACF) 圖，顯示隨時(shí)間變化的重要事件。然后，顯示擬合模型結(jié)果的一組圖。創(chuàng)建對(duì)未來(lái) 20 天（股票指數(shù)表現(xiàn)）的預(yù)測(cè)。最后，20 天的預(yù)測(cè)顯示在 2 個(gè)圖中。

spec(aanc.ol?=?list(mel?=?'eGARCH', ????????????????????????????????????????garer=?c(1,?1)), ??????????????????dirion?=?'sd')#?用廣義自回歸條件異質(zhì)性擬合模型alimol?=?ugct(pec,allV,?sovr?=?'ybi') cofale?<-?dtafe(cof(litol)) oeBal plt(l.itodl)

第 4a 節(jié) - 峰值超過(guò)閾值估計(jì) - 10 個(gè)股票指數(shù)

在 EVT 中的峰值超過(guò)閾值方法中，選擇超過(guò)某個(gè)高閾值的初始觀測(cè)值。這些選定觀測(cè)值的概率分布近似為廣義帕累托分布。通過(guò)擬合廣義帕累托分布來(lái)創(chuàng)建最大似然估計(jì) (mle)。MLE 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)以表格形式呈現(xiàn)。然后通過(guò) MLE 繪圖以圖形方式診斷所得估計(jì)值。

plot(Dseans,?u.rg=c(0.3,?0.35))

第 4b 節(jié) - POT 的 VaR 預(yù)測(cè)

POT 數(shù)據(jù)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值 (VaR) 估計(jì)是通過(guò)將 10 個(gè)股票指數(shù) MLE 數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為時(shí)間序列來(lái)創(chuàng)建的。VaR 估計(jì)是根據(jù) MLE 時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行的。未來(lái)值的預(yù)測(cè)（未來(lái) 100 天和 500 天）是從 MLE VaR 數(shù)據(jù)推斷出來(lái)的。在結(jié)果圖中，藍(lán)色圓圈表示未來(lái) 100 天的值，紅色圓圈表示 500 天的收益值。

VAR(merts,?p?=?2,?tp?=?"cost")#?預(yù)測(cè)未來(lái)125天、250天和500天mle_r.pd?<-?prect(e.ar,?n.ahad?=?100,?ci?=?0.9) plot(mea.prd)

第 4c 節(jié)?- POT 的期望損失ES (CvaR) 預(yù)測(cè)

然后計(jì)算10只股票指數(shù)MLE數(shù)據(jù)的條件風(fēng)險(xiǎn)值（"CvaR "或 "期望損失ES"）。數(shù)據(jù)的時(shí)間序列被用來(lái)尋找最差的0.95%的跌幅的最大值。通過(guò)極端分布的 "修正 "方法，計(jì)算出 "期望損失ES"，兩種計(jì)算的結(jié)果都以表格形式呈現(xiàn)。

#?最差的0.95%最大回撤的平均值mdM?<-?maxdadw(mlvs[,2]) CvaR(ldaa),?p=0.95,?meto="mdii", ???????????????pimeod?=?"comnen",?weghts)

第 4d 節(jié) - 峰值超過(guò)閾值的 Hill 估計(jì)

Hill 估計(jì)（用于尾部指數(shù)的參數(shù)估計(jì)）驗(yàn)證 10 只股票的 MLE 數(shù)據(jù)是一個(gè)極值分布。

第 4e 節(jié) - 正態(tài)分布的 Anderson-Darling 檢驗(yàn)

Anderson-Darling 檢驗(yàn)是確定大樣本數(shù)量分布的非正態(tài)性的有力決定因素。如果 P 值小于 0.05，則分布與正態(tài)性不同。此測(cè)試的結(jié)果 P 值為 3.7^-24。

第 4f 節(jié) - 結(jié)果表

最后，給出了 10 個(gè)股票指數(shù) MLE 未來(lái)價(jià)值的估計(jì)結(jié)果表。3 個(gè) MLE VaR 估計(jì)值（和 MLE 期望損失ES）的點(diǎn)估計(jì)值和范圍被制成表格來(lái)比較。

第 4g 節(jié) - 峰值超過(guò)閾值的100天 GARCH 預(yù)測(cè)

通過(guò)將 MLE（10 只股票指數(shù)的最大似然估計(jì)）擬合到 GARCH(1,1)（廣義自回歸條件異型性）模型，對(duì)峰值超過(guò)閾值 EVT 數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。顯示預(yù)測(cè)公式參數(shù)表。創(chuàng)建了一個(gè)“自相關(guān)函數(shù)”（ACF）圖，顯示了隨時(shí)間變化的重要事件。然后，顯示擬合模型結(jié)果的一組圖。然后創(chuàng)建對(duì)接下來(lái) 20 天（股票指數(shù)表現(xiàn)）的預(yù)測(cè)。最后，20 天的預(yù)測(cè)（來(lái)自峰值超過(guò)閾值 EVT extimation）顯示在 2 個(gè)圖中。

fit(ec,ta,?slvr?=?'hybrid')plot(pot.fite.ol)

第 5a 節(jié) - 估計(jì)方法影響表

下表匯總了檢驗(yàn) 極值分布的 10 個(gè)股票的四種方法的結(jié)果。第一列包含四種估計(jì)方法的名稱。提供了 VaR、ES、mu統(tǒng)計(jì)量和 Anderson-Darling P 值的統(tǒng)計(jì)量。

c("VaR", ?????????????????????round(mean(cofets),4), ?????????????????????"NA",?"NA",?p.vau) c("Block?Maxm",?round(mean(coffies),4), ?????????????????????MES,?pr.ss[3],.vle) c("POT",? ?????????????????????round(mean(cofies),?4), ?????????????????????MES,?fitdaes,?p.ale)

第 5b 節(jié) - 結(jié)論

在對(duì)10家公司（在證券交易所上市）10年的股票收益率進(jìn)行檢查后，證實(shí)了將收益率變化定性為極值分布的有效性。對(duì)四種分析方法的擬合值進(jìn)行的所有安德森-達(dá)林測(cè)試顯示，分布具有正態(tài)性或所有非極值的概率不大。這些方法在收益數(shù)據(jù)的風(fēng)險(xiǎn)值方面是一致的。分塊最大值方法產(chǎn)生了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)值估計(jì)的偏差。傳統(tǒng)的VaR估計(jì)和POT估計(jì)產(chǎn)生相同的風(fēng)險(xiǎn)值。相對(duì)于傳統(tǒng)的股票收益率數(shù)據(jù)的CvaR估計(jì)，兩種EVT方法預(yù)測(cè)的期望損失較低。標(biāo)準(zhǔn)Q-Q圖表明，在10只股票的指數(shù)中，Peaks-Over-Threshold是最可靠的估計(jì)方法。

本文摘選?《?R語(yǔ)言極值理論 EVT、POT超閾值、GARCH 模型分析股票指數(shù)VaR、條件CVaR：多元化投資組合預(yù)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度分析?》?，點(diǎn)擊“閱讀原文”獲取全文完整資料。

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matlab實(shí)現(xiàn)MCMC的馬爾可夫轉(zhuǎn)換ARMA - GARCH模型估計(jì)
R語(yǔ)言基于Bootstrap的線性回歸預(yù)測(cè)置信區(qū)間估計(jì)方法
R語(yǔ)言隨機(jī)搜索變量選擇SSVS估計(jì)貝葉斯向量自回歸（BVAR）模型
Matlab馬爾可夫鏈蒙特卡羅法（MCMC）估計(jì)隨機(jī)波動(dòng)率（SV，Stochastic Volatility） 模型
Matlab馬爾可夫區(qū)制轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)回歸模型估計(jì)GDP增長(zhǎng)率R語(yǔ)言極值推斷：廣義帕累托分布GPD使用極大似然估計(jì)、輪廓似然估計(jì)、Delta法