張益唐11月8日《關(guān)于朗道-西格爾零點猜想》學(xué)術(shù)報告速記。來自北大的e^iπ+1=0提供主要稿源。

要點：

1、張益唐沒有完全解決朗道-西格爾零點猜想本身，而是解決了一個更弱的一個命題。但這個更弱的問題也是一個突破。原本的表述“本質(zhì)上”解決朗道-西格爾零點猜想就是在這個部分解決的意義下說的。

2、論文中給的指數(shù)2024都還可以改進，按張教授設(shè)想改進到幾百應(yīng)該沒問題，但是離1的目標這個辦法應(yīng)該不太可能。

3、如果這個方法成立，按張益唐推測，這也許是解析數(shù)論的突破。之前都是想辦法取構(gòu)造zn（后文會講是什么zn)，而這個辦法是另外一種操作。

4、論文還沒有完全定稿，有很多細節(jié)需要補充。尤其是一些計算細節(jié)。

一、問題介紹

對于迪利克雷L函數(shù)，

其中χ(n)是實本原狄里克雷特征函數(shù)，χ是希臘字母,讀作kai。

那么，朗道-西格爾零點猜想可以表述為，

而張益唐教授這篇論文證明的是

這里，張教授補充。這其實是比黎曼猜想弱得多的猜想，但有媒體說論文有可能推翻黎曼猜想。對于這點，張教授回應(yīng)是——我沒那個本事，也不會有人信。

另外，證明過程還會用到一個很初等的恒等式：

問題拆解

對于一個有限長度的實數(shù)數(shù)列，

如何判斷它們都是大于等于零的，或者說如何知道這里面有沒有負數(shù)。這樣的問題和我們數(shù)論問題有什么關(guān)系呢？

例1：

考慮質(zhì)數(shù)的特征函數(shù)：

然后對于正整數(shù)N，定義長度為N-2的序列xn如下：

這個序列中要有小于零的數(shù)，只能是后兩項都等于1 。就是說，xn為負的充要條件是N=n+(N-n)是兩個質(zhì)數(shù)的和。

那么N取遍所有偶數(shù)，如果能證明對所有偶數(shù)生成的這些序列中都有負數(shù)的話，那就證明了哥德巴赫猜想。

例2

設(shè)f(t)是[0,T]上的連續(xù)實函數(shù)。且有N個零點，t1,t2,...,tN 。這N個零點之間的間隔都大于c，即 t(n+1) > tn + c 。如果0<a<b<c, 且?

那么就能找到要么同正要么同負的兩個數(shù)，但是這個辦法不總是好用。

那么，還可以找一個非負數(shù)列yn, 按如下操作判定是否有負數(shù)：

而塞爾伯格給了一個改進，我們直接找zn是某個數(shù)列yn的平方形式，就是說他改進的流程變成這樣：

按張教授介紹，之前做弱孿生質(zhì)數(shù)的辦法就是這種。之前他們的估計始終有個ε跨不過去，我就用一種辦法把它跨過去了，但用的zn基本上是之前他們做的zn。而后來梅納德的辦法是找了新的zn，就大大改進了結(jié)果。

回到西格爾零點

問題的辦法還是要找個xn小于零，辦法還是試圖找到zn，然后讓和式小于零。但非常難找到，我找到很多能接近零的，但始終跨不過0這個點。

新思路

張教授的新思路是用不同路徑找到兩組序列an+bn 和 cn+dn ，滿足xn(an+bn)^2 和 xn(cn+dn)^2都和零非常接近。然后利用一通操作（比如柯西不等式）得到矛盾。

假設(shè)xn都是大于零的，那么利用之前的那個初等的等式得到：

這會導(dǎo)致矛盾。

自塞爾伯格以來，人們一直在考慮有沒有不是平方形式的yn來做這些問題。但是一直沒產(chǎn)生更好的辦法。感覺zn平方的辦法人們已經(jīng)做到極致了，應(yīng)該嘗試新的辦法。大家肯定想過，不過現(xiàn)在還是在zn平方里在做。如果這個辦法奏效，張教授認為應(yīng)該是一個突破，這個思路可以被用于解決數(shù)論中的其他問題。

后記

提問：你之前說的本質(zhì)上解決是什么意思？

張教授：（如前文所訴）在這個部分解決的意義下把這個問題的進展做了推進。

提問：2024還能改進嗎？

張教授：肯定可以，但自己沒去算過，感覺上改進到幾百應(yīng)該問題不大。

提問：這個成果有還有什么應(yīng)用？

張教授：在質(zhì)數(shù)等差級數(shù)分布上能有很多很好的結(jié)果。另外，了解到解析數(shù)論和代數(shù)數(shù)論中的問題也和這個有關(guān)，但自己沒做這方面研究，不了解具體細節(jié)。

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