既然隱函數(shù)也是函數(shù)，那就讓我們按照研究函數(shù)的過程走一遍吧。

1、定義域和值域

????雖然是隱函數(shù)，但也別忘了自變量仍然是x，所以定義域依然是x的取值范圍，會(huì)受到條件和函數(shù)本身的各種約束。同樣的，值域就是y的取值范圍。

?????像x2/4+y2=1，就有x2/4=1-y2≤1，所以定義域是[-2,2]，同理可求出值域是[-1,1]。

2、奇偶性和單調(diào)性

????由于隱函數(shù)中的映射關(guān)系不唯一，所以一般不討論它的奇偶性或者單調(diào)性。不過，從圖像上來看，隱函數(shù)可以有對(duì)稱性。

3、隱函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

????然而，沒了單調(diào)性并不代表隱函數(shù)就不能求導(dǎo)，接下來的求導(dǎo)才是重頭戲。?

不妨假設(shè)隱函數(shù)的隱含關(guān)系為：y=i(x)，

那么導(dǎo)函數(shù)就是：y'=i'(x)

那么i'(x)該怎么算呢？顯函數(shù)中是對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，隱函數(shù)也是如此：

還是這個(gè)橢圓方程x2/4+y2=1，

既然y=i(x)，代入就有：

x2/4+[i(x)]2=1，

這是一個(gè)關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)。

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)兩邊進(jìn)行求導(dǎo)：

x/2+2i(x)i'(x)=0，

其實(shí)就是x/2+2yy'=0，

化簡(jiǎn)得y'=-x/4y

類似地，其它隱函數(shù)也可以這么求導(dǎo)。

實(shí)戰(zhàn)運(yùn)用

1、切線

????和顯函數(shù)一樣，隱函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線斜率。根據(jù)這一性質(zhì)，可以在已知切點(diǎn)的情況下來求某些圖形的切線。

例1：

已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1，P(x?,y?)是C上的一點(diǎn)，求過該點(diǎn)的切線方程。

通常做法是直接假設(shè)斜率然后解判別式，但這樣計(jì)算量不小。

其實(shí)也可以從隱函數(shù)的角度解決，首先求導(dǎo)：

2x/a2+2yy'/b2=0

化簡(jiǎn)得y'=-xb2/ya2

所以切線的斜率k=-x?b2/y?a2

由點(diǎn)斜式：y-y?=k(x-x?)，代入k

化簡(jiǎn)得xx?/a2+yy?/b2=x?2/a2+y?2/b2

別忘了P在C上，所以x?2/a2+y?2/b2=1

因此切線方程為：

xx?/a2+yy?/b2=1

（嚴(yán)格來說應(yīng)對(duì)斜率是否存在進(jìn)行分類，此處略去）

這就是著名的橢圓切線方程了。同樣的方法，還可以證明雙曲線，拋物線的切線方程。

無論是怎么樣的曲線，只要知道切點(diǎn)坐標(biāo)，并且隱函數(shù)可導(dǎo)，就可以按照這個(gè)方法求切線方程。

2、最值

????求導(dǎo)除了可以解決切線，更重要的一個(gè)用途就是求極值，有了極值就能求最值。

例2：

已知x2+xy+y2=1，求y的取值范圍。

不能直接把y單獨(dú)放在一邊，因?yàn)檫@是相當(dāng)于一個(gè)關(guān)于y的二次方程，如果硬要分類把y解出來，再求導(dǎo)的話則會(huì)很麻煩。而數(shù)形結(jié)合的方法也失效了，因?yàn)閺膱D像上看，這是一個(gè)歪了的橢圓。

?而條件明顯是一個(gè)隱函數(shù)，所以應(yīng)該用隱函數(shù)的方法解決。

直接求導(dǎo)：2x+y+xy'+2yy'=0（xy項(xiàng)的求導(dǎo)要用求導(dǎo)的乘法法則）

化簡(jiǎn)得：y'=-(2x+y)/(x+2y)

令y'=0，可知當(dāng)2x+y=0時(shí)有極值

聯(lián)立x2+xy+y2=1

解得y=±2√3/3

經(jīng)檢驗(yàn)，y=±2√3/3是y的最大、最小值

所以y的取值范圍是[-2√3/3,2√3/3]

相比之下，隱函數(shù)求導(dǎo)的方法簡(jiǎn)單許多。如果下次給的是其他關(guān)系式，也可以嘗試隱函數(shù)求導(dǎo)的方法。