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Electrostatics1

2020-03-21 16:22 作者:露保協(xié) 0人讀過 | 我要投稿

靜電學(xué)的結(jié)論高中生都懂，但論證未必physically make sense。下面從第一層開始論證。

總的來(lái)說，一切結(jié)論都基于Maxwell方程+特定性的假設(shè)推導(dǎo)出來(lái)。Maxwell方程（嚴(yán)格地說再加上Lorentz力）永遠(yuǎn)是成立的，而特定性的假設(shè)則（至少在構(gòu)建論意義上）超出Maxwell方程（比如說基于量子力學(xué)），并且總是近似的（見第三層）。

第一層

靜電狀態(tài)下的Maxwell方程以及Lorentz力：

Remark:

場(chǎng)。
靜電場(chǎng)散度來(lái)自電荷的散發(fā)，沒有旋度（暗示電勢(shì)）。
通過場(chǎng)受力（局部的思想，這和廣義相對(duì)論是一樣的）。

這是第一性的原理。至于特定性假設(shè)，則會(huì)在不同情形下給出。

第二層

這一層是“比較基本/普適，但不是最基本的、由底層原理推出的”原理。

Coulomb定律

直接從第一個(gè)式子推出來(lái)，詳見之前的筆記，不多說。

Remark: 2+\delta的可能性可以通過導(dǎo)體內(nèi)部不帶電排除。這個(gè)實(shí)驗(yàn)精度大概比直接分析電荷受力要高。

電勢(shì)

這是靜電場(chǎng)特有的物理量（對(duì)于含時(shí)電磁場(chǎng)，需要變成電磁四維勢(shì)），來(lái)源于靜電場(chǎng)的保守性（無(wú)旋）：

單從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，電勢(shì)的引入把矢量場(chǎng)轉(zhuǎn)化為標(biāo)量場(chǎng)，刻畫起來(lái)簡(jiǎn)單了很多（往小了說，做題的時(shí)候用電勢(shì)會(huì)更簡(jiǎn)單）。而且靜電問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)單純的Poisson方程

再加上邊界條件。這樣靜電問題就完全變成一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題。想要知道電場(chǎng)，求個(gè)梯度就完事了。

電多極子

多級(jí)展開：

對(duì)于重力場(chǎng)之類的也經(jīng)常這么玩。在電磁學(xué)里面不太用得到，以后有空慢慢寫。

Gauss定理

也就是Maxwell1的積分形式。用起來(lái)很方便，構(gòu)造各種閉合曲面的技巧。積分形式雖然理論上來(lái)說跟微分形式等價(jià)，但是在處理不可微的問題的時(shí)候，微分形式必須要處理Dirac delta函數(shù)，但是積分形式仍然可以照常使用。

Poisson方程與解的存在唯一性

唯一性定理完全是一個(gè)數(shù)學(xué)上的結(jié)論。要說它有什么物理意義，恐怕不好說，但是至少用起來(lái)很方便。就像supercritical phase時(shí)候的唯一性一樣，在技術(shù)上帶來(lái)很多簡(jiǎn)便。

至于Poisson方程的邊界條件是個(gè)問題。對(duì)于導(dǎo)體和電介質(zhì)不同。對(duì)于導(dǎo)體，給定電勢(shì)或者總電荷，都很容易求解。對(duì)于電介質(zhì)，我們需要知道電介質(zhì)在邊界上的規(guī)律。它可以通過積分形式的Maxwell方程給出：

于是對(duì)于靜電場(chǎng)，邊界條件就是

只要建立了Poisson方程和邊界條件，一個(gè)靜電學(xué)問題就完全變成well-defined的了，接下來(lái)求解只是數(shù)學(xué)上的工作。

Poisson方程的解析解

能解析求解的也只有幾個(gè)對(duì)稱性比較好的例子。下面僅僅枚舉一下，不給出具體過程。

均勻帶電球殼
均勻帶電球體
無(wú)限長(zhǎng)細(xì)棒
無(wú)限大平面（這幾個(gè)都可以直接用Gauss定理算）
無(wú)限大平面+點(diǎn)電荷（電像法）
導(dǎo)體球+點(diǎn)電荷（電像法）
球+均勻電場(chǎng)（求解Laplace方程）
...

電容

電容說起來(lái)是一個(gè)比較奇怪的物理量。首先不看特例，而formally看看電容到底如何定義。

我們定義的是mutual capacitance，而不是self capacitance。也就是說，我們考慮兩個(gè)導(dǎo)體，上面帶有相反等量的電荷Q。根據(jù)Laplace方程可以算出二者之間的電勢(shì)差U(Q)。

Obeservation：U(Q)是Q的線性函數(shù)。這是因?yàn)?，假設(shè)Q邊界條件的時(shí)候Laplace方程的解為u，那么2Q邊界條件的時(shí)候，2u也是Laplace方程的解，而根據(jù)解的唯一性，這就是唯一的解。

進(jìn)一步，二者的比例系數(shù)完全取決的兩個(gè)導(dǎo)體的幾何結(jié)構(gòu)。于是我們定義（互）電容C=Q/U，C(\Sigma)是取決于幾何結(jié)構(gòu)的量（capacitance is a purely geometrical quantity）。

為什么定義成Q/U而不是U/Q?因?yàn)殡姟比荨跋胍磉_(dá)的是能夠容納多少電量，一個(gè)U加上去能容納多少Q(mào)。

關(guān)于電容器儲(chǔ)能。簡(jiǎn)單積分之后知道電容器儲(chǔ)能為1/2CU^2。這個(gè)能量是什么意思？它代表的是放電之后能夠放出的總能量（即電子的電勢(shì)能qU），而不是電場(chǎng)的能量。

因?yàn)槲覀冋fcapacitance is a purely geometrical quantity，拿出這些例子來(lái)也許能看得更清楚：

電磁場(chǎng)的能量

電磁場(chǎng)的能量密度為

能流密度（Poynting矢量）為

它們滿足能量守恒：

第三層

這一層則是我們一開始說的“特定性假設(shè)”。兩個(gè)特定情況分別是：導(dǎo)體和電介質(zhì)。

導(dǎo)體

導(dǎo)體給出的新條件就是其中的電子可以自由運(yùn)動(dòng)(1)。另外隱含的一點(diǎn)是，導(dǎo)體電荷分布會(huì)從非平衡態(tài)迅速達(dá)到平衡(2)，并且沒有一些exotic behavior，比如極限環(huán)之類的。這兩條就是所謂的“特定性假設(shè)”。除去這兩條之外，對(duì)導(dǎo)體研究的其它邏輯都沒有超出三條靜電場(chǎng)公理。

一個(gè)remark：我們研究的都是均勻導(dǎo)體。從經(jīng)典眼光看，非均勻似乎不會(huì)影響電子的自由移動(dòng)。不過存在反例，比如Seebeck效應(yīng)，兩個(gè)有溫差的導(dǎo)體會(huì)產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)。這是量子效應(yīng)。所以為了嚴(yán)格起見，下面研究的全部都是均勻?qū)w。

【結(jié)論1】導(dǎo)體內(nèi)部沒有電場(chǎng)，是等勢(shì)體。

如果有電場(chǎng)就會(huì)導(dǎo)致電子移動(dòng)，與平衡條件矛盾。這是最關(guān)鍵和根本的推論。

【結(jié)論2】導(dǎo)體內(nèi)部沒有電荷。

直截了當(dāng)：

這也就是說，所有電荷都分布在表面。

【結(jié)論3】面電荷密度與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系。

根據(jù)積分形式的第一公理，直接得到

電荷密度越大，場(chǎng)強(qiáng)越大。反過來(lái)，如果知道了場(chǎng)強(qiáng)，就直接知道了表面的電荷分布。

【結(jié)論4】曲率越大，電荷密度越大。

這是一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論，曲率和電荷密度之間并沒有單調(diào)的關(guān)系。相同曲率的地方，電荷密度完全可以不同。但是經(jīng)驗(yàn)性地，這個(gè)結(jié)論在很多時(shí)候挺對(duì)的，而且應(yīng)用非常廣泛。

對(duì)這個(gè)結(jié)論，一個(gè)近似的理解是用等位面。在遠(yuǎn)處，等位面接近于球形。逐漸靠近導(dǎo)體，等位面變成導(dǎo)體的形狀。這個(gè)漸變過程中，突出的部位看起來(lái)會(huì)比較密。

一個(gè)應(yīng)用就是尖端放電。

這里多扯幾句，曲率和電荷密度的關(guān)系是錯(cuò)誤的，那么有沒有什么嚴(yán)格的關(guān)系呢？我查到一篇On the Dependence of Charge Density on Surface Curvature of an Isolated Conductor，不過沒仔細(xì)看。不過里面至少提到一個(gè)結(jié)論：對(duì)于一類特殊的形狀（比如橢球），電荷密度正比于Gauss曲率的1/4次方。一般這種冪律當(dāng)然沒法成立。

【結(jié)論5】空導(dǎo)體腔，內(nèi)表面沒有電荷，空腔內(nèi)沒有電場(chǎng)。

這個(gè)結(jié)論就不太直觀了。首先我們知道導(dǎo)體內(nèi)部沒有電場(chǎng)，也沒有電荷。內(nèi)外表面之間畫一個(gè)環(huán)面，就知道內(nèi)表面上總電荷為0。但是我們要證明每個(gè)點(diǎn)都是0。假設(shè)有正有負(fù)，則空腔內(nèi)部一定有非常數(shù)的電場(chǎng)。沿著一條電場(chǎng)線從內(nèi)表面到內(nèi)表面，電勢(shì)一定有下降，這與等勢(shì)體矛盾。

進(jìn)一步，根據(jù)Laplace方程解的唯一性就知道空腔內(nèi)沒有電場(chǎng)。

電介質(zhì)

電介質(zhì)就是絕緣介質(zhì)的另一個(gè)名字。它是導(dǎo)體的另一個(gè)極端，即完全不導(dǎo)電，就像完全競(jìng)爭(zhēng)和完全壟斷一樣。我們能研究的只有這兩個(gè)極端，至于連續(xù)統(tǒng)中間的部分，比如半導(dǎo)體，就完全超出了電磁學(xué)和Maxwell方程。相對(duì)于導(dǎo)體，我們對(duì)于電介質(zhì)要陌生很多。

同樣，我們要看，對(duì)于電介質(zhì)，需要在Maxwell方程的基礎(chǔ)上加上什么（近似/簡(jiǎn)化的）特定性假設(shè)。之后想干什么就都能干了。這種特定性假設(shè)必須從微觀根源去看。

從微觀根源來(lái)看，導(dǎo)體的價(jià)電子束縛很小，可以隨意跑動(dòng)。而電介質(zhì)的電子受到束縛比較大，不能脫離原子。在外加電場(chǎng)的作用下，電子云只會(huì)改變概率分布，即極化。這個(gè)極化的大小當(dāng)然取決于材料本身。如果分子本身一開始沒有極性，那么在外加電場(chǎng)作用下只有電子的位移極化。如果本身有極性，比如水分子，分子還會(huì)改變排列方向，即取向極化。這都是極其直觀的大致圖像。

刻畫極化，用的自然是電偶極矩密度，換個(gè)名字叫極化強(qiáng)度P。

根據(jù)守恒關(guān)系，極化強(qiáng)度與束縛電荷密度的關(guān)系為：

這不是什么物理規(guī)律，單純是基于定義的套套邏輯（重言式）。因?yàn)槟阆耄粋€(gè)點(diǎn)有一圈偶極子向外指，這一點(diǎn)肯定是有凈的負(fù)電荷。

如果是在介質(zhì)表面（兩種介質(zhì)分界面），上面的式子不是well-defined（有突變，不可微了）。怎么辦呢？解決方法當(dāng)然是積分形式：積分形式就是為了方便處理微分形式的不可微情形的。其實(shí)在微分形式下也可以做，但是必須要處理delta函數(shù)。對(duì)于積分形式，就沒有所謂delta函數(shù)了，直接積分積出來(lái)一個(gè)值。這種思想在電磁學(xué)里面處理分界面問題的時(shí)候經(jīng)常用到。結(jié)果就是，介質(zhì)與真空界面上的極化電荷（束縛電荷）面密度為

電介質(zhì)上的束縛電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為退極化場(chǎng)，它的方向總是起到減弱極化的作用。

對(duì)于電介質(zhì)加上的“特定性假設(shè)”，就是P和E的關(guān)系，即極化規(guī)律。最簡(jiǎn)單的就是線性電介質(zhì)：

其中的\chi_e為極化率，是材料本身的性質(zhì)。一般來(lái)說極性分子的取向極化會(huì)大于非極性分子的位移極化。

極化率\chi_e是無(wú)量綱的。我們定義相對(duì)介電常數(shù)\epsilon_r=1+\chi_e，r表示relative to vacuum。而絕對(duì)介電常數(shù)則為\epsilon=\epsilon_0\epsilon_r。這只是個(gè)定義，不過這三個(gè)物理量之間的關(guān)系還是要搞清楚。真空的相對(duì)介電常數(shù)為0，完全沒有極化。而對(duì)于電介質(zhì)，“介電”能力大于0，相對(duì)介電常數(shù)大于1。

這樣一來(lái)，電介質(zhì)中的靜電學(xué)規(guī)律就完全清楚了：Maxwell方程（加上束縛電荷項(xiàng)）+極化規(guī)律。

為了方便求解，我們通常會(huì)引入一些輔助性的物理量。因?yàn)槲覀儾恢朗`電荷到底是多少，只知道自由電荷，所以引入電位移矢量：