史濟(jì)懷老師視頻課微分方程部分——

&2.一階微分方程

&2.4可降階的二階線性方程

先把之前聊過的內(nèi)容復(fù)習(xí)一下——

線性方程——顧名思義，就是里面每一個(gè)含未知量x的項(xiàng)都是一次的。

原因在于，F(xiàn)（x）=ax+b=a1x1+a2x2+……+anxn+b，所生成的圖像是一條直線，顧名思義，線性函數(shù)，于是形如0=ax+b就是線性方程了，這也是為什么，在常微分方程課程中，線性代數(shù)的內(nèi)容依然很重要的原因。

非線性方程，往往可以采取局部分析的方法，轉(zhuǎn)化為線性方程，所以線性方程可以說是微分方程的基礎(chǔ)內(nèi)容。

二階線性微分方程——形如F（x，y，y'，y''）=0的微分方程。

特別的，有兩種形式的二階線性微分方程可以降階成一階線性微分方程，今天先說第一種。

類型一：若方程不顯含未知函數(shù)，即F（x，y'，y''）=0。

解法——

1. 令y'=p，所以y''=p'；

2. 原方程化為F（x，p，p'）=0。——化為了一個(gè)關(guān)于x、p的一階微分方程；

3. 我們解出p，再對p進(jìn)行積分即可。

例子——解方程xy''+y'=4x

解——

step1.先將目標(biāo)方程化為一階線性方程——

1. 令y'=p，所以y''=p'；

2. 原方程化為xp'+p=4x；

3. 將2中方程左右同乘1/x：dp/dx+p/x=4——一階線性微分方程，其中P（x）=1/x，Q（x）=4。

step2.找出該一階線性微分方程對應(yīng)的齊次方程dp/dx+p/x=0的通解——

1. 移項(xiàng)可得：dp/p=-dx/x；

2. 兩邊積分：ln|p|=ln1/|x|+C1；

3. 因?yàn)镃1為任意實(shí)數(shù)，可以取到適當(dāng)?shù)腃1，使得p=c/x。

step3.找出該一階線性微分方程的一個(gè)特解——

1. 設(shè)特解p=u（x）e^（-∫?P（x）dx）=u（x）/x——其中u（x）為關(guān)于x的未知待定函數(shù)；

2. 由1，dp/dx=[xu'（x）-u（x）]/x^2；

3. 將1,2代入原方程：dp/dx+p/x=[xu'（x）-u（x）]/x^2+u（x）/x^2=u'（x）/x=4；

4. 由3，u'（x）=4x，即u（x）=2x^2+C2——其中C2為任意常數(shù)，為了方便，我們?nèi)2=0；

5. 綜上，求出該方程一個(gè)特解p=2x。

step4.將a中的通解與b中的特解相加即為該方程的通解——

解得p=2x+c/x。

step5.由p解得y——

1. y'=p=2x+c/x；

2. 兩邊積分：y=x^2+cln|x|+c'。

類型二：方程中不顯含自變量，即F（y，y'，y''）=0。

解法——

1. 令y'=dy/dx=p，所以y''=dp/dx=（dp/dy）（dy/dx）=pdp/dy；

2. 原方程化為F（y，p，pdp/dy）=0?！癁榱艘粋€(gè)關(guān)于y、p的一階微分方程；

3. 我們解出p，再對p進(jìn)行積分即可。

例子——解方程y''-e^（2y）=0，yx=0=0，y'x=0=1

解——

1. 令y'=dy/dx=p，所以y''=pdp/dy；

2. 原方程化為pdp/dy-e^（2y）=0；

3. 移項(xiàng)分離變量：pdp=e^（2y）dy；

4. 兩邊積分：p^2/2=e^（2y）/2+C1；

5. 由初值條件，將x=0代入上式，1/2=1/2+C1，得C1=0；

6. 由4，5得，????p^2=e^（2y），解得p=e^y或p=-e^y；

7. 若p=e^y，即dy/dx=e^y，e^（-y）dy=dx，積分得-e^（-y）=x+C0；

   將初值條件代入上式得，C0?=-1；

   即-e^（-y）=x-1；

8. 若p=-e^y，即dy/dx=-e^y，-e^（-y）dy=dx，積分得e^（-y）=x+C0；

   將初值條件代入上式得，C0?=1；

   即e^（-y）=x+1。