自然對(duì)數(shù)
想寫這點(diǎn)東西的原因是因?yàn)橹芏读艘黄说臐h化，將網(wǎng)盤的提取碼訂為了自然對(duì)數(shù)e的前四位有效數(shù)字?？赡苁且?yàn)槲以谧约旱南笱浪锎昧司陀X得自己習(xí)以為常的一些概念是為人熟知的常識(shí)了。當(dāng)然實(shí)踐告訴我并不是這樣的，身為引起一些混亂的罪魁禍?zhǔn)鬃匀挥幸恍┴?zé)任順便把這個(gè)概念講一講。
（有一位朋友問我提取碼為什么不是1484 的時(shí)候我能猜到十進(jìn)制的十四是十六進(jìn)制里的e 至于那個(gè)84是怎么來的我到現(xiàn)在還沒想出來 如果你看到了這個(gè)麻煩私信我一下 謝謝）
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少說廢話直接上定義：
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別急著劃走，我會(huì)盡量用人話描述一下這大概是個(gè)什么概念。
試想一下有這么一家銀行提供一種存款服務(wù)，其年利率是百分之一百，并在每次取出時(shí)實(shí)時(shí)結(jié)算利息。也就是說今天存入，一年后取出你手上將有百分之二百的本金。如果你存入不夠一年，那么利率將（已存入時(shí)間/一年時(shí)間）進(jìn)行計(jì)算。也就是說存入半年再取出你手上的錢就變成了1.5倍的本金。聰明的你應(yīng)該想到了，如果這個(gè)時(shí)候再把錢存入，也到一年的時(shí)間的時(shí)候，同樣過了一年，這個(gè)時(shí)候手上的本金就變成了1.5*(1+0.5)倍的本金也就是2.25倍的本金。足足比把錢在銀行里放一年多了四分之一的收入。
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接下來，你可能會(huì)想，如果時(shí)間間隔更短會(huì)怎樣？
答案是收益自然會(huì)越高，但是這個(gè)增高是有極限的。當(dāng)你每四個(gè)月就取出再存入的話，年化收益率便來到了237%。每三個(gè)月取出再存入，年化收益率便來到了244%。你會(huì)注意到隨著時(shí)間間隔的縮短，總年化收益率的增加值是越來越少的，但仍然在增加。如果你在一個(gè)極限短的時(shí)間內(nèi)取出你的錢在把它存入，年化收益率會(huì)高到什么地步呢？
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這個(gè)問題的答案就是e，大概是272%
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當(dāng)然使用e這個(gè)數(shù)絕對(duì)不是為了上面這個(gè)應(yīng)用，因?yàn)槟阍谶@個(gè)世界既找不到有愿意陪你這么折騰的金融機(jī)構(gòu)（當(dāng)然如果有的話肯定是因?yàn)榻鹑跈C(jī)構(gòu)在每次操作的時(shí)候從手續(xù)費(fèi)上賺麻了）也沒有穩(wěn)定年收益率100%的銀行（如果有的話那一定是在騙你?[1]）
既然自然對(duì)數(shù)不是因?yàn)槟橙说哪婷畹念^腦風(fēng)暴而誕生的，那它一定有自己的便利之處。自然對(duì)數(shù)e在數(shù)學(xué)、科學(xué)、工程中都有很大的用處。但我畢竟只是個(gè)學(xué)工程的，對(duì)其他領(lǐng)域只能叫沒有理解（當(dāng)然對(duì)我自己的專業(yè)也只能叫毫無建樹），只能基于自己的妄想稍微瞎講一講。
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如果你認(rèn)可我的免責(zé)聲明，以及對(duì)我十分乏味的語言感興趣的話，那我們就繼續(xù)：
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并非所有的自然規(guī)律都是線性增長(zhǎng)的，線性增長(zhǎng)的有流體靜壓強(qiáng)：
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如果你將流體某點(diǎn)的靜壓強(qiáng)看作是其與液面的距離的因變量，那么可以說流體的靜壓強(qiáng)與深度是線性相關(guān)的（比如深度提升到兩倍，壓強(qiáng)也會(huì)提升到兩倍）。但并非所有的關(guān)系都是線性的，比如馬路上的汽車的懸掛系統(tǒng)對(duì)路面高度突然變化的響應(yīng)，比如你正在用于看我扯淡的電子設(shè)備內(nèi)部的濾波電路對(duì)突然發(fā)生的電壓變化的響應(yīng)，再比如引擎內(nèi)氣體溫度與壓強(qiáng)的關(guān)系，這些關(guān)系都不是線性的，并且都跟e多少有點(diǎn)關(guān)系。
舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子：
試想這么一個(gè)rlc電路:
讓我們簡(jiǎn)單應(yīng)用一下kcl和kvl，可以得到：
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和：
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對(duì)電感L來說，它兩端的電壓等于：
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對(duì)電容C來說，流過它的電流等于：
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其對(duì)輸入電壓的響應(yīng)等于電阻兩端的電壓，也等于電容兩端電壓，易得微分方程：
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將該式帶回(3)可得：
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將（6）帶回（1）可得：
我們就獲得了一個(gè)二次微分方程，可能你開始急了，這也沒有e啊。那你急早了，因?yàn)閑將出現(xiàn)在這個(gè)微分方程的解里。
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將（7）進(jìn)行拉普拉斯變化（一種魔法），并重排序，可得傳遞函數(shù)：
對(duì)于這樣得傳遞函數(shù)來說，將它從拉普拉斯得頻率域折回時(shí)間域后就可以得到這個(gè)傳遞函數(shù)在時(shí)間域下得響應(yīng)，對(duì)這個(gè)傳遞函數(shù)來說一般長(zhǎng)成：
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隨便填幾個(gè)常見的數(shù)值模擬一下：
以及我們可以模擬其對(duì)不同頻率的輸入的響應(yīng)
（這兩張圖是非常壞的示范，請(qǐng)不要模仿）
對(duì)于這種濾波電路的頻率響應(yīng)，指數(shù)函數(shù)對(duì)于描述它們的特性提供了非常多的幫助。
當(dāng)然以e為底還有許多好處，例如更方便的對(duì)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行微分，換底公式特性啊，更均勻的圖像分布啊，不過這些都是別的話題了。
References
[1]????D. H. M. J. B. Pyle, Interest Rate Risk and the ? ? Regulation of Financial Institutions, National Bureau of Economic Research, ? ? 1978.
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