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1.拓撲、拓撲空間的定義。

①拓撲實際就是開集系，只不過這里的“開集”是廣義的“開集”。（例如IR中半開半閉區(qū)間在拓撲意義下也是開集）

②τ中的元素叫開集，開集的補集是閉集。存在既開又閉的集合，也存在既不開也不閉的集合。

2.各種空間的包含關系示意圖（“4足球1橄欖球”）

3.兩個平凡的拓撲：

①離散拓撲：P(x)?！扒玫姆鬯椤薄?/p>

②密著拓撲：｛X,?｝?！盎煦缥撮_”。

4.可度量化（正好借助“3”說明）

①可度量化的例子：離散拓撲由離散度量誘導。

IR?中通常度量下單點集是閉集，然而在離散度量下，任一單點集都可以找到等價鄰域，從而任一單點集是開集，從而是離散拓撲。

②不可度量的例子：｜X｜＞1的密著拓撲。

由于度量公理要求x≠y時，d(x,y)＞0，故取r=1/2d＞0，則在任何度量下單點集都有等價鄰域，從而是開集，從而與密著拓撲矛盾。

5.拓撲的強弱（從X是三點集的例子展示｛τ，?｝不是全序集）

6.有限補拓撲

①別忘∪?

②證明依靠de Morgan律