P4 1.3 行列式按行展開

拉普拉斯定理

P5 1.4 行列式的計(jì)算（一）

P6 1.4 行列式的計(jì)算（二）

三叉戟行列式(對(duì)，我故意的)

加邊變?nèi)骊?/p>

加邊不能改變?cè)辛惺降闹? 《在實(shí)際生活中很少運(yùn)用》

做法如圖↓

類三叉戟→三叉戟→上三角

字母要注意題目說沒說不等于0，不然不能直接把字母做分母

范德蒙德行列式

格式↓

行列式轉(zhuǎn)置：值不變

反對(duì)稱行列式and對(duì)稱行列式

格式如下↓

反對(duì)稱行列式，奇數(shù)階，D=0

偶數(shù)階如法炮制得到D=D，沒啥卵用

P7 1.5 克萊姆法則

只適用方程的個(gè)數(shù)=未知量的個(gè)數(shù)

克萊姆法則的解題過程

克萊姆法則計(jì)算量巨大，一般不用QAQ

它比較適合計(jì)算機(jī)

假設(shè)右邊的常數(shù)項(xiàng)全為0，叫齊次方程

齊次方程至少有零解（全為0的解）

定理二：齊次方程，且方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)，D≠0，只有零解

用克萊姆法則去證明

齊次方程（方程=未知量）有非零解 == D=0

P8 2.1 矩陣概念

矩陣的應(yīng)用

《貴圈真亂》

矩陣的定義

行列式是一個(gè)數(shù)，而矩陣是一個(gè)數(shù)表，這個(gè)一定要分清

行列式一定是方的，矩陣不一定

“其實(shí)行列式是方陣的一個(gè)屬性”

各種類型的矩陣

實(shí)矩陣和復(fù)矩陣我們這兒好像沒有這種說法

負(fù)矩陣、方陣、單位陣、同型矩陣

矩陣相同的前提是同型矩陣

兩個(gè)零矩陣一定相等嘛？

nope，它們的形狀不一定相等

如果是方陣，還是可以叫主對(duì)角線和次對(duì)角線

不是方陣就沒有

P9 2.2 矩陣運(yùn)算（一）

顯然，只有同型矩陣才能相加減（包括那個(gè)零矩陣）

矩陣的數(shù)乘和行列式的不一樣，行列式的數(shù)乘只是其中以行（列）加倍

矩陣相乘

矩陣乘法顛覆常識(shí)，因?yàn)榫仃噺?qiáng)調(diào)左乘右乘

可交換的矩陣一定是同階方陣

e.g.

將方程組轉(zhuǎn)換成矩陣求x1和x2

P10 2.2 矩陣運(yùn)算（二）

注意：一般都不相等，因?yàn)锳B！=BA

介個(gè)可以，因?yàn)锳E=EA（注意A得是方陣啊）

e.g.

女少口阿

轉(zhuǎn)置的性質(zhì)

P11 2.3 特殊矩陣（均為方陣）

數(shù)量矩陣：主對(duì)角線元素相等，其余地方為0

對(duì)角形：主對(duì)角線元素為a1、a2到an，其余為0

對(duì)角形矩陣可以用diag表示

左行右列

對(duì)稱陣和反對(duì)稱陣

對(duì)稱矩陣90%要用到的結(jié)論： A的轉(zhuǎn)置=A

AB的轉(zhuǎn)置不等于AB

定理一：A、B都是同階對(duì)稱矩陣，AB也是對(duì)稱矩陣 即 AB可交換

e.g.

證明對(duì)稱→就是證明A的轉(zhuǎn)置=A

反對(duì)稱要主對(duì)角線元素全為0

A的轉(zhuǎn)置=-A

P12 2.4 逆矩陣（一）

永遠(yuǎn)不要把矩陣放在分母上

方陣的行列式

性質(zhì)

e.g.

一個(gè)數(shù)在里面向外提要提n次

伴隨矩陣

只有方陣才有把伴隨矩陣

“按行求，按列放”

對(duì)任意方陣都成立

P13 2.4 逆矩陣（二）

任何方陣都有伴隨矩陣（√）

一個(gè)題：

挺有意思

逆矩陣

定理：A可逆的充要條件是|A|！=0，后面見圖，打不出來(lái)

求逆矩陣的方法

e.g.

這一步，首先，提2出來(lái)的時(shí)候要加一個(gè)E，然后x在右邊，提取出來(lái)后也只能放在右邊

后面乘A-2E的逆也是，必須兩邊都是左乘

但是。。。

A-2E一定可逆嘛？？？

∴要補(bǔ)一句話，判斷是否可逆，即行列式是否不等于0

（5）和（6）告訴我們，求逆用初等變換，別想些有的沒的

性質(zhì)：

這兩個(gè)公式（2）（3）都是普適的，沒有條件

P14 2.5 分塊矩陣

分塊不能亂分，一般按行分或按列分

標(biāo)準(zhǔn)形

標(biāo)準(zhǔn)型不一定是方的

倒數(shù)二三個(gè)不是標(biāo)準(zhǔn)形

前提是它們能夠相乘

基本不用背，都知道

e.g.

同學(xué)想法：經(jīng)典的錯(cuò)誤，標(biāo)準(zhǔn)的零分(′?_?`)

分塊矩陣求轉(zhuǎn)置

e.g.

拉普拉斯定理：取定k行，由k行元素組成的所有k階子式與代數(shù)余子式乘積之和等于D

然后求解

注意：矩陣中 BX4=0 推不出 B=0或X4=0

分塊矩陣推論：

P15 2.6 初等變換（一）

《兩者沒有任何關(guān)系》

《但是還是有一點(diǎn)關(guān)系》

A是方陣的時(shí)候，A的行列式和A的初等變換的行列式有關(guān)系

任何矩陣都可以通過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形

等價(jià)的性質(zhì)：

P16 2.6 初等變換（二）

初等方陣：

初等變換和初等方陣

初等變換是過程，初等方陣是結(jié)果

左行右列

一般涉及初等變換都會(huì)轉(zhuǎn)化成左（右）乘，尤其是證明題

e.g.證明題

A可以通過初等行變換和初等列變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，所以存在

推論

P17 2.6 初等變換（三）

只做初等行變換

A | E → E | A逆

注3：某列處理后，其對(duì)應(yīng)行不再主動(dòng)參與運(yùn)算

注4：注意符號(hào)為 → 而非 =

就是上面那個(gè)矩陣，化出來(lái) 0 0 0 ，不可逆

因?yàn)榫仃囆辛惺?= 0 ，第二行和第三行成比例

P18 2.7 矩陣的秩（一）

k階子式定義：

《非零子式的最高階數(shù)》

P19 2.7 矩陣的秩（二）

《降 智》

A是滿秩方陣，那么A的行列式不為0，所以A可逆

例子中，

5階的子式是四階代數(shù)余子式，四階都為0，所以5階都為0

★★★ 階梯形

例如下面這個(gè)矩陣0的個(gè)數(shù)沒有嚴(yán)格增加，∴不是階梯形

《三 步 宋 你 走》（bushi

求秩：首非零元數(shù) = 非零行行數(shù) = 矩陣的秩

初等變換不改變矩陣的秩

so，怎么求秩捏？

將A通過初等行變換化為階梯形，求非零行的行數(shù)

e.g.

r(A) = 3

性質(zhì)：

性質(zhì)2我們是不用的，一般用第三行那個(gè)

就是矩陣通過一系列初等變換，秩不變

應(yīng)該用在求秩的時(shí)候，把A化成階梯形的時(shí)候，要初等變換很多次，其秩是不改變的

附上打油詩(shī)一首↑

P20 3.1 n維向量及其運(yùn)算

vector

兩個(gè)向量相等：設(shè)兩個(gè)n維向量，如果它的對(duì)應(yīng)分量都相等，則這兩個(gè)向量相等。（同維相量）

P21 3.2 向量間的線性關(guān)系（一）

線性組合：

k是組合系數(shù)，可以全為0的

就是用一些向量（向量組）通過加減、數(shù)乘來(lái)表示目標(biāo)向量

一些重要結(jié)論

e.g.

向量組的等價(jià)

（1）反身性

（2）對(duì)稱性

（3）傳遞性

順便回顧一下矩陣的等價(jià)：

A經(jīng)過初等變換得到B 即 A和B等價(jià)

P22 3.2 向量間的線性關(guān)系（二）

線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)

線性相關(guān)和無(wú)關(guān)這塊注意可能考證明題

什么時(shí)候一定線性相關(guān)？

e.g.

第二排前半句條件，后半句是要你證明

下面是證明過程

然后得出第一排的結(jié)論

開 始 繞 了

整個(gè)向量組都沒關(guān)系，那你隨便怎么從中取向量，都不會(huì)有關(guān)系啊

（強(qiáng)扭的瓜不甜（bushi）

你前三個(gè)方程都只能是k全為0才有解，后面的看都不用看，對(duì)吧

∴線性無(wú)關(guān)的向量組，它的接長(zhǎng)向量也無(wú)關(guān)

同理，線性相關(guān)的向量組，它的截短向量組也相關(guān)

向量的個(gè)數(shù)等于向量的維數(shù)

（11）n維單位向量組線性無(wú)關(guān)

相關(guān)：k有非零解

無(wú)關(guān)：k只有零解

前面講的線性組合只要求有解就可

而線性相關(guān)要求必須有非零解

e.g.

P23 3.2 向量間的線性關(guān)系（三）

一套動(dòng)作行云流水，反過來(lái)證明了α是線性相關(guān)（至少有一個(gè)-1不為0）

再證明唯一性：

經(jīng)典假設(shè)不唯一，得相等，即為唯一

替換定理

向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)，必定相關(guān)

推論：兩個(gè)等價(jià)的線性無(wú)關(guān)組（A能用B表示，B也能由A表示）含向量個(gè)數(shù)相同

P24 3.3 向量組的秩（一）

極大線性無(wú)關(guān)組

盡可能少的留下數(shù)據(jù)，但能表示全部信息

因?yàn)槿绻?，α2相關(guān)，那α1也能用α2表示了

極大的含義是，若只有α1和α2，那么這個(gè)向量組里最多選擇兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，再多一個(gè)就線性相關(guān)了

一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組是這個(gè)向量組的所有線性無(wú)關(guān)組中所含向量個(gè)數(shù)最多的一個(gè)

定理：

1.全是零的向量組沒有極大無(wú)關(guān)組

2.一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組，它的極大無(wú)關(guān)組就是它本身

極大無(wú)關(guān)組不一定唯一，但所含向量個(gè)數(shù)一定一樣

向量組的秩

s是向量組的向量的個(gè)數(shù)

∴修改為↓

女少口阿

若這兩個(gè)向量組等價(jià)，則秩相等

P25 3.3 向量組的秩（二）

矩陣的行秩和列秩

行秩就是行向量組的秩，列秩就是列向量組的秩

行只有三行，秩最多只有三

列雖然比較多，但列向量是三維，秩最大還是三

證明就不展開了

例子中的1 和 1包含了改矩陣的所有信息，又可以看成是1 和 1所在的兩行，也可以看成是它們所在的兩列，即該矩陣的秩

推論和題型

最重要的題型

題型：求向量組a1,a2,a3,a4的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并用該極大線性無(wú)關(guān)組來(lái)表示所有其余向量

首先：

對(duì)矩陣A僅做初等行變換，化成矩陣B，那么A的列向量組與B的列向量組有完全相同的線性關(guān)系

線性關(guān)系：線性相關(guān)或無(wú)關(guān)

e.g.

女少口阿

好了，上題目

臥槽！

P26 4.1 線性方程組

線性方程組解方程

P27 4.2 線性方程組有解判定

系數(shù)矩陣和增廣矩陣

m是方程個(gè)數(shù)，n是未知量的個(gè)數(shù)

不相等直接0=1，無(wú)解

挪右邊記得變號(hào)

做題的時(shí)候可以把第一個(gè)和最后一個(gè)增廣矩陣的最后一列畫虛線，標(biāo)記一下

參數(shù)不能確定是否為0，要先進(jìn)行討論然后才能把參數(shù)放分母

P28 4.3 齊次方程組的解

齊次方程組最少有零解

P29 4.4 方程組解的結(jié)構(gòu)（一）

找出一部分解，可以表示全部的解 → 基礎(chǔ)解系

基礎(chǔ)解系就是極大線性無(wú)關(guān)組

解題過程

證明

e.g.

???

P30 4.4 方程組解的結(jié)構(gòu)（二）

性質(zhì)

e.g.

總結(jié)

e.g.

P32 5.1 矩陣的特征值和特征向量（一）

特征值與特征向量定義

注意A必須是方陣，λ是一個(gè)數(shù)

λ是一個(gè)數(shù)，所以不能直接減一個(gè)方陣，要乘一個(gè)E

Misery：解特征方程

結(jié)論：

一個(gè)特征值可以對(duì)應(yīng)無(wú)窮個(gè)特征向量，但一個(gè)特征向量只能對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值。

證明：

P33 5.1 矩陣的特征值和特征向量（二）

解題過程+一些技巧

求出λ（特征值）

求特征向量

下面是一個(gè)題完整的解題步驟

首先，個(gè)人認(rèn)為換成 |A-λE| 更好，避免算錯(cuò)

結(jié)論：n階對(duì)角形矩陣的特征值就是主對(duì)角線的n個(gè)元素

P34 5.1 特征值和特征向量的性質(zhì)

練習(xí)

沒錯(cuò)，特征向量就是右邊那個(gè)

????性質(zhì)一

注意：特征值一樣，但特征向量不一定相同

（零顆星）性質(zhì)二

???性質(zhì)三

證明過程

主對(duì)角線的和叫“跡”（雖然只用了這一次，但還是寫出來(lái)了）

性質(zhì)四

單個(gè)的o向量是線性相關(guān)，單個(gè)的非零向量是線性無(wú)關(guān)

性質(zhì)四證明過程：

性質(zhì)五

結(jié)論：不同特征值的無(wú)關(guān)的特征向量之間都線性無(wú)關(guān)

性質(zhì)六

K重特征根對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)小于等于K

其他性質(zhì)

?

e.g.

P36 5.2 相似矩陣和矩陣可對(duì)角化的條件

相似矩陣

反身性，對(duì)稱性，傳遞性（似曾相識(shí)的性質(zhì)）

性質(zhì)一：

逆命題不成立：特征值一樣不一定相似

性質(zhì)二：

性質(zhì)三：

注意右邊那個(gè)叉叉QAQ

正確做法↓

最后得出結(jié)果

注意：A和B的秩也是一樣的

左邊題的做法

對(duì)角形就是只有對(duì)角線上有數(shù)字，其他位置都為0

期末題目：

定理：

這個(gè)定理也就選擇題用用，因?yàn)橐笾?，?duì)后面的求特征值特征向量沒啥用

(?Д?≡?д?)!?

P37 5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化（一）

前面講的是必須有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量才能對(duì)角化

所有的實(shí)對(duì)稱矩陣都能對(duì)角化

一些定義

內(nèi)積

內(nèi)積是個(gè)數(shù)

向量模

P38 5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化（二）

模的性質(zhì)：

朝外提一個(gè)數(shù)k記得加絕對(duì)值

• 柯西-施瓦玆不等式

• 正交

注意：正交向量組不含零向量

定理＋證明

證明的時(shí)候注意正交向量組不含零向量

施密特正交化

咱也不知道為什么

寄就完事 記就完事

P39 5.3 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化 （二）

性質(zhì)：

定理+證明：

注意分塊矩陣怎么轉(zhuǎn)置的

先行向量變列向量，再每個(gè)塊轉(zhuǎn)置

━━━∑(?□?*川━

例題：

━━━∑(?□?*川━ *2

實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

定理：實(shí)對(duì)稱矩陣A的不同特征值的特征向量正交

普通矩陣:不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量一定線性無(wú)關(guān)

定義：正交相似

正交矩陣一定可逆，甚至逆矩陣是誰(shuí)都知道了（A逆=A轉(zhuǎn)置）

所以正交相似一定相似

n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的每個(gè)特征值入i的重?cái)?shù)ki等于對(duì)應(yīng)的入i的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)

注意普通矩陣對(duì)角化要滿足一定條件（有n個(gè)無(wú)關(guān)的特征向量），但實(shí)對(duì)稱矩陣一定能對(duì)角化

做題過程

QAQ

先前講過，實(shí)對(duì)稱矩陣的這些單根對(duì)應(yīng)的特征向量已經(jīng)是正交了，所以不用史密斯正交化

有重根的，只有重根對(duì)應(yīng)的特征向量需要正交化

然后再單位化

一道例題的過程

P40 6.1 二次型定義

判斷：第一個(gè)有三次，第二個(gè)不是，第三個(gè)有常數(shù)

二次型→矩陣表達(dá)式

女少口阿

二次型的矩陣一定是對(duì)稱的（A的轉(zhuǎn)置 = A）

注意有坑，下面這個(gè)題不是二次型矩陣，不要看著像是對(duì)稱的，上來(lái)就背做法

然后改一下就是二次型了

標(biāo)準(zhǔn)型定義

標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)還可以取0

線性替換

如果C可逆，叫可逆替換（非退化替換），C不可逆就是退化替換

就是說可能需要做兩次替換

驗(yàn)證了B（C轉(zhuǎn)置AC）是對(duì)稱的

合同

定義

性質(zhì)

反身性，對(duì)稱性，傳遞性 （似曾相識(shí)燕歸來(lái)……）

腦梗：P1、P2不一樣

性質(zhì)

其實(shí)都挺好證的（就用C轉(zhuǎn)置AC = B就行）

可逆那個(gè)看一下↓

矩陣的關(guān)系：等價(jià)、相似、合同

轉(zhuǎn)置和本身相乘得E就是正交（且 A的轉(zhuǎn)置=A逆）

正交相似一定是相似，也一定是合同

相似、合同、正交相似一定等價(jià)

P41 6.2 二次型化標(biāo)準(zhǔn)型（配方法）

第三種方法和之前的是對(duì)稱矩陣對(duì)角化一模一樣

配方法

先x1，再x2，最后x3

算出來(lái)之后，用y表示x QAQ

《只有交叉項(xiàng)的》

《只有交叉項(xiàng)，還?四個(gè)變量》

固定技巧

P41 6.2 二次型化標(biāo)準(zhǔn)型（初等變換法和正交替換法）

對(duì)A、E做同樣的初等列變換

只對(duì)A做相應(yīng)的初等行變換

什么是“相應(yīng)的”？

之前做的什么列變換，之后就做什么樣的行變換

注意一次列變換緊跟著一次行變換

然后就可以得到對(duì)角形遼

e.g.

A化為標(biāo)準(zhǔn)形，下面得到C

規(guī)范形

第三個(gè)不是，x3無(wú)了，說明它的系數(shù)是0，不是規(guī)范形格式

慣性定理：任意一個(gè)二次型都可以通過非退化的線性替換化成規(guī)范形

正慣性指數(shù)：簡(jiǎn)稱正慣數(shù)，是 線性代數(shù) 里 矩陣 的正的 特征值 個(gè)數(shù)，也即是規(guī)范型里的系數(shù)"1"的個(gè)數(shù)。

負(fù)慣性指數(shù)

↑一般考個(gè)填空題

合同的充要條件：相同的秩，相同的正（負(fù)）慣性指數(shù)

正交替換

似曾相識(shí)燕歸來(lái)

一般出題老師不辯太的話，不會(huì)出這個(gè)的，計(jì)算量太大了

P43 6.3 有定性

各種“定”的定義

有定的

正定（恒大于零），半正定（大于等于零）

負(fù)定（一定是負(fù)的），半負(fù)定（小于等于零）

還有不定的，有正有負(fù)的

這個(gè)題有坑，沒說原來(lái)到底有幾個(gè)x，所以不知道有沒有x前面的系數(shù)為0

e.g.

↑正定就是x前面的系數(shù)均大于0

P44 6.3 有定性的判別

這個(gè)結(jié)論其實(shí)用的不多

下面這些結(jié)論用的多一點(diǎn)

這些都是充要條件

后面這個(gè)是充分條件

又來(lái)一個(gè)充要條件

各階順序主子式（下面那一坨）

畫圈那個(gè)是充要條件

e.g.

性質(zhì)

A正定，A逆也正定

∵A的特征值都是正的，∴A逆的特征值（A的特征值取倒數(shù)）也都是正的

A正定，A*也正定

同樣是用特征值證明的

3.A正定，A的k次方也正定

用的合同

主對(duì)角線元素大于0，只能正推，主對(duì)角線大于0不一定A正定

上面是證明過程

P45 7.1 線性空間

數(shù)域概念

關(guān)鍵詞：這部分出題基本沒發(fā)出

P46 7.2 基、維數(shù)、坐標(biāo)

好像就這點(diǎn)內(nèi)容

過渡矩陣

定義

注意是從誰(shuí)到誰(shuí)的過渡矩陣