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身體不舒服，斷斷續(xù)續(xù)地整理的，高等數(shù)學的定義是比較多，比較簡單的，為了踏實還是全部耐著性子整理一遍，區(qū)別就是，難一點的內(nèi)容以后再花時間反復，簡單的內(nèi)容，重復的概率就不太大了。數(shù)學放了太久，需要溫習。

第 一章? 函數(shù)與極限

第一節(jié) 映射與函數(shù)

一、集合

a.集合概念

概念：

• 集合（簡稱集）：所謂集合（簡稱集）是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，組成這個集合的事物稱為該集合的元素（簡稱元）。

• 有限集：只有有限個元素的集合稱為有限集。

• 無限集：不是有限集的集合稱為無限集。

• 表示集合的方法：

• 列舉法：把集合的全體元素一一列舉出來表示；

• 描述法：集合M是由某種具有性質(zhì)P的元素x的全體所組成的，就可表示為

• 對于數(shù)集，有時我們在表示數(shù)集的字母的右上角標上“*”來表示該數(shù)集內(nèi)排出0的集，標上“+”來表示該數(shù)集內(nèi)排出0與負數(shù)的集；

• 習慣上，全體非負整數(shù)即自然數(shù)的集合記作N，即

• 全體正整數(shù)的集合為

• 全體整數(shù)的集合記作Z，即

• 全體有理數(shù)的集合記作Q，即

• 全體實數(shù)的和記作R，R*為排除數(shù)0的實數(shù)集，R+為全體正實數(shù)的集。

• 子集：設A、B是兩個集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作

• 相等：如果集合A與集合B互為子集，即

????——則稱集合A與集合B相等，記作A=B。

• 真子集：若

????——則稱A是B的真子集，記作

• 空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作?，且規(guī)定空集?是任何集合A的子集。

b.集合的運算

概念：

• 并：設A、B是兩個集合，由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的并集（簡稱并），記作

• 交：由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的交集（簡稱交），記作

• 差：由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的差集（簡稱差），記作

• 全集或基本集：有時我們研究某個問題限定在一個大的集合I中進行，所研究的其他集合A都是I的子集，此時，我們稱集合I為全集或基本集。

• 余集或補集：I為全集，稱I\A為A的差集或補集，記作

• 直積或笛卡爾（Descartes）乘積：設A、B是任意兩個集合，在集合A任意取一個元素x，在集合B中任意取一個元素y，組成一個有序?qū)?x,y)，把這樣的有序?qū)ψ鳛樾碌脑?，它們?nèi)w組成的集合稱為集合A與集合B的直積，記為AxB，即

  
  

運算律：

c.區(qū)間與鄰域

概念：

• 開區(qū)間：設a和b都是實數(shù)，且a<b，數(shù)集{x|a<x<b}稱為開區(qū)間，記作(a,b)，即(a,b)={x|a<x<b}。a和b稱為開區(qū)間(a,b)的端點，這里

• 閉區(qū)間：設a和b都是實數(shù)，且a<b，數(shù)集{x|a<=x<=b}稱為閉區(qū)間，記作[a,b]，即[a,b]={x|a<=x<=b}。a和b稱為閉區(qū)間[a,b]的端點，這里

• 半開區(qū)間：[a,b)={x|a<=x<b}，(a,b]={x|a<x<=b}都稱為半開區(qū)間。

• 有限區(qū)間：以上區(qū)間都稱為有限區(qū)間，數(shù)b-a稱為這些區(qū)間的長度，從數(shù)軸上看，這些有限區(qū)間是長度為有限的線段。

• 無限區(qū)間：引進記號+∞（讀作正無窮大）及-∞（讀作負無窮大），則可類似地表示無限區(qū)間[a,+∞)={x|a<=x}，(-∞,b)={x|x<b}。

• 鄰域：以點a為中心的任何開區(qū)間稱為點a的領域，記作U(a)。

• 去心鄰域：設δ是任一正數(shù)，則開區(qū)間(a-δ.a+δ)就是點a的一個鄰域，這個鄰域稱為點a的δ鄰域，記作U(a,δ)，即

????——點a稱為這鄰域的中心，δ稱為這鄰域的半徑；

????由于a-δ<x<a+δ相當于|x-a|<δ，因此

????——因為|x-a|表示點x與點a間的距離，所以U(a,δ)表示：

????——與點a的距離小于δ的一切點x的全體。

• 去心δ鄰域：點a的δ鄰域去掉中心a后，稱為點a的去心δ鄰域。記作

• a的左δ鄰域：開區(qū)間(a-δ,a)稱為a的左δ鄰域。

• a的右δ鄰域：開區(qū)間(a,a+δ)稱為a的右δ鄰域。

• 兩個閉區(qū)間的直積：

????——即為xOy平面上的一個矩形區(qū)域，

????——這個區(qū)域在x軸與y軸上的投影分別為閉區(qū)間[a,b]和閉區(qū)間[c,d]。