整理史濟(jì)懷老師視頻課中關(guān)于常微分方程的內(nèi)容，然后聊“效用最大化和消費(fèi)者選擇”。

part 1 史濟(jì)懷老師視頻課微分方程部分

&2.一階微分方程

一階微分方程——形如F（x，y，y'）=0的關(guān)系式——y為未知函數(shù)，x為自變量，含有y的一階導(dǎo)數(shù)的方程。

&2.4可降階的二階線性方程

先把之前聊過的內(nèi)容復(fù)習(xí)一下——

線性方程——顧名思義，就是里面每一個(gè)含未知量x的項(xiàng)都是一次的。

原因在于，F(xiàn)（x）=ax+b=a1x1+a2x2+……+anxn+b，所生成的圖像是一條直線，顧名思義，線性函數(shù)，于是形如0=ax+b就是線性方程了，這也是為什么，在常微分方程課程中，線性代數(shù)的內(nèi)容依然很重要的原因。

非線性方程，往往可以采取局部分析的方法，轉(zhuǎn)化為線性方程，所以線性方程可以說是微分方程的基礎(chǔ)內(nèi)容。

二階線性微分方程——形如F（x，y，y'，y''）=0的微分方程。

特別的，有兩種形式的二階線性微分方程可以降階成一階線性微分方程，今天先說第一種。

類型一：若方程不顯含未知函數(shù)，即F（x，y'，y''）=0。

解法——

1. 令y'=p，所以y''=p'；

2. 原方程化為F（x，p，p'）=0?！癁榱艘粋€(gè)關(guān)于x、p的一階微分方程；

3. 我們解出p，再對p進(jìn)行積分即可。

例子——解方程xy''+y'=4x

解——

a.先將目標(biāo)方程化為一階線性方程——

1. 令y'=p，所以y''=p'；

2. 原方程化為xp'+p=4x；

3. 將2中方程左右同乘1/x：dp/dx+p/x=4——一階線性微分方程，其中P（x）=1/x，Q（x）=4。

b.找出該一階線性微分方程對應(yīng)的齊次方程dp/dx+p/x=0的通解——

1. 移項(xiàng)可得：dp/p=-dx/x；

2. 兩邊積分：ln|p|=ln1/|x|+C1；

3. 因?yàn)镃1為任意實(shí)數(shù)，可以取到適當(dāng)?shù)腃1，使得p=c/x。

c.找出該一階線性微分方程的一個(gè)特解——

1. 設(shè)特解p=u（x）e^（-∫?P（x）dx）=u（x）/x——其中u（x）為關(guān)于x的未知待定函數(shù)；

2. 由1，dp/dx=[xu'（x）-u（x）]/x^2；

3. 將1,2代入原方程：dp/dx+p/x=[xu'（x）-u（x）]/x^2+u（x）/x^2=u'（x）/x=4；

4. 由3，u'（x）=4x，即u（x）=2x^2+C2——其中C2為任意常數(shù)，為了方便，我們?nèi)2=0；

5. 綜上，求出該方程一個(gè)特解p=2x。

d.將a中的通解與b中的特解相加即為該方程的通解——

解得p=2x+c/x。

e.由p解得y——

1. y'=p=2x+c/x；

2. 兩邊積分：y=x^2+cln|x|+c'。

part 2?經(jīng)濟(jì)學(xué)概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟(jì)學(xué)》第三章：效用論——

引入了效用的概念——

效用——效用是指對商品滿足人的欲望的能力評價(jià)，或者說，效用是指消費(fèi)者在消費(fèi)商品時(shí)，所感受到的滿意程度?！环N主觀心理評價(jià)。

效用的度量——

1. 基數(shù)效用論：邊際效用分析方法——“效用單位”：表示效用大小的計(jì)量單位。

2. 序數(shù)效用論：無差異曲線分析方法——效用不可以具體度量，只能排序。

消費(fèi)者的最優(yōu)購買選擇行為必須滿足兩個(gè)條件——

1. 最優(yōu)的商品購買組合必須是消費(fèi)者最偏好的商品組合。也就是說，最優(yōu)的商品購買組合必須是能夠給消費(fèi)者帶來最大效用。

2. 最優(yōu)的商品購買組合必須位于給定的預(yù)算線上。

消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)效用最大化的均衡點(diǎn)——預(yù)算線與無差異曲線的切點(diǎn)，即這一點(diǎn)這兩條線斜率相等。

已知，無差異曲線的斜率的絕對值就是兩商品的邊際替代率MRS12，預(yù)算線的斜率的絕對值可以用兩商品的價(jià)格之比P1/P2來表示，因此，在均衡點(diǎn)有MRS12=P1/P2——

這就是消費(fèi)者效用最大化的均衡條件。它表示：在一定的預(yù)算約束下，為了實(shí)現(xiàn)最大化的效用，消費(fèi)者應(yīng)該選擇最優(yōu)的商品組合，使得兩商品的邊際替代率等于兩商品的價(jià)格之比。也可以這樣理解：在消費(fèi)者的均衡點(diǎn)上，消費(fèi)者愿意用一單位的某種商品區(qū)交換的另一種商品的數(shù)量（即MRS12），應(yīng)該等于該消費(fèi)者能夠在市場上用一單位的這種商品區(qū)交換得到的另一種商品的數(shù)量（即P1/P2）。

今天先到這里！