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三角函數(shù)下下題—— y=Asin(ωx+φ)。五個(gè)字，爆殺一切“難”題！

沒(méi)錯(cuò)，就是整體換元法！

Part 1：A ω φ 的作用

A控制上下的放縮。如下圖，A越大，函數(shù)“越高”。

ω (omega) 控制左右的放縮。如下圖，ω越大，函數(shù)“越窄”。

φ (phi) 控制左右的平移。

其中最重要的參數(shù)是ω。

Part 2:ω的理解

上面說(shuō)過(guò)，ω控制左右的放縮，那么它與周期有什么關(guān)系嗎？答案是有，并且很大。最小正周期（以下簡(jiǎn)稱周期） T 只由 ω 決定。其關(guān)系如下。

看道簡(jiǎn)單但不是最簡(jiǎn)單的例題。（下面那道）

• 首先判斷出周期 T 的范圍
• 由T=2π / |ω|，因?yàn)棣?gt;0，直接解出ω的范圍即可。

再來(lái)一道，也挺簡(jiǎn)單。（最下面一道）

• 首先單調(diào)區(qū)間長(zhǎng)度肯定小于等于二分之 T （一個(gè)周期是一段增一段減）
• 于是代入T=2π / ω，得到ω<=12
• 再看x=π/4是對(duì)稱軸，代入對(duì)稱軸的通式（可以看上一個(gè)視頻），于是ω*π/4=π/2+kπ （k為整數(shù)）
• 解得ω=2+4k。結(jié)合ω<=12，得ω最大為10。

Part 3:三角函數(shù)上上策——整體換元法

為什么要整體換元？

因?yàn)閥=sin x 的圖像以及一切性質(zhì)都非常簡(jiǎn)單，而y = A sin(ωx+φ) 的圖像則難以畫(huà)出。即使可以用五點(diǎn)作圖法，仍然要花費(fèi)很多時(shí)間。

那么，怎么換？答案是令 t=ωx+φ。這樣函數(shù)就是y=Asin t 了。

對(duì)于一切Asin(ωx+φ) 類的函數(shù)題，無(wú)腦換元，沒(méi)有做不出來(lái)的。

仍然看超簡(jiǎn)單例題一道。（考點(diǎn)：極值點(diǎn)與零點(diǎn)

• 首先用x的范圍求出t的范圍
• 然后研究f(x)=sin t 滿足題目條件時(shí) t 的范圍
• 最后用 t 反解出x

再來(lái)一道考周期對(duì)稱的。

• 遇周期范圍，代入求出ω范圍。
• sin t =0，則(t,0)就是對(duì)稱點(diǎn)，并且 t=kπ。于是代入x=3π/2（別搞混x與t，t是換元后的）
• 解出ω，因?yàn)?<ω<3（由周期），發(fā)現(xiàn)ω只有一個(gè)值2.5
• 最后直接代入

再來(lái)單調(diào)性，雖然一哥說(shuō)有點(diǎn)難，但這題還是非常模板性的。

• 仍然是換元，求出 t 的范圍。
• 注意！如果ω<0，那么 t 會(huì)隨 x 增大而遞減。想要 y 隨著x增大而遞減，求的要是cos t 的遞增區(qū)間。（好好理解一下）
• 那么這種題怎么做？只要用函數(shù)的奇偶性把ω?fù)Q成正的就行啦
• 減區(qū)間有通式（仍然上一個(gè)視頻），直接帶入。
• 然后因?yàn)棣匾欢ù嬖谇掖笥?，求出k只能等于0，于是得解。

Part 4：廣告

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