上一篇我們闡述了數(shù)的由來(lái)、進(jìn)制的演化，按照小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)模式，自然而然地就進(jìn)入“四則運(yùn)算”，包含：加、減、乘和除。但是，這些運(yùn)算的基礎(chǔ)默認(rèn)了“1+1=2”的概念。這是一個(gè)特別“強(qiáng)”的前提定義，必須要保證兩個(gè)“1”描述的是同一種可疊加的量，這種量被稱為“外延量”（程度大或廣、能被一眼看出來(lái)的量，如：長(zhǎng)度、時(shí)間、重量、體積、面積、價(jià)格等），與之相對(duì)的是“內(nèi)涵量”（描述物質(zhì)的內(nèi)稟屬性，一般都帶有“率”或“度”，如：密度、溫度、速度、利率等）。由此，描述數(shù)字，必須還要注重對(duì)“量”的理解，與此同時(shí)，和“量”匹配的單位顯得尤為重要。

還是以“1+1=2”為出發(fā)，以下幾種都是理解上的“誤區(qū)”，但恰恰是這些誤區(qū)能讓我們更好地理解這么一個(gè)“看似簡(jiǎn)單”式子背后的“數(shù)學(xué)概念”。誤區(qū)一：1攝氏度的1升液態(tài)水混合1攝氏度的1升液態(tài)水，最后得到2攝氏度的2升液態(tài)水（錯(cuò)誤在于溫度的不可加性）。誤區(qū)二：小明乘坐客車以1公里每分鐘的速度回家，而客車的某種燃料可以提高速度，每小時(shí)增加1公里，則小明乘坐帶此燃料的客車，實(shí)際速度是2公里每分鐘（錯(cuò)誤在于單位的不一致性）。誤區(qū)三：1升沙子加1升水，最后是2升的沙子和水（錯(cuò)誤在于物質(zhì)的不一致性）。誤區(qū)四：小紅的蘋果數(shù)量是小丁的2倍，小黃是小紅的3倍，則小黃是小丁的5倍（錯(cuò)誤在于倍率關(guān)系的不可加性）。諸如此類，還有很多。

因此，運(yùn)算的“意義”是“含有單位（嚴(yán)格意義是量綱）”的“量”計(jì)算。量可以分為離散量和連續(xù)量，連續(xù)量可再細(xì)分為外延量和內(nèi)涵量，內(nèi)涵量里又有度和率（引自遠(yuǎn)山啟《數(shù)學(xué)與生活2》）。

了解了“1+1=2”的基礎(chǔ)內(nèi)涵，從最原始的“數(shù)字符號(hào)”的起源之初，便奠定了運(yùn)算的基礎(chǔ)。當(dāng)然，如果只是從數(shù)字上表達(dá)，這個(gè)式子也只有在進(jìn)制大于2的運(yùn)算中是正確的，在二進(jìn)制中的結(jié)果應(yīng)該為“10”，這是需要注意的。

數(shù)字的起源之初，便形成了1,2,3,……的數(shù)，后引入“虛無(wú)”的概念有了0，從而構(gòu)建起了自然數(shù)集。從純數(shù)字運(yùn)算上來(lái)說(shuō)，加法和乘法在自然數(shù)集中是封閉的（運(yùn)算的“封閉”可以理解為：某個(gè)集合中的任意兩個(gè)元素，經(jīng)過(guò)某種運(yùn)算得到的結(jié)果仍屬于這個(gè)集合）?，F(xiàn)代意義上，很容易把“乘法”當(dāng)成多次“加法”的疊加，這似乎是有失偏頗的，這兩種基于的運(yùn)算基礎(chǔ)本身就是不一樣的，不過(guò)在本文的描述中為了簡(jiǎn)化，我們對(duì)此不作過(guò)多的闡述。

既然加法和乘法的封閉性對(duì)于自然數(shù)集是滿足的，容易想到，那它們的逆運(yùn)算“減法”和“除法”的封閉性又有什么體現(xiàn)呢？當(dāng)我們觀察自然數(shù)集的時(shí)候，若要使得其對(duì)減法封閉，就必須要有負(fù)整數(shù)的引入，從而得到整數(shù)集，也就是說(shuō)“整數(shù)集是滿足減法封閉的”。進(jìn)而，除法封閉就給出了“p/q（p和q為整數(shù)且q不為0）”的概念，這恰好是“有理數(shù)集”。這似乎是數(shù)字集合需要外拓的“內(nèi)在”驅(qū)動(dòng)力。

這樣就不難看出，若某集合的子集對(duì)某運(yùn)算是封閉的，其本身對(duì)此運(yùn)算也是封閉的。進(jìn)一步來(lái)說(shuō)，如果將運(yùn)算視為某種“映射”的過(guò)程，則除了基本的四則運(yùn)算外，還有各種紛雜繁復(fù)的“序列”，從而可能存在數(shù)集“規(guī)?！钡目s小或放大。進(jìn)一步來(lái)講，乘法或除法的多次就形成了冪運(yùn)算，這可以串聯(lián)起等比數(shù)列（特殊或含有一定規(guī)律的一種數(shù)集），而冪運(yùn)算的逆運(yùn)算就是“根式”運(yùn)算。有理數(shù)集對(duì)于根式運(yùn)算（不考慮負(fù)數(shù)）是不封閉的，考慮加入“根式型”無(wú)理數(shù)，則達(dá)到了數(shù)集的擴(kuò)展，但還沒(méi)有構(gòu)成“實(shí)數(shù)”，這是因?yàn)橛行┨厥獾臒o(wú)理數(shù)：歐拉數(shù)e和圓周率π等都是非根式型無(wú)理數(shù)，但都是實(shí)數(shù)家庭的“一份子”。所以實(shí)數(shù)對(duì)根式運(yùn)算也是封閉的。這里面的根式運(yùn)算是“特定的”，因?yàn)樗鲆暳素?fù)數(shù)的根式，也很難想出它所代表的數(shù)學(xué)含義。

也就是說(shuō)，實(shí)數(shù)基本上滿足了所有最為基本的運(yùn)算，如：加、減、乘、除、冪、特定的根式等，且是封閉的。有了具體的數(shù)字，從而就形成了代數(shù)運(yùn)算來(lái)描述實(shí)際問(wèn)題，從一元一次、二元一次、一元二次等發(fā)展，一元三次方程的通解似乎迎來(lái)了“曙光”，但這背后的故事也頗為有趣。最終，一元三次方程的通解中也出現(xiàn)了“負(fù)數(shù)的根式”，這似乎是對(duì)“特殊的根式”運(yùn)算有著“回答”，從而有了與實(shí)數(shù)“亦敵亦友”的虛數(shù)概念。數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充到復(fù)數(shù)領(lǐng)域，而這個(gè)領(lǐng)域從原有單一的實(shí)（數(shù)）軸也添加了垂直于它的虛（數(shù)）軸，構(gòu)成了一個(gè)二維空間的“數(shù)”，更好的說(shuō)法其實(shí)是“向量”，是既有大小又有方向的數(shù)。歐拉公式將虛無(wú)（0）、存在（1）、歐拉數(shù)（e）、圓周率（π）和虛數(shù)單位（i）合成了著名且極其美妙的“歐拉公式”，開(kāi)辟了全新的領(lǐng)域，也將對(duì)運(yùn)算的“奧秘”有了更深層次的理解。計(jì)算機(jī)的發(fā)展離不開(kāi)二進(jìn)制中的0和1，現(xiàn)代信號(hào)處理離不開(kāi)傅里葉變換中的e、π和i……“運(yùn)算”在其中也發(fā)揮著自身無(wú)限的魅力。

當(dāng)然，我只是以“數(shù)集”的擴(kuò)充來(lái)作為運(yùn)算的一個(gè)例子，并進(jìn)行了簡(jiǎn)單粗暴的描述。其實(shí)，集合中的元素不一定是數(shù)，也有可能是數(shù)的集合，也有可能是向量或矩陣，也有可能是物品或種群，也有可能是圖像或動(dòng)畫，也有可能是詩(shī)歌或小說(shuō)等等，諸如同一類的都可以歸納成集合，這需要特別注意。但任何集合中的元素盡量都要有“部分共性”或“一致共性”，而尋找并研究清楚其中的“共性”和除去“共性”外的“特性”，便是各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的專屬工作。否則，缺少共性的集合本身可能就是“一盤散沙，沒(méi)走幾步就散了”，每個(gè)元素都承擔(dān)著截然不同的角色，也便失去了“溝通”和“交流”，研究意義和質(zhì)量也將大打折扣。

從理解“1+1=2”開(kāi)始了解運(yùn)算的“奧秘”，這中間并沒(méi)有看上去或聽(tīng)上去那么“簡(jiǎn)單”。數(shù)字其實(shí)也不僅僅是數(shù)字，它們更像是古代與現(xiàn)代的碰撞、靈魂與思想的對(duì)話，運(yùn)算也不僅僅是運(yùn)算，它們更像是打破學(xué)科分支的鴻溝、搭建現(xiàn)代科學(xué)的基石。