三百多年來(lái)，費(fèi)馬大定理吸引了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家，最終由英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯在1993年給出證明（后因發(fā)現(xiàn)缺陷于1995年給出完整證明）。這個(gè)最初因“業(yè)余”數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在《算術(shù)》空白處標(biāo)注的問(wèn)題，開(kāi)辟了數(shù)學(xué)更深的領(lǐng)域。現(xiàn)在，讓我們?cè)倩氐侥莻€(gè)激動(dòng)人心的時(shí)刻。

撰文?|?Marianne Freiberger、Rachel Thomas

翻譯?|?小聰

審校?|?深淺

“我想就停在這里吧。”就這樣在1993年6月23日，安德魯·懷爾斯結(jié)束了他的系列講座，報(bào)告廳里頓時(shí)掌聲雷動(dòng)。懷爾斯剛剛宣布他證明了一個(gè)困擾了數(shù)學(xué)家350年的難題：費(fèi)馬大定理的證明。

? ? 潦草的批注

費(fèi)馬大定理的形式為：

其中n是自然數(shù)。那么是否存在非零自然數(shù)x, y, z滿足這個(gè)方程？當(dāng)n=2時(shí)答案是肯定的，事實(shí)上存在無(wú)窮個(gè)這樣的三元組，稱為勾股數(shù)，因?yàn)檫@樣的數(shù)組滿足直角三角形的勾股定理。

17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬（Pierre de Fermat）認(rèn)為，當(dāng)指數(shù)n>2的時(shí)候上述方程不存在整數(shù)解。1637年他在一本數(shù)學(xué)書的空白處寫道，他找到了一種極好的證明方法，可惜頁(yè)邊太窄了寫不下。這些潦草的標(biāo)注嘲弄了數(shù)學(xué)家很長(zhǎng)時(shí)間——懷爾斯就是其中之一。

“我第一次看到費(fèi)馬大定理是在一本書的封面上，當(dāng)時(shí)我大概十歲?！睉褷査拐f(shuō)道，現(xiàn)在他是牛津大學(xué)數(shù)學(xué)系的教授?！拔冶贿@個(gè)問(wèn)題背后浪漫的故事吸引住了，所以我在少年時(shí)期，甚至在大學(xué)里花了很長(zhǎng)時(shí)間嘗試解決它。但是當(dāng)我成為一名專業(yè)數(shù)學(xué)家之后，我意識(shí)到不應(yīng)該把這件事當(dāng)成一個(gè)工作，因?yàn)榭赡艿貌坏饺魏谓Y(jié)果?！?/p>

然而，在20世紀(jì)80年代中期，數(shù)學(xué)家弗雷?(Gerhard Frey)、塞爾?(Jean-Pierre Serre)?和里貝特?(Ken Ribet)?的工作提供了一種解決費(fèi)馬大定理的新方法。這種方法表明，如果你能證明另一個(gè)被稱為模猜想 (也被稱為谷山-志村-韋爾猜想)?的命題，那么你也就自動(dòng)證明了費(fèi)馬大定理。

“第一次聽(tīng)到這個(gè)消息時(shí)我是持懷疑態(tài)度的，但是當(dāng)里貝特證明了二者之間的聯(lián)系的時(shí)候，我完全被吸引住了，我立刻放下一切事情，直接轉(zhuǎn)向?qū)M(fèi)馬大定理的研究。”懷爾斯說(shuō)道。他獨(dú)自一人默默無(wú)聞地研究這個(gè)問(wèn)題長(zhǎng)達(dá)七年時(shí)間，這對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)是很不尋常的?！昂苌儆腥嗽敢庠谝粋€(gè)問(wèn)題上花費(fèi)這么長(zhǎng)時(shí)間，真正致力于解決一個(gè)問(wèn)題需要一定的個(gè)性。剛開(kāi)始我還會(huì)稍微提一下我在做的事情，但是后來(lái)我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我說(shuō)我在做這件事的時(shí)候會(huì)得到很多意想不到的關(guān)注，就很難保持平靜，因此我覺(jué)得不動(dòng)聲色地做這件事是更明智的?！?/p>

? ? 激動(dòng)人心的氛圍

懷爾斯最終證明了模塊化猜想，在足夠普適的假定下證明費(fèi)馬大定理也是正確的。1993年6月23日，他公開(kāi)了他的證明。他是在一系列會(huì)議結(jié)束時(shí)公布的，沒(méi)有人知道這是他特意準(zhǔn)備的。

來(lái)自劍橋大學(xué)的科爾納?(Tom K?rner)?有幸參與了這次報(bào)告，他說(shuō)道，“各種消息不脛而走，我不知道人們是真的知道，或者僅僅是猜測(cè)。因此我問(wèn)安德魯?shù)膶W(xué)生如果我錯(cuò)過(guò)這場(chǎng)報(bào)告，我是否會(huì)感到遺憾，他回答，是的?，F(xiàn)場(chǎng)的氣氛太令人激動(dòng)了?！?/p>

“在報(bào)告的最后，安德魯寫下了費(fèi)馬大定理的內(nèi)容，并表明了他所做的工作足以證明它?，F(xiàn)場(chǎng)響起了熱烈的掌聲。然后專家們站起來(lái)提出了問(wèn)題，這些問(wèn)題表明，盡管證明的細(xì)節(jié)還有待徹底核實(shí)，但這是一種非常合理的解決問(wèn)題的方法。這也是一種新方法。所以無(wú)論成功與否，它都為數(shù)學(xué)增添了大量?jī)?nèi)容?！?/p>

懷爾斯回憶說(shuō)：“一方面，我對(duì)展示?(結(jié)果)?感到非常激動(dòng)，但另一方面，第一次(分享我的工作)總是會(huì)感到緊張。你已經(jīng)思考這個(gè)問(wèn)題?(很長(zhǎng)時(shí)間)?了，很多都是你自己想的，所以你希望你沒(méi)有犯簡(jiǎn)單的錯(cuò)誤。我知道人們想知道細(xì)節(jié)，但他們至少可以看到這是一種全新的方法，它將證明很多東西——盡管它的細(xì)節(jié)還有待核實(shí)?！?/p>

事實(shí)證明對(duì)細(xì)節(jié)的要求是有意義的：原來(lái)的證明中有一個(gè)漏洞，懷爾斯和數(shù)學(xué)家理查德·泰勒?(Richard Taylor，懷爾斯以前在普林斯頓大學(xué)的博士生)?花了將近一年的時(shí)間來(lái)修復(fù)這個(gè)漏洞。但最終，在1994年，由一本書頁(yè)邊空白處潦草的注釋所引發(fā)的歷經(jīng)幾個(gè)世紀(jì)的問(wèn)題終于得到了解決。

? ? 數(shù)學(xué)的未來(lái)

你可能會(huì)認(rèn)為，當(dāng)一個(gè)歷時(shí)很久的問(wèn)題最終得到解決時(shí)，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一扇大門也就隨之關(guān)閉了。但這種情況很少發(fā)生，因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問(wèn)題常常會(huì)引出一系列新的問(wèn)題。懷爾斯說(shuō)，費(fèi)馬大定理在過(guò)去引發(fā)了兩個(gè)時(shí)期的巨大進(jìn)步: 一個(gè)是在19世紀(jì)，在試圖證明費(fèi)馬大定理的過(guò)程中奠定了懷爾斯在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ)，另一個(gè)是在20世紀(jì)80年代，懷爾斯最終證明了費(fèi)馬大定理。

懷爾斯說(shuō)，這個(gè)證明本身開(kāi)創(chuàng)了一個(gè)新的領(lǐng)域，“它在模塊化處理方面打開(kāi)了另一扇門，這些模塊化處理的問(wèn)題本身開(kāi)辟了一個(gè)新的領(lǐng)域，叫做朗蘭茲綱領(lǐng)（Langlands programme）——這就是數(shù)學(xué)的未來(lái)?！?/p>

即使是向?qū)I(yè)的人解釋朗蘭茲綱領(lǐng)也很難，只能說(shuō)它是由羅伯特·朗蘭茲在20世紀(jì)60年代提出的一系列影響深遠(yuǎn)的猜想組成的，這些猜想建立了不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間極其驚人的聯(lián)系。許多人認(rèn)為證明所有這些猜想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最偉大的工程。

朗蘭茲綱領(lǐng)吸引了數(shù)學(xué)領(lǐng)域一些最頂尖的頭腦，來(lái)自劍橋大學(xué)的索恩就是其中之一。當(dāng)年懷爾斯宣布費(fèi)馬大定理的證明時(shí)，索恩只有6歲，后來(lái)在他做數(shù)學(xué)A級(jí)考試的時(shí)候?qū)@個(gè)結(jié)果產(chǎn)生了興趣。

“我發(fā)現(xiàn)這很有趣，因?yàn)樽鯝級(jí)數(shù)學(xué)可以學(xué)習(xí)如何做一些特定類型的計(jì)算，比如怎么平衡一根棒兩端的小球之類的。”索恩說(shuō)，“但是這是我第一次發(fā)現(xiàn)一個(gè)人類的故事和一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題聯(lián)系在一起，這不是一個(gè)人的故事，而是幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)人們都互相討論的故事?！?/p>

盡管很年輕，但是索恩已經(jīng)是他所在領(lǐng)域的一個(gè)專家。他獲得了很多獎(jiǎng)勵(lì)，包括很有聲望的數(shù)學(xué)新視野獎(jiǎng)，2020年，索恩當(dāng)選英國(guó)皇家學(xué)會(huì)最年輕的會(huì)員。索恩從事朗蘭茲綱領(lǐng)的研究，尤其是在數(shù)論和模型式的關(guān)聯(lián)方面。他解釋說(shuō)：“這是兩個(gè)世界，從先驗(yàn)的角度來(lái)看，我們不清楚他們是否有關(guān)聯(lián)，但是他們以一種神秘的方式聯(lián)系在一起，就像有一根隱藏的電話線?！?/p>

朗蘭茲綱領(lǐng)提供了解決數(shù)論問(wèn)題的新工具，索恩使用這些工具來(lái)考慮類似于費(fèi)馬大定理的方程，但更一般一些：不要求方程中所有的系數(shù)都是整數(shù)。你可以思考一下如果系數(shù)來(lái)自更大的數(shù)域，例如包含無(wú)理數(shù)√2的數(shù)域，結(jié)果會(huì)是什么？索恩說(shuō)，對(duì)于某些類似的方程，該理論可以很好地推廣，但要進(jìn)一步推動(dòng)這一領(lǐng)域，還需要做很多工作。懷爾斯也認(rèn)為，利用朗蘭茲綱領(lǐng)提供的工具，將我們的算法理論擴(kuò)展到更一般的數(shù)域，是未來(lái)最重要的挑戰(zhàn)之一。

因此，雖然懷爾斯的證明解決了一個(gè)簡(jiǎn)單到連高中生都能理解的問(wèn)題，但它打開(kāi)了一扇通往一個(gè)新的更深數(shù)學(xué)領(lǐng)域的大門，這個(gè)領(lǐng)域在未來(lái)十年左右會(huì)有驚人的進(jìn)展，而像索恩這樣的數(shù)學(xué)家很可能在其中發(fā)揮引領(lǐng)作用。

? ? 關(guān)鍵的時(shí)刻

30年前的那一刻顯然是懷爾斯職業(yè)生涯的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。他是為數(shù)不多的在數(shù)學(xué)之外很有知名度的數(shù)學(xué)家之一，并于2000年被授予爵士爵位。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，他獲得了許多榮譽(yù)和獎(jiǎng)項(xiàng)，包括2016年享有盛譽(yù)的阿貝爾獎(jiǎng)。

我很高興能和這些數(shù)學(xué)家們一起重溫這一刻，聽(tīng)他們講述人類的故事，同時(shí)也是數(shù)學(xué)的故事。早在2016年，懷爾斯就告訴我們，數(shù)學(xué)家必須具備的一些個(gè)人品質(zhì)——他們必須有創(chuàng)造力，必須能夠坦然接受工作中遇到的瓶頸。當(dāng)我們?yōu)檫@篇文章采訪他時(shí)，永不言棄的精神再次成為這個(gè)故事的主線。我們的最后一個(gè)問(wèn)題是，假如在90年代初沒(méi)有找到費(fèi)馬大定理的解，他是否還會(huì)繼續(xù)研究下去。他的回答是典型的他研究數(shù)學(xué)的風(fēng)格：“我不是一個(gè)輕言放棄的人?！?/p>

本文轉(zhuǎn)載自微信公眾號(hào)“中科院物理所”，本文基于Plus編輯Marianne Freiberger和Rachel Thomas對(duì)Tom K?rner、Jack Thorne 和Andrew Wiles的采訪，他們感謝艾薩克·牛頓研究所（Isaac Newton Institute）Dan Aspel對(duì)采訪的幫助。原題目為《那個(gè)費(fèi)馬寫不下的證明后來(lái)怎么樣了？》，編輯：藏癡。

原文鏈接：https://plus.maths.org/content/very-old-problem-turns-30