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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號

簡介

在選擇最佳擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方程時(shí)，可能需要一些經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)我們沒有文獻(xiàn)信息時(shí)該怎么辦？我們建立模型的方法通常是經(jīng)驗(yàn)主義的。也就是說，我們觀察過程，繪制數(shù)據(jù)并注意到它們遵循一定的模式。

例如，我們的客戶可能觀察到一種植物對某種毒性物質(zhì)的反應(yīng)是S形的。因此，我們需要一個(gè)S形函數(shù)來擬合我們的數(shù)據(jù)，但是，我們?nèi)绾芜x擇正確的方程呢？

我認(rèn)為列出最常見的方程以及它們的主要特性和參數(shù)的意義可能會(huì)有用。因此，我還將給出相應(yīng)的R函數(shù)。

非線性回歸的一個(gè)問題是它以迭代方式工作：我們需要提供模型參數(shù)的初始猜測值，算法逐步調(diào)整這些值，直到（有希望）收斂到近似最小二乘解。根據(jù)我的經(jīng)驗(yàn)，提供初始猜測可能會(huì)很麻煩。因此，使用包含R函數(shù)非常方便，這可以極大地簡化擬合過程。

讓我們加載必要的包。

library(nlme)

曲線形狀

曲線可以根據(jù)其形狀進(jìn)行簡單分類，這對于選擇正確的曲線來研究過程非常有幫助。我們有：

• 多項(xiàng)式

1. 線性方程

2. 二次多項(xiàng)式

• 凹/凸曲線（無拐點(diǎn)）

1. 指數(shù)方程

2. 漸近方程

3. 負(fù)指數(shù)方程

4. 冪曲線方程

5. 對數(shù)方程

6. 矩形雙曲線

• Sigmoid 曲線

1. 邏輯方程

2. Gompertz 方程

3. 對數(shù)-邏輯方程（Hill 方程）

4. Weibull 類型 1

5. Weibull 類型 2

• 具有最大值的曲線

1. Brain-Cousens 方程

多項(xiàng)式

多項(xiàng)式是描述生物過程的最靈活的工具。它們簡單，并且雖然是曲線狀的，但它們在參數(shù)上是線性的，并且可以通過使用線性回歸來擬合。一個(gè)缺點(diǎn)是它們不能描述漸近過程，而這在生物學(xué)中非常常見。此外，它們?nèi)菀走^度擬合，因?yàn)槲覀兛赡軙?huì)試圖添加項(xiàng)來改善擬合，而很少關(guān)心生物現(xiàn)實(shí)性。

線性方程

顯然，這不是一條曲線，盡管值得在這里提到。方程為：

其中 b0 是當(dāng) X = 0 時(shí) Y 的值，b1 是斜率，即 X 增加/減少一個(gè)單位時(shí) Y 的增加/減少。當(dāng) b1>0 時(shí)，Y 隨著 X 的增加而增加，否則隨之減少。

二次方程

該方程為：

其中，當(dāng)?X=0?時(shí)，?b0?是?Y 的值，當(dāng)?X=0?時(shí)，?b1和?b2?各自沒有明確的生物學(xué)意義。然而，考慮到一階導(dǎo)數(shù)為：

它測量了在?X 增加一個(gè)單位時(shí)?Y 的增加/減少。我們可以看到這種增加/減少不是恒定的，而是根據(jù)?X 的水平而變化。

在最大值/最小值處，響應(yīng)為：

R 中的多項(xiàng)式擬合

在 R 中，可以使用線性模型函數(shù) 'lm()' 進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。雖然這不是高效的方法，但在某些情況下，我發(fā)現(xiàn)自己需要使用 'nls()' 或 'drm()' 函數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。

凹/凸曲線

讓我們進(jìn)入非線性領(lǐng)域。凹/凸曲線描述了非線性關(guān)系，通常帶有漸近線和無拐點(diǎn)。我們將列出以下最常用的曲線類型。

指數(shù)方程

指數(shù)方程描述了遞增/遞減的趨勢，具有恒定的相對速率。最常見的參數(shù)化形式是：

其他可能的參數(shù)化形式包括：

上述參數(shù)化形式是等價(jià)的，可以通過設(shè)置

以及

參數(shù)的含義很明確：當(dāng)?X=0?時(shí)，?a?是?Y 的值，而?k?表示 X 增加一個(gè)單位對 Y 的相對增加/減少。如果我們計(jì)算指數(shù)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)：

D( expression(a * exp(k * X)), "X")

從上面我們可以得出結(jié)論：通過 X 繪制的切線的斜率為?k，也就是 (k, Y)。因此，Y 增加的量與其實(shí)際水平成比例。

moel <- dm(Cnc ~ ime fc = DRC.pDcay(), ? ? ? ? ? ? daa =eraion)sumay(mdel)

plt(mdel, log="")

'drc' 包還包含 'EXD.2()' 函數(shù)，它擬合了一個(gè)稍微不同參數(shù)化的指數(shù)衰減模型：

其中，d與上述模型中的a相同，e=1/k。

我將同時(shí)展示EXD.2（藍(lán)色曲線）和EXD.3（紅色曲線）的示例。

R

cuve(EXD.fun(x, 0, 100, -1/0.05), co ? ? ?xlim = c(0, 100), ylim = c(0,100))cure(EXD.fun(x, 20, 100, -1/0.05), col="red", add = T)

漸近回歸模型

漸近回歸模型描述了有限增長，其中當(dāng)X趨于無窮大時(shí)，Y趨近于一個(gè)水平漸近線。這個(gè)方程有多種不同的參數(shù)化形式，也被稱為單分子生長、Mitscherlich定律或von Bertalanffy定律。

由于其生物學(xué)意義，最常見的參數(shù)化形式是：

其中a是最大可達(dá)到的Y，b是x=0時(shí)Y的值為0，c與Y隨X增加而相對速率成比例。事實(shí)上，我們可以看出它的一階導(dǎo)數(shù)是：

R

D(exesion(a - (a - b) * exp (- c * X)), "X")

即：

我們可以看到生長的相對速率并不是常數(shù)（如指數(shù)模型中），而是在Y=0時(shí)最大，并隨著Y的增加而減小。

讓我們模擬一個(gè)示例。

R

moel <- rmY ~ X, fct = DC.syReg())plot(odl, log="",

負(fù)指數(shù)方程

如果我們在上述方程中加上限制條件b=0，我們得到以下方程，通常被稱為“負(fù)指數(shù)方程”：

這個(gè)方程的形狀與漸近回歸類似，但當(dāng)X=0時(shí)，Y=0（曲線通過原點(diǎn)）。它通常用于建模吸收的光合有效輻射（Y=PARa）與入射光合有效輻射（a=PARi）、葉面積指數(shù)（X=LAI）和消光系數(shù)（c=k）之間的關(guān)系。

冪函數(shù)曲線

冪函數(shù)曲線也被稱為弗洛伊德方程或者等比方程，最常用的參數(shù)化形式如下：

這個(gè)曲線與X的對數(shù)上的指數(shù)曲線等效，實(shí)際上可以表示為：

對于X→∞，曲線并沒有漸近線。斜率（一階導(dǎo)數(shù)）為：

D(expression(a * X^b), "X")

我們可以看到兩個(gè)參數(shù)與曲線的斜率有關(guān)，b決定了曲線的形狀。當(dāng)0<?b<1時(shí)，隨著X的增加，Y也會(huì)增加，曲線呈現(xiàn)凸向上的形狀。例如，這個(gè)模型可以用于根據(jù)采樣面積來建模植物物種數(shù)量（Muller-Dumbois方法）。

moel <- drm(nuSces ~ Aea, fct = DCowCurve(), ? ? ? ? ? ? data = spieAra)summary(mdel)

plot(oel, log="")

如果b<0，曲線將呈現(xiàn)凹向上的形狀，Y隨著X的增加而減少。

curve

如果b>1且為負(fù)數(shù)，曲線將呈現(xiàn)凹向上的形狀，Y隨著X的增加而增加。

curve(powerC

對數(shù)方程

這確實(shí)是一個(gè)對數(shù)轉(zhuǎn)化后的線性模型:

可以使用 'lm()' 函數(shù)來擬合對數(shù)方程。

# b 是正值model <- lm(Y ~ log(X) )summary(model)

summary(model)

plot(model,

# b 是負(fù)值X <- c(1,2,4,5,7,12)a <- 2; b <- -0.5summary(model)

plot(model, log="",

Michaelis-Menten方程

這是一個(gè)雙曲線形狀的方程，通常參數(shù)化為:

這條曲線朝上凸起，隨著X′?的增加而增加，直到達(dá)到一個(gè)平臺水平。參數(shù)a′?表示高位漸近線（對于X→∞），而b′?是使得響應(yīng)等于a/2的X值。事實(shí)上，很容易證明:

由此可得，b=x50=50。

斜率（一階導(dǎo)數(shù)）為:

D(expression( (a*X) / (b + X) ), "X")

從這里可以看出，初始斜率（在X=0時(shí)）為?i=a/b。

{r}

res <- rnorm(8, 0, 0.1)Y <- Ye + res# nls擬合mol <- nls(Y ~ SSien(X, a, b))summary(model)

{r}

# drm擬合summary(model)

{r}

plot(model, log="", main = "Mic

"drc"包還包含自啟動(dòng)函數(shù) "MM.3()"，其中當(dāng) X=0 時(shí)，允許 Y ≠ c ≠ 0。

產(chǎn)量損失/密度曲線

雜草與農(nóng)作物競爭研究使用重新參數(shù)化的Michaelis-Menten模型。實(shí)際上，Michaelis-Menten的初始斜率可以被視為競爭的測量，即在首次添加雜草到系統(tǒng)中時(shí)產(chǎn)量（Y）的減少。因此，將Michaelis-Methen模型重新參數(shù)化以將i=a/b=α/β作為顯式參數(shù)進(jìn)行描述。重新參數(shù)化的方程為：

該模型可用于描述雜草密度對產(chǎn)量損失的影響。因此需要使用無雜草的產(chǎn)量和以下方程來計(jì)算產(chǎn)量損失（百分比）：

其中，YW是觀測到的產(chǎn)量，YWF是無雜草的產(chǎn)量。下面以日葵種植在增加密度的Sinapis arvensis雜草中的情況為例進(jìn)行說明。

{r}

competition$YL <- (Ywf - competition$Yield) / Ywf * 100# nls擬合summary(model)

{r}

# drm擬合summary(model)

{r}

plot(model, log="

上述擬合約束了當(dāng)雜草密度為0時(shí)，產(chǎn)量損失為0。

確實(shí)，從上述方程我們推導(dǎo)出：

和所示：

model <- drsummary(model)

plot(model

S 型曲線

S 型曲線具有 S 形狀，可以是遞增、遞減、對稱或非對稱的。它們有許多參數(shù)化方法，有時(shí)可能讓人困惑。因此，我們將展示一種常見的參數(shù)化方法，這在生物學(xué)方面非常有用。

邏輯曲線

邏輯曲線來源于累積邏輯分布函數(shù)；曲線在拐點(diǎn)處對稱，并可以參數(shù)化為：

其中，d 是上漸近線，c 是下漸近線，e 是在 d 和 c 之間產(chǎn)生響應(yīng)的 X 值，而 b 是拐點(diǎn)附近的斜率。參數(shù) b 可以是正數(shù)或負(fù)數(shù)，因此 Y 可以隨著 X 的增加而增加或減少。

邏輯函數(shù)非常有用，例如用于植物生長研究。

model <- dm(weightFree ~ DAE, fct =sum

plot(model, log="",

Gompertz 曲線

Gompertz 曲線有許多參數(shù)化方法。我們傾向于使用與邏輯函數(shù)相似的參數(shù)化方法：

其中參數(shù)的含義與邏輯函數(shù)中的參數(shù)相同。不同之處在于該曲線在拐點(diǎn)處不對稱。

另一種不對稱性

我們已經(jīng)看到，相對于邏輯函數(shù)，Gompertz 函數(shù)在開始時(shí)呈現(xiàn)更長的延遲，但之后穩(wěn)步上升。我們可以通過以下方式更改 Gompertz 函數(shù)來描述不同的模式：

該函數(shù)的自啟動(dòng)函數(shù)尚不可用，至少在我所知道的范圍內(nèi)。此外，我也不知道這個(gè)函數(shù)的特定名稱。

通過在圖表中比較這三個(gè)邏輯函數(shù)，我們可以看到它們在偏斜和對稱性方面的差異。

curve( E.fun(x, b, c, d, e), add = T, col = "blue" )legen

基于對數(shù)的 S 型曲線

在生物學(xué)中，測量的數(shù)值通常是嚴(yán)格為正的（時(shí)間、重量、高度、計(jì)數(shù)）。因此，使用對非正數(shù)也定義的函數(shù)可能看起來不現(xiàn)實(shí)。因此，通常更傾向于使用獨(dú)立變量 X 被限制為正的函數(shù)。所有上述描述的 S 型曲線都可以基于 X 的對數(shù)進(jìn)行，這樣我們可以得到更現(xiàn)實(shí)的模型。

對數(shù)-邏輯曲線

在許多應(yīng)用中，S 型響應(yīng)曲線在 x 的對數(shù)上是對稱的，這需要一個(gè)對數(shù)-邏輯曲線（對數(shù)正態(tài)曲線實(shí)際上幾乎等效，但很少使用）。例如，在生物測定中（但也在萌發(fā)測定中），對數(shù)-邏輯曲線定義如下：

參數(shù)的含義與上述邏輯方程中的含義相同。很容易看出上述方程等價(jià)于：

另一種可能的參數(shù)化方法是所謂的 Hill 函數(shù)：

確實(shí)：

對數(shù)-邏輯函數(shù)用于作物生長、種子萌發(fā)和生物測定，它們可以具有與邏輯函數(shù)相同的約束條件。

我們展示了一個(gè)基于對數(shù)-邏輯擬合的示例，涉及到對一個(gè)除草劑處理的甘藍(lán)菜生物測定中不斷增加劑量的關(guān)系。

mde <- dm(FW ~ Doe, fc = LL.4), data = baca)smmay(moel)

plot(model, main = "對數(shù)-邏輯方程")

Weibull 曲線（類型 1）

類型 1 Weibull 曲線與替代 Gompertz 曲線的對數(shù)-邏輯曲線相似。方程如下：

參數(shù)與上述其他 S 型曲線的含義相同。

Weibull 曲線（類型 2）

類型 2 Weibull 曲線與 Gompertz 曲線的對數(shù)-邏輯曲線相似。方程如下：

參數(shù)與上述其他 S 型曲線的含義相同。

我們將對這些 Weibull 曲線擬合數(shù)據(jù)集。

plot(model, main = "Weibull functions")plo

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